1、江苏省连云港市灌云县2022-2023学年高一上期中数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 下列运算结果中正确的是（ ）A. B. C. D. 2. 若是幂函数，且满足，则（ ）A. B. 4C. D. 3. 若，则数的值为（ ）A. B. C. D. 4. 已知alog0.20.02，blog660，cln6，则（ ）A. cbaB. bacC. cabD. acb5. 函数的图象如图所示，则（ ）A B. C. D. 6. 专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大
2、面积爆发，则此时约为（ ）(参考数据：)A. B. C. D. 7. 设定义在上的函数满足：当时，总有，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 8. 若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 若，则下列四个式子中有意义的是（ ）A. B. C. D. 10. 若，则（ ）A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为R，对任意的实数想，x，y满足，且，下列结论正确的是（ ）A. B. C. 为R上的减函数
3、D. 为奇函数12. 通过等式我们可以得到很多函数模型，例如将视为常数，视为自变量，那么就是(即)的函数，记为，则，也就是我们熟悉的指数函数若令是自然对数的底数，将视为自变量，则为的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ）A B. ，1)C. 在，1)上单调递减D. 若，不等式恒成立，则实数的值为0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知，则=_.14. 若f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围是_.15. 已知定义在上的函数满足，当时，且，则不等式的解集为_.16. 定义域为R的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则_；若关于x的不等式的解的最小值为1，
4、其中，则a的取值范围是_.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数是偶函数，且当时，(，且).（1）求当时的的解析式；（2）在在上单调递增；在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)18. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点.（1）求的解析式；（2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域.19. 新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供(万元)的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府(万元)
5、补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工人的复工率.公司生产万件防护服还需投入成本(万元).（1）将公司生产防护服利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴万元计入公司收入)；（2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不亏损？(精确到0.01).20. 若存在实数使得，则称函数为的“函数”.（1）若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求，的解析式；（2）设函数，是否存在实数使得为，的“函数”，且同时满足：(i)是偶函数；(ii)的值域为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.21. 已知函数=（x1）（
6、1）求的反函数；（2）判定在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1）（）对，恒成立，求实数取值范围22. 已知且，是定义在M上的一系列函数，满足，.（1）求，的解析式；（2）若为定义在M上的函数，且.求的解析式；若方程有且仅有一个实根，求实数m的取值范围.江苏省连云港市灌云县2022-2023学年高一上期中数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 下列运算结果中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据有理数指数幂、根式的运算法则计算可得答案【详解】对于A选项，故A错误；对于B选项， ，故B错误；对于C选项，当时，当时，故C错误；对于D选项，
7、故D正确故选：D2. 若是幂函数，且满足，则（ ）A. B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出幂函数解析式，代入解出参数的值，即可得到解析式进而求出.【详解】设，则，.，故选：D.【点睛】此题考查根据幂函数的概念求函数解析式，根据解析式求函数值.3. 若，则数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数式与指数式恒等式，结合指数运算性质、对数的运算性质进行求解即可.【详解】.故选：A4. 已知alog0.20.02，blog660，cln6，则（ ）A. cbaB. bacC. cabD. acb【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性判断【详解】，
8、易知，所以，即，所以故选：A5. 函数的图象如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过函数的定义域可求出的范围，由可判断的范围，由函数图象与轴的交点可判断的范围【详解】函数的定义域为，由图可知，则，由图可知，所以，由，得，由图可知，得，所以，综上，故选：D6. 专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（ ）(参考数据：)A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据列式求解即可得答案.【详解】解：因为，所以，即，所以，由于，故，所以，所以
9、，解得.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.7. 设定义在上的函数满足：当时，总有，且，则不等式的解集为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式变形后再构造函数，然后利用单调性解不等式即可.【详解】由，令，可知当时，所以在定义域上单调递减，又，即，所以由单调性解得.故选：A8. 若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.【详解】变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，而当时，显然不合题意；当时，画出两个函
10、数的图像， 要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 若，则下列四个式子中有意义是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】B选项，D选项中，当时，式子无意义，即可得出选项.【详解】A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义；B选项中，无意义；C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义；D选项中，当时，式子无意义故选：AC10. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据对数
11、和指数运算规则逐项分析.【详解】由条件：，即，A正确；，即，B错误，D正确；由，则，C正确；故选：ACD.11. 已知函数的定义域为R，对任意的实数想，x，y满足，且，下列结论正确的是（ ）A. B. C. 为R上的减函数D. 为奇函数【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法确定ABC选项的正确性，根据奇偶性的定义判断D选项的正确性.【详解】依题意，且，令，得，故A选项正确.令，则，即，令，得，即，故B选项正确.由于，故C选项错误.令，得，即，即，所以为奇函数，故D选项正确.故选：ABD12. 通过等式我们可以得到很多函数模型，例如将视为常数，视为自变量，那么就是(即)的函数，记为，则，也就是
12、我们熟悉的指数函数若令是自然对数的底数，将视为自变量，则为的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ）A. B. ，1)C. 在，1)上单调递减D. 若，不等式恒成立，则实数的值为0【答案】ACD【解析】【分析】根据题意求出函数解析式，求函数值判断A，计算判断B，根据解析式判断C，根据分离参数及分类讨论的方法，利用极限思想求函数最值，可判断D.【详解】由题意知，两边取以为底的对数，故，故A正确；，1)时，故B错误；当时，是增函数，所以为减函数，故C正确；当时，由恒成立可得恒成立，即，而时，令，当时，所以，同理，当时，由不等式恒成立可得，此时，时，所以，所以需满足，即，故D正确.故选：ACD
13、三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知，则=_.【答案】#【解析】【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案.【详解】将两边平方，得，所以，所以.故答案为：.14. 若f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得，解不等式组即可求解.【详解】由题意知，解得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.15. 已知定义在上的函数满足，当时，且，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】先判断函数单调性，再把抽象不等式转化为整式不等式即可解决.【详解】由可得，又，则设任意，且，则，又
14、当时，则即，故函数在上为减函数.则不等式等价于，解之得故答案为：16. 定义域为R的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则_；若关于x的不等式的解的最小值为1，其中，则a的取值范围是_.【答案】 . . 【解析】【分析】先根据为奇函数，为偶函数，求出，再与联立即可求出；先将代入，即可得到，将其转化为，令，求出即可求出a的取值范围.【详解】解:由题意知：为奇函数，为偶函数，即，即，即，即，关于x的不等式的解的最小值为1，等价于，令，当时，易知：在单调递减，故，当时，在单调递减，当趋近于时，趋近于，故无解，当时，当时，故，即，综上所述：.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将关
15、于x的不等式的解的最小值为1，转化为.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数是偶函数，且当时，(，且).（1）求当时的的解析式；（2）在在上单调递增；在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数，当时，由即可求出；（2）若选，根据复合函数的单调性可知，由此解出的范围，再根据指数函数在上单调递减，即可求出的取值范围；若选，先讨论与的关系，当时，易知，所以可得，而与都是偶函数，所以只需在上，根据单调性即可求
16、出【详解】（1）当时，又是偶函数，则，即.（2）选条件的解析：由于在上单调递增，显然不合题意，则，此时的取值范围是.选条件的解析：若，则，显然不合要求.当时，因为与都是偶函数，所以只需考虑时即可由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，而在上单调递增的，所以在上单调递减则，此时取值范围是.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数型复合函数的单调性的应用，以及指数函数单调性的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题知识点睛：复合函数的单调性一般遵循“同增异减”的原则，即内外函数在某区间上单调性一致，则此函数在该区间上单调递增，内外函数在某区间上单调性不一致，则此函数在该区间上单调
17、递减18. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点.（1）求的解析式；（2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域.【答案】（1） （2）证明见解析，值域为【解析】【分析】（1）根据，函数的图象经过点可求出可得的解析式；（2）用定义证明为R上的增函数即可；并根据的单调性可得获胜在上的值域.【小问1详解】因为为R上的奇函数，所以，即，又因为函数的图象经过点，所以,即，由，可得，故，故为奇函数，所以；【小问2详解】任取，且，则，因为，所以，又，所以，所以，故为R上的增函数.当时，即，所以在上的值域为.19. 新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供(万元)的专
18、项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工人的复工率.公司生产万件防护服还需投入成本(万元).（1）将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴万元计入公司收入)；（2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不亏损？(精确到0.01).【答案】（1），；（2）2；（3）0.59【解析】【分析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可；（2）当时，可得，利用基本不等式即可求出；（3）若对任意的x0，10，公
19、司都不产生亏损，得到在x0，10恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果【详解】（1）依题意，；（2）当时，当且仅当，即时等号成立，所以政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大50万元；（3）若对任意的x0，10，公司都不产生亏损，则在恒成立，令，设在上递增，.即当工人的复工率达到0.59时，公司不亏损.【点睛】结论点睛：本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，解决此类问题的关键是根据条件准确的求出关系式，对于实际问题的最值问题，常用基本不等式或函数单调性的办法求解，注意实际问题中的取值范围20. 若存在实数使得，则称
20、函数为的“函数”.（1）若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求，的解析式；（2）设函数，是否存在实数使得为，的“函数”，且同时满足：(i)是偶函数；(ii)的值域为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2）存在，【解析】【分析】（1）利用奇函数，为偶函数，可得答案；（2）假设存在实数使得为，的“函数”，可得，根据是偶函数，可得，再利用基本不等式可得答案.【小问1详解】因为为，的“函数”，所以，所以，因为为奇函数，为偶函数，所以，所以，联立，解得；【小问2详解】存在，且，理由如下，假设存在实数，使得为，的“函数”，则，(i)因为是偶函数，所以，即，即，又，可得，因为
21、需对任意成立，所以；(ii)，因为，当且仅当即时取等号，所以，由于的值域为，所以，所以，又因为，所以.综上所述，存在满足要求.【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点为根据是偶函数，可得，再利用基本不等式可得答案.21. 已知函数=（x1）（1）求的反函数；（2）判定在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1）（）对，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）=（0x1）；（2）增函数；（3）1【解析】【分析】（1）按照求反函数的步骤求解；（2）按照函数单调性的定义判定；（3）即（1+）+10对x，恒成立，再换元利用一次函数的性质得到解不等式组得解.【详解】（1）由y=（，得x=又y=（1，且x1，0y
22、1=（0x1）（2）设01，则0，10，10（）（）=0，即（）（）（x）在（0，1）上是增函数（3）由题设有（1）（）1+，即（1+）+10对x，恒成立显然1令t=，x，t，则g（t）=（1+）t+10对t，恒成立由于g（t）=（1+）t+1是关于t的一次函数，g（）0且g（）0，即，解得1【点睛】关键点睛：解答本题的关键是得到（1+）+10对x，恒成立后，想到换元再利用一次函数的图象和性质求解.22. 已知且，是定义在M上的一系列函数，满足，.（1）求，的解析式；（2）若为定义在M上的函数，且.求的解析式；若方程有且仅有一个实根，求实数m的取值范围.【答案】（1）， （2）(，且)；或【解析】【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）利用（1）中的结论，用替换x两次，通过解方程组进行求解即可；利用常变量分离法，结合换元法、基本不等式、对钩函数的性质进行求解即可.【小问1详解】【小问2详解】利用（1）中的结论，用替换x两次，得到消去g，可得 (，且)；有且仅有一个实根，当，且且时，整理可得m=有且仅有一个实根，令，.当且时，当且时，即，在上有且仅有一个实根.令，则，m=2-5，即在上有且仅有一个实根.画出，的图象，如图所示：当时，当时，函数单调递增，所以 由图可知或解得或.【点睛】关键点睛：利用基本不等式、对钩函数的单调性是解题的关键.
