1、上海市闵行区六校联考2023-2024学年高一上期中数学试卷2023.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 集合，则实数_2. 集合，集合，则_3. 函数的最小值为_4. 已知集合，则_5. 下列写法中，正确的有_；.6. 已知集合，且，则实数a取值范围是_ .7. 命题“存在xR，使得x2+2x+5=0”的否定是 8. 设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是_9. 若关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是_10. 已知对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是_11. 用长度为24米的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩
2、形的面积最大，则隔墙的长度为_米.12. 对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中元素个数是_二.选择题（本大题共4题，满分20分）13. 若，则下列不等式中不成立的是（ ）A. ；B. ；C. ；D. 14. 下列命题中：关于x的方程是一元二次方程；空集是任意非空集合真子集；如果，那么；两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）A B. C. D. 15. 若a，b，c是常数，则“ a0，且b2-4ac0 ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不
3、充分也不必要条件16. 已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”给出下列结论：集合是“复活集”；若，且是“复活集”，则；若，则不可能是“复活集”；若，则“复活集”A有且只有一个，且其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数m取值范围组成的集合.18. 设集合，集合.（1）若集合A是关于x的一元一次不等式的解，求集合A；（2）若时，求.19. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元（1）要使一年的
4、总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？（2）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨？20. 已知函数.（1）求不等式的解集M；（2）设M中的最小数是m，正数a、b满足，求的最小值.21. 符号表示不大于的最大整数（）,例如：（1）已知，分别求两方程的解集；（2）设方程的解集为,集合，若，求的取值范围.（3）在（2）条件下，集合，是否存在实数，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.上海市闵行区六校联考2023-2024学年高一上期中数学试卷一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 集合，则实数_【答案】
5、2【解析】【分析】根据集合间关系可知，即可求出.【详解】因为，所以，解得，故答案为：22. 集合，集合，则_【答案】【解析】【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合，所以，故答案为：3. 函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用基本不等式，即可求出函数的最小值，得到答案.【详解】因，所以，当且仅当时取等号，此时，即函数的最小值是.故答案为：.4. 已知集合，则_【答案】【解析】【分析】先解不等式，对集合A进行化简，再求出集合A的补集.【详解】即解得，故，又，所以故答案：5. 下列写法中，正确的有_；.【答案】【解析】【分析】根据元素与集合，集合与集合关系可判断.【详解】空集是任
6、何非空集合真子集，故正确，错误，故错误，空集是不含任何元素的集合，故错误.故答案为：.6. 已知集合，且，则实数a的取值范围是_ .【答案】【解析】【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.【详解】在数轴上表示出集合和集合,要使，只有. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题.7. 命题“存在xR，使得x2+2x+5=0”的否定是 【答案】对任何xR，都有x2+2x+50【解析】【详解】因为命题“存在xR，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何xR，都有x2+2x+50故答案为对任何xR，都有x2+2x+50
7、8. 设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得命题p是命题q的充分条件，列出不等式，即可得到结果.【详解】因为，则命题p是命题q的充分条件，则，解得，即实数a的取值范围是.故答案为：9. 若关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先考虑时的情况，再考虑时的情况，当时根据一元二次不等式恒成立问题的解法即可求解.【详解】当即时，不等式可化为，此时不等式恒成立，当即时，若对一切实数x都成立，则，解得，综上所述，若对一切实数x都成立，则.故答案为：10. 已知对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是_【
8、答案】【解析】【分析】根据题意，由绝对值不等式可得，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为对一切实数x都成立，即，又，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：11. 用长度为24米的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_米.【答案】3【解析】【详解】设隔墙长度为x，场地面积为S，则Sx12x2x22(x3)218.当x3时，S有最大值18,故填3.12. 对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是_【答案】17【解析】【分析】从定义出发，抓住a，b的奇偶性对
9、16进行分拆，当a，b同是奇数或偶时，将16分拆为两个同奇偶数的和；若a，b一奇一偶时，将16分拆为一个奇数与一个偶数的积，再计算组数即可.【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16；当a，b一奇一偶时，116=16；集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有82+1=17个.故答案为：17.二.选择题（本大题共4题，满分20分）13. 若，则下列不等式中不成立的是（ ）A. ；B. ；C. ；D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质判断四个选项的正误即可得正确选
10、项.【详解】对于选项A：若，则，故选项A正确；对于选项B：，因为，所以，即，所以，故选项B不正确；对于选项C：若，则，故选项C正确；对于选项D：若，则，故选项D正确，故选：B14. 下列命题中：关于x的方程是一元二次方程；空集是任意非空集合的真子集；如果，那么；两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可.【详解】：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题；：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题；：由显然
11、能推出，所以本序号命题是真命题；：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题，故选：B15. 若a，b，c是常数，则“ a0，且b2-4ac0 ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】解：因为“a0且b24ac0”等价于a0，且判别式小于零或者a=0,b=0,c0的充分不必要条件，选A16. 已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”给出下列结论：集合是“复活集”；若，且是“复活集”，则；若，则不可能是“复活集”；若，则“复活集”A有且只有一个，且其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2
12、C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理以及反证法，依次判断四个结论的正误，进而可得答案.【详解】对于， ，故正确；对于，不妨设，则由韦达定理知是一元二次方程的两个根，由，可得或，故错；对于，不妨设中，由得， 当时，即有，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故正确；对于，当时，故只能，求得，于是“复活集” 只有一个，为，当时，由，即有，也就是说“复活集”存在的必要条件是，事实上，矛盾，当时不存在“复活集”，故正确. 故选：C三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数m
13、取值范围组成的集合.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）代入根据并集含义即可；（2）根据真子集关系得到不等式组，解出即可.【小问1详解】当时，；【小问2详解】由题意得是的真子集，则，解得，所以实数取值范围组成的集合.18. 设集合，集合.（1）若集合A是关于x的一元一次不等式的解，求集合A；（2）若时，求.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由题意得得到关于的方程，解出再代入即可；（2）直接代入解出集合，再根据交集含义即可.小问1详解】由题意得，解得，此时，解得.【小问2详解】当时，解得，而等价于，解得，则.19. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万
14、元/次，一年的总存储费用为4x万元（1）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？（2）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨？【答案】（1） （2）20【解析】【分析】（1）根据一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，可建立不等式，从而可求次购买量的范围；（2）先设某公司每次都购买吨，由于一年购买某种货物400吨，得出需要购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，最后利用基本不等式求得一年的总运费与总存储费用之和最小即可【小问1详解】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元次，一年的总存储费
15、用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元由，得每次购买量在大于或等于10吨且小于或等于40吨的范围内【小问2详解】，当即吨时，等号成立每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小20. 已知函数.（1）求不等式的解集M；（2）设M中的最小数是m，正数a、b满足，求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将函数写为分段函数的形式，再根据范围依次解不等式即可.（2）确定，变换，再利用均值不等式计算得到最值.【小问1详解】，当时，解得，即；当时，解得，即；当时，解得，即；综上所述：，即.【小问2详解】，.当且仅当，即，时等号成立.21. 符号表示不大于的最大整数（）,例如：（
16、1）已知，分别求两方程的解集；（2）设方程的解集为,集合，若，求的取值范围.（3）在（2）的条件下，集合，是否存在实数，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据定义直接写出；（2）先求解出集合中表示元素的范围，再根据求解的范围；（3）由可知，根据子集关系求解的范围.【详解】（1）因为表示不大于的最大整数，时，解得：，所以 ；时，解得：，所以；（2）因为，所以，根据绝对值不等式的几何意义解得： ，又；当时，所以成立；当时， ，若，则有：，解得；当时，若，则有：，解得；综上：；（3）因为，所以，且，所以设集合的解集为：，则有：，所以，解得：.【点睛】（1）对于集合：当时，；当时，；（2）通过集合间的关系求解参数或者参数范围时，如果不能直接得到对应的结果或者计算很麻烦，可以利用数轴去分析集合表示元素间的关系.
