第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试卷(二组二试)含答案

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1、第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷(二组二试)一、填空题(共3题,每题10分)1(10分)不满足不等式|x+2|x1|2的x应满足的条件是 2(10分)一个8行n列的阵列队伍,如果排成若干个15行15列的方阵,还余下3人,一人举旗,2人护旗则n最小等于 3(10分)自ABC内一点P,分别向BC,CA,AB边引垂线,垂足依次为D,E,F,以AF,BF,BD,CD,CE,AE为直径分别向外作半圆如图所示这六个半圆面积分别记为S1,S2,S3,S4,S5,S6,若S5S62,S1S21,那么S4S3 二、解答题(共3题,每题10分,写出解答过程)4(10分)扑克牌中的J,Q,K分别看成1

2、1,12,13点,从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌,使得没有2对牌,其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和?5(10分)将1,2,3,37,这37个不同的自然数重新排成一行,记作a1,a2,a37,其中a137,a21,并使得a1+a2+ak能被ak+1整除(k1,2,36),求a3?a37?6(10分)汽车队去往受灾群众安置点运送物资,每辆汽车载重量为10吨,若每个帐篷分配1.5吨物资,则余下不足一车物资:若每个帐篷分配1.6吨物资,则尚差2车多的物资问:这个安置点最少有多少顶帐篷?参考答案一、填空题(共3题,每题10分)1【解答】解:根据分析,即:求|x+2|x1|2的解,先

3、去绝对值,分三种情况:x2时,x+20; x10,故:|x+2|x1|2(x+2)(1x)232,成立;x2;x1时,x+20; x10,故:|x+2|x1|2x+2(x1)22+12,(不符合,舍去);2x1时,x+20;x10,故:|x+2|x1|2x+2(1x)22x+12x;2x综上,x时,满足不等式|x+2|x1|2,即此时x不满足不等式|x+2|x1|2故答案是:x2【解答】解:设有k个方阵,那么8n225k+3,当k1时,225+3228,不是8的倍数;不符合题意;当k2时,2252+3453,不是8的倍数,不符合题意;当k3时,2253+3678,不是8的倍数,不符合题意;当k

4、4时,2254+3903,不是8的倍数,不符合题意;当k5时,2255+31128,是11288141;答:k最小为5时,n最小为141故答案为:1413 【解答】解:如图,连接AP、BP、CP,根据勾股定理,可得AP2AF2+FP2,BP2BF2+FP2,可得AP2BP2AF2BF2,同理,可得BP2CP2BD2CD2,同理,可得CP2AP2CE2EA2,+,可得AF2+BD2+CE2BF2+CD2+EA2,所以(AF2+BD2+CE2)(BF2+CD2+EA2),因此S1+S3+S5S2+S4+S6,所以S4S3(S5S6)+(S1S2)2+13故答案为:3二、解答题(共3题,每题10分,

5、写出解答过程)4【解答】解:设至少挑出n张牌,但是1,2,3,5,8,13中没有2对牌,其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和,所以n6,若n7,所取的7张牌,从小到大排列为:a1,a2,a7,任取2个am和an,设aman,则21个在112的差,这些差中(1)不可能出现amanakan,(2)若有amananal,即2anam+al(mnl),则不能有m1m,l1l(m1nl1),使得2anam1+al1,否则存在2对牌,其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和,即对于同一个n,出现amananal或2anam+al(mnl)具有唯一性,出现2anam+al(mnl)至少有5组,相当于从21组中取出这5组,尚有16组,16个取值在112的差,必有两个相同5【解答】解:这37个数的总和是a37的倍数,所以总和3719是a37的倍数,所以a3719;对于a3,a3可以整除a1+a237+138,所以38是a3的倍数,所以a326【解答】解:设所用车为X辆,帐篷为Y顶据题意得:去掉Y得:解得:30X61因求最少帐篷,所以车辆也应是最少的故车辆X从取整数31开始试起,直到找出适合所列原不等式组Y的值把X31代入原不等式组,解得:故:Y无解把X32代入原不等式组解得:故:Y最小值整数值为213答:这个安置点最少有213顶帐篷

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