1、第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组一试）一.填空题（每题10分）1（10分）计算：2+（4.321.681）1 2（10分）今天是13日，如果将若干自然数按下表排列，那么这个表中所有自然数的总和是 12341213234513143456141513141516253（10分）一只油桶，装的油占全桶装油量的，卖出18千克后，还剩原有油的60%那么这只油桶能装 千克油4（10分）在ABC中，D1、D2、D3为AB边的内分点，E1、E2、E3为AC边的内分点，那么图中有 个三角形5（10分）两个带小数相乘，将得到的积四舍五入可得27.6现已知这两个小数都是一位小数，且它们个
2、位上都是5，那么这两个小数相乘所得的准确积是 6（10分）A、B两地共有学生81人，其中A地的第一个学生与B地的10个学生联系过，第二个学生与B地的11个学生联系过，第三个学生与B地的12个学生联系过，第n个学生与B地的所有学生都联系过那么A、B两地各有学生 7（10分）有一种八边形，它的每条边的长度都是一个整厘米数若从该八边形中取出任意三条边的都不能构成三角形则符合这些条件的八边形周长最短是 cm8（10分）在小于2012的所有正整数n中，使得2nn2 能被7整除的n共有 个9（10分）三角形ABC中，BE1，EF6，FC2，BD2AD，三角形AHG的面积是4.86，三角形GFC的面积是2，
3、则四边形BEHD的面积是 10（10分）由单位正方形组成的mn的矩形棋盘（其中m，n为不超过10的正整数），在棋盘的左下角单位正方形里放有一枚棋子，甲乙两人轮流行棋规则是：或者向上走任意多格，或者向右走任意多格，但是不能走出棋盘或者不走若规定不能再走者为负（即最先将棋子移至右上角者获胜）那么能使先行棋的甲有必胜策略的正整数对（m，n）共有 个11（10分）将自然数2、3、4、n分成两组，满足同一组任意两个数的乘积不在这个组；任意一个数与它的平方不在同一组则n最大是 12（10分）一个棱长为4的正方形盒子放一个半径为1的球，球在盒子里随意移动，盒子也可以随意翻动则球接触不到的正方体内表面的面积是
4、 参考答案一.填空题（每题10分）1【解答】解：2+（4.321.681）12+4.32（1.681）12+4.32312+1.3212+0.612+2+2；故答案为：22【解答】解：（1+13）132+（14+2）132+（3+15）132+（13+25）13214132+16132+18122+38132713+813+913+1913（7+8+9+19）13（7+19）1321326132131313132197答：那么这个表中所有自然数的总和是2197故答案为：21973【解答】解：18（160%）1840%45（千克）4575（千克）答：这只油桶能装 75千克油故答案为：754【解答
5、】解：410+4664（个）故填645【解答】解：依题意可知：首先根据两个小数的结果是2位小数，个位数字都是5，那么原来结果的尾数一定是5；根据四舍五入的结果是27.6，那么只能是27.55满足条件故答案为：27.556【解答】解：根据分析，A地的学生比B地的学生要少9人，而总数是81人，可以用总数减去9，就是A地学生人数的两倍，故A地有：（819）236（人）；B地有：813645（人），故答案是：36人、45人7【解答】解：由题意，八边形的边长满足斐波那契数列，符合这些条件的八边形周长最短时，边长为1，1，2，3，5，8，13，21，周长为54cm故答案为548【解答】解：因为2nn2 被
6、7除的余数随着n变化的最小周期是3，n从1开始，2nn2 被7除的余数是2，4，1，2，4，1因为3和7互质，所以2nn2 被7除的余数以3721为周期7除n可以余2和5，分别对应数2和5；3除n余0的（此时2nn2 被7除余1），7除n可以余1和6，分别对应数15和6综上所述：所有使得2nn2 能被7整除的正整数n为2，4，5，6，10，15以及它们加上整数倍的21有了这个结果后不难得出在小于2012的所有正整数中，因为20122195+17这样的n有956+6576个，故答案为：5769 【解答】解：连接BH，FH，由题意BEH、EFH、CFH之间的面积比是2：6：1由BD2AD，可得CB
7、D的面积是CAD的2倍，DBH的面积是DAH的2倍，由这两个条件可得BHC的面积是AHC的面积的2倍把BHC的面积看成9份，那AHC的面积就是924.5份如果把AHC看成底边是AG的两个三角形面积和，把CHF看成底边是FG的两个三角形之和，那么AHC与CHF的面积比就等于AG：FG，也就是4.5：29：4根据AG：FG9：4和AHG的面积是4.86，可以求出HGF的面积是4.86942.16因为CFG的面积是2.16+24.16，所以BEH的面积是4.1622.08AH：HE4.5：89：16所以三角形ABD的面积就是2.081691.17根据AD：BD1：2得到BDH的面积1.17320.7
8、8所以四边形BEHD的面积是0.78+2.082.8610【解答】解：假设甲先走，乙后走，首先容易知道MN1时，甲必败，下面我们归纳证明当MN时，甲必败，首先MN1的情形是显然的假设MNK时，甲必败，则当MNK+1时，假设甲第一步往任意一个方向走X步，则乙便往另外一个方向走X步若XK+1，易知此时已经走到右上角，所以甲已经败了，否则XK+1，这样就就变成了重新在一个（K+1X，K+1X）的棋盘上行棋 这里1K+1XK，而此时刚好也轮到甲行棋，由归纳假设知此时甲必败，所以结果仍然是甲必败这样就完成了证明下面看当M不等于N时的情形，假设MN （MN同理），甲可以第一步直接将棋子沿长为M的方向走MN
9、步 这样就变成了重新在一个（N，N）棋盘上行棋，且此时轮乙行棋，由上面的结论知 此时乙必败，即甲必胜综上知要使先走的甲必胜，那么只需要M不等于N即可即满足这样的正整数对有10101090对故答案为9011【解答】解：若2在第一组，则4在第二组，16在第一组，8只能在第二组，此时32既不能在第一组，也不能在第二组，故n的最大值不超过31当n31时构造如下：（2，3，5，7，11，13，16，17，19，23，24，29，31）和（4，6，8，9，10，12，14，15，18，20，21，22，25，26，27，28，30），所以n最大为31故答案为3112【解答】解：先单独看一个面，因为球半径1，所以这个面最外1单位长度宽的一圈，球是接触不到的，球只能接触到中间的2单位长度的正方部分，接触到的面积4平方单位，接触不到的部分是16412，六个面一共12672平方单位，故答案为：72
