1、天津市部分区2022-2023学年高一上期中数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 32. 若集合，集合，则（ ）A B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知命题 ，则 A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ）A. B. C. 或D. 或6. 已知函数，则的值域是（ ）A. B. C. D. 7. 已知全集，集合，若，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，其图象连续不断.若在区间上单调递增，
2、且，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或9. 已知集合，集合，若，则最大值是（ ）A. B. 0C. 1D. 210. 已知，均为正数，若，则的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）11. 将表示成小数，则构成这个小数的所有数字的集合用列举法表示为_12. 已知函数是定义在上的奇函数，若，则_.13. 函数的单调递增区间为_.（用开区间表示）14. 已知集合，为整数集，如果，则实数的取值范围是_15. 某蔬菜公司需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男员工分装时，需要12天完成，只由一名女员工分装时，需要18天完成.为了
3、让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有男、女员工人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男员工和若干名女员工共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男员工会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女员工会损耗蔬菜共30千克.为了让分装蔬菜的男员工的平均损耗蔬菜量（千克）与女员工的平均损耗蔬菜量（千克）之和最少，该公司应安排_名男员工，_名女员工共同分装这批蔬菜.三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 已知全集，集合，集合或.（1）计算和；（2）计算和17. 已知函数，.（1）当
4、时，求的定义域和值域；（2）若存在，求的取值范围.18. 已知，.（1）求的最小值及取得最小值时的值；（2）若函数，的值域为，且，求的取值范围.19. 已知函数是奇函数，且.（1）求的解析式；（2）判断在区间上的单调性并说明理由.20. 已知，.（1）求证：；（2）求的最大值.天津市部分区2022-2023学年高一上期中数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】把自变量直接代入解析式即可求解.【详解】因为，所以.故选：C.2. 若集合，集合，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利
5、用并集运算的概念直接求解即可.【详解】因为集合，集合，所以.故选：B.3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】由可得，故充分性满足；由不一定得到，比如，故必要性不满足，所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A4. 已知命题 ，则 是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是存在性命题，即可得解.【详解】命题的否定为：，故选:C.5. 不等式的解集是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】利用一元二
6、次不等式的解法即可求出结果.【详解】因为，所以或，即不等式的解集为或，故选：D.6. 已知函数，则的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由一次函数和二次函数的性质，分别求在两段定义区间内的值域，取并集得的值域.【详解】由二次函数性质可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，且，所以；由一次函数性质可知，当时，单调递增，所以，综上：函数的值域为.故选：A.7. 已知全集，集合，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据补集运算求解即可.【详解】因为，且，所以.故选：B.8. 已知函数是定义在上的偶函数，其图象连续不断.若在区间上单调递增，且，则实数
7、的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性和单调性直接去“”，得不等式，解不等式即得答案.【详解】因为是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，由得，所以，所以或，解得或.故选：D.9. 已知集合，集合，若，则的最大值是（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】根据的正负性，结合一元二次不等式的解法，子集的定义进行求解即可.【详解】或，当时，显然；当时，因为，所以；当时，因为，所以，综上所述：的取值范围为，因为，所以的最大值是，故选：B10. 已知，均为正数，若，则的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】
8、将变形，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可.【详解】，均正数，因为，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为5.故选：C.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.试题中含有两个空的，每空2分.把答案填在题中横线上.）11. 将表示成小数，则构成这个小数的所有数字的集合用列举法表示为_【答案】【解析】【分析】根据条件得，再利用集合元素的性质即可得到结果.【详解】因为，构成这个小数的所有数字为，所以由集合元素的性质可知，集合用列举法表示为，故答案为：.12. 已知函数是定义在上的奇函数，若，则_.【答案】【解析】【分析】利用奇函数的性质计算即可.【详解】因为函数是定义在上
9、的奇函数，且，所以.故答案为：.13. 函数的单调递增区间为_.（用开区间表示）【答案】【解析】【分析】根据绝对值的符号分类讨论，利用二次函数的单调性判断即可.【详解】当时，对称轴为，所以函数在上单调递增；当时，对称轴为，所以函数在上单调递减；所以函数的单调递增区间为.故答案为：.14. 已知集合，为整数集，如果，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据条件得出，再借助数轴即可求出结果.【详解】因为，方程的两根为或，又，所以，得到，由图知， 故答案为：.15. 某蔬菜公司需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男员工分装时，需要12天完成，只由一名女员工分装时，需要18天完成.为了让市民
10、尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男、女员工人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男员工和若干名女员工共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男员工会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女员工会损耗蔬菜共30千克.为了让分装蔬菜的男员工的平均损耗蔬菜量（千克）与女员工的平均损耗蔬菜量（千克）之和最少，该公司应安排_名男员工，_名女员工共同分装这批蔬菜.【答案】 8 . 6【解析】【分析】设安排男员工x名，女员工y名，则，列出目标函数为，利用基本不等式中的常数代换求解即可.【详解】设安排男员工x名，女员工y名，由题意，平
11、均损耗蔬菜量之和为，则，当且仅当，即时等号成立，所以公司应安排8名男员工，6名女员工共同分装这批蔬菜.故答案为：8，6.【点睛】关键点点睛：对于基本不等式中的应用问题，往往要正确理解题意，设未知数建立函数，要注意根据式子结构选择恰当的方法比如常数代换等计算，计算时要注意自变量的限制.三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 已知全集，集合，集合或.（1）计算和；（2）计算和.【答案】（1） ，或 （2）=；或【解析】【分析】（1）利用交集和并集的运算求解即可；（2）利用交集、并集和补集的运算求解即可.【小问1详解】因为，或，所以，或.【小问2详解】
12、因为，或，所以或，所以=；或17. 已知函数，.（1）当时，求的定义域和值域；（2）若存在，求的取值范围.【答案】（1）值域为，定义域为或 （2）【解析】【分析】（1）根据函数解析式有意义得，解一元二次不等式可得定义域，根据定义域范围与复合函数的单调性可求值域；（2）由题意当时，成立，代入求解即可.【小问1详解】当时，依题意应有，方程的二根为，所以的解为或，所以的定义域为或，因为，且取时等号成立，又考虑二次函数在定于域内的函数值可以无穷大，所以的值域为.【小问2详解】因为存在，所以当时，成立，即，解得.18. 已知，.（1）求的最小值及取得最小值时的值；（2）若函数，的值域为，且，求的取值范围
13、.【答案】（1）最小值为6， （2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求出集合A，然后利用基本不等式求出函数的最小值及取得最小值时的值；（2）结合（1）求出函数的值域即集合B，利用交集不是空集建立不等式求解即可.【小问1详解】方程的二根为1和9，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，上式取等号.所以的最小值为6，此时.【小问2详解】由（1）知，所以，因为，所以的值可以取到无穷大，即的值可以取到无穷大，所以的值域，因为，所以，解得即为所求.19. 已知函数是奇函数，且.（1）求的解析式；（2）判断在区间上的单调性并说明理由.【答案】（1） （2）在区间上的单调递减，理由见解析【解析
14、】【分析】（1）先根据奇函数的性质得，分析可得，再利用求得，代入可得解析式；（2）先判断函数的单调性，然后再根据单调性的定义证明即可.【小问1详解】因为函数是奇函数，所以，即，因为不恒为0，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以的解析式为.【小问2详解】在区间上的单调递减.证明：任取且，只需证明.易知，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以在区间上的单调递减.20. 已知，.（1）求证：；（2）求的最大值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据综合法结合基本不等式即可证明；（2）把化为，利用（1）的结论即可求得最值.【小问1详解】因为，所以，所以，所以，且当且仅当时等号成立，得证.【小问2详解】，因为，所以，所以由（1）知，当且仅当且时等号成立，即时等号成立.所以的最大值为.【点睛】易错点点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立.（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等.（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.
