1、江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高二上期中数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）A. B. C. 1D. 2. 已知直线，若，则实数a的值为（ ）A. 1B. C. D. 23. 当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）A. B. C. D. 4. 若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（ ）A. 6B. 8C. 10D. 125. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ）A. B. C. D. 6. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）A. B. 9C. 或9D
2、. 7或7. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、，则（ ）. A. B. C. D. 8. 椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9. 下列四个命题中真命
3、题有（ ）A. 直线在轴上截距为B. 经过定点的直线都可以用方程表示C. 直线必过定点D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是10. 已知过点的直线l与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）A. 的最大值为6B. 的最小值为C. 点O到直线l距离的最大值为D. 的面积为311. 对于曲线，下面四个说法正确的是（ ）A. 曲线不可能是椭圆B. “”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件C. “曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件D. “曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件12. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（ ）A. 的周长为4B. 的周长为8C. 椭圆上
4、的点到焦点的最短距离为1D. 椭圆上的点到焦点的最短距离为3三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知平面上点和直线，点P到直线l距离为d，则_.14. 已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为_.15. 已知两条直线a1xb1y40和a2xb2y40都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为_16. 在平面直角坐标系中，直线与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为_，三角形面积的最小值为_.四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）17. 写出适合下列条件的圆锥
5、曲线的标准方程：（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程；（2）过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.18. 已知三角形的顶点坐标为、，是边上的中点.（1）求边所在的直线方程；（2）求中线的长；（3）求边的高所在直线方程.19. 已知圆和直线.（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（2）圆C有一动点P，直线l上有一动点Q，求的最小值.20. 已知圆方程：，圆相交点A、B.（1）求经过点A、B的直线方程.（2）求的面积.21. 双曲线，右焦点.（1）若双曲线为等轴双曲线，且过点，求双曲线的方程；（2）经过原点倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点是以线段为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率.2
6、2. 已知两个定点、，动点满足，设动点轨迹为曲线，直线（1）求曲线的方程；（2）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高二上期中数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，可得轴，再列式计算作答.【详解】因直线倾斜角为，则轴，而点，因此，解得，所以.故选：C2. 已知直线，若，则实数a的值为（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析
7、】根据给定条件，利用两条直线互相垂直列式计算作答.【详解】直线，因此，解得，所以实数a的值为2.故选：D3. 当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，直线截圆所得弦长最短，根据两直线垂直时，斜率的关系可求得实数的值.【详解】将直线方程变形为，由可得，所以，直线经过定点，圆的标准方程为，圆心为，因为，即点在圆内，故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短，直线的斜率为，所以，解得.故选：B.4. 若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【
8、解析】【分析】根据抛物线的定义，建立方程，可得答案.【详解】 由抛物线上点到焦点的距离为，则点到抛物线的准线的距离为，由抛物线，则其准线为直线，所以，解得.故选：B.5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、椭圆的半焦距，再列式求出作答.【详解】由椭圆得其半焦距为，依题意，双曲线的渐近线方程为，于是，即，由，解得，所以双曲线C的方程为.故选：A6. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）A. B. 9C. 或9D. 7或【答案】D【解析】【分析】根据
9、两圆半径大小关系结合圆与圆位置关系判断，即可列方程求解实数a的值.【详解】圆整理得： 圆心，半径，圆的圆心，半径由于两圆半径相同，故若圆与圆有且仅有一个公共点，则两圆外切所以，整理得，解得或.故选：D.7. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据长轴长与短轴长的定义，结合的等量关系以及离心率的计算公式，通
10、过比较大小，可得答案.【详解】设椭圆标准方程为，则，可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，故离心率，则，由，则故选：C.8. 椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设P点坐标，Q点与P点关于x轴对称，坐标可用P点坐标表示，代入斜率之积的关系式，再结合椭圆方程，化简可得a与b的关系，即可求出离心率.【详解】，设，则，则，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率，故选：C.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
11、.）9. 下列四个命题中真命题有（ ）A. 直线在轴上的截距为B. 经过定点的直线都可以用方程表示C. 直线必过定点D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是【答案】CD【解析】【分析】利用截距的定义可判断A选项；取点且垂直于轴的直线，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用两直线平行求出的值，结合平行线间的距离公式可判断D选项.【详解】对于A选项，直线在轴上的截距为，A错；对于B选项，过点且垂直于轴的直线方程为，不能用方程表示，B错；对于C选项，将直线方程变形为，由可得，故直线过定点，C对；对于D选项，若直线与直线平行，则，解得，直线方程可化为，故两平行直线间的距离为，D对
12、.故选：CD.10. 已知过点的直线l与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）A. 的最大值为6B. 的最小值为C. 点O到直线l距离的最大值为D. 的面积为3【答案】AD【解析】【分析】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可分别求解【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，又，点在圆内部，因为过点的直线与圆交于，两点，所以的最大值为，所以A正确；因为，当直线与垂直时，此时弦取得最小值，最小值为，所以B错误；当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，且最大值为，所以C错误；由，可得，即，所以的面积为，所以D正确故选：AD11. 对于曲线，下面四个说法正确的是
13、（ ）A. 曲线不可能是椭圆B. “”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件C. “曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件D. “曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件【答案】CD【解析】【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；对于B选项，因为或，所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，又因为，所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对；对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以，“曲线是焦点在轴上的椭
14、圆”是“”的充要条件，D对.故选：CD.12. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（ ）A. 的周长为4B. 的周长为8C. 椭圆上的点到焦点的最短距离为1D. 椭圆上的点到焦点的最短距离为3【答案】BC【解析】【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质，即可求得三角形的周长和最短距离，得到答案.【详解】由题意，椭圆，可得，则，则的周长为，又由椭圆的几何性质，可得椭圆上的点到焦点的最短距离为.故选：BC三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则_.【答案】#4.5【解析】【分析】根据直线的特征，直接列式计算作答.【详解】依
15、题意，直线，而点，所以.故答案为：14. 已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】根据抛物线准线位置确定抛物线开口方向，从而可得设方程求解即可得抛物线的标准方程.【详解】若抛物线的准线方程为，则抛物线开口向下，设抛物线方程为，则，故所以抛物线方程为.故答案为：.15. 已知两条直线a1xb1y40和a2xb2y40都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为_【答案】2x+3y+4=0.【解析】【详解】因为,所以点Q1、Q2满足直线2x+3y+4=0的方程.所以所求直线方程为2x+3y+4=0.16. 在平面直角坐标系中，直线与
16、坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为_，三角形面积的最小值为_.【答案】 . . #7.5【解析】【分析】利用给定条件，结合直线在坐标轴上的截距的意义计算即可；求出及点到直线的距离最小值即可作答.【详解】直线交轴于点，交轴于点，所以直线在x和y轴上的截距之和为； 圆，即的圆心，半径为，点到直线的距离，因此圆上的动点到直线的距离最小值为，所以面积的最小值为.故答案为：；四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）17. 写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程；（2）过点，
17、且与椭圆有相同焦点双曲线方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意可知为避免讨论焦点位置带来的麻烦，可设出椭圆一般方程代入点坐标即可求得结果；（2）利用椭圆可求得焦点坐标，设出双曲线标准方程代入点即可求得其标准方程.【小问1详解】根据题意可设椭圆一般方程为，将和两点代入可得，解方程组可得；所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由题意可知椭圆的焦点坐标为；所以可设双曲线标准方程为，其中；代入点可得，联立解得；所以双曲线标准方程为.18. 已知三角形的顶点坐标为、，是边上的中点.（1）求边所在的直线方程；（2）求中线的长；（3）求边的高所在直线方程.【答案】（1） （2） （3）【解
18、析】【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出边所在的直线方程；（2）求出点的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得的值；（3）求出边的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出边的高所在直线的方程.【小问1详解】解：直线的斜率为，所以，直线的方程为，即.【小问2详解】解：因为点、，是边上的中点，则，所以，中线的长为.【小问3详解】解：因为直线的斜率为，所以，边的高所在直线的斜率为，因此，边的高所在直线方程为，即.19. 已知圆和直线.（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（2）圆C有一动点P，直线l上有一动点Q，求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设圆心关于直线对称点为，根据
19、对称求解，即可得对称圆心，从而求得圆的标准方程；（2）利用圆的几何性质即可判断的最小值.【小问1详解】圆整理得：，圆心，半径设圆心关于直线对称点为所以，解得则圆关于直线对称的圆的标准方程为；【小问2详解】圆心到直线的距离P在圆上，直线l上有一动点Q，根据圆的性质可得.20. 已知圆方程：，圆相交点A、B.（1）求经过点A、B的直线方程.（2）求的面积.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）判断两圆相交，再将两圆方程相减即可作答.（2）由（1）的结论，求出点到直线的距离，进而求出弦长，求出三角形面积作答.【小问1详解】圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，且有，则圆与圆相交， 由消去
20、二次项得，所以直线的方程为.【小问2详解】由（1）知，点到直线：的距离，于是，所以的面积.21. 双曲线，右焦点为.（1）若双曲线为等轴双曲线，且过点，求双曲线的方程；（2）经过原点倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点是以线段为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求解即可；（2）法一：表达出，利用双曲线定义求出，从而求出离心率；法二：表达出，将其代入双曲线方程，得到关于的齐次方程，求出离心率.【小问1详解】双曲线为等轴双曲线，双曲线过点，将其代入得：；【小问2详解】法一：是以线段为底边的等腰三角形，是等腰直角三角
21、形，过作轴于点，则，设左焦点，由双曲线定义知，于是.法二：前同法一得，点在上，整理得：，解得：，于是.22. 已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线（1）求曲线的方程；（2）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由【答案】（1） （2）直线过定点【解析】【分析】（1）设点的坐标为，由结合平面内两点间的距离公式化简可得出点的轨迹方程；（2）设为圆上任意一点，先证明出圆在点处的切线方程为，设点、，可写出直线、的方程，将点的坐标代入直线、的方程，可求得直线的方程，化简直线的方程，可求得直线所过定点的坐标.【小问1详解】解：设点的坐标为，由可得，整理可得，所以曲线的方程为【小问2详解】解：设为圆上任意一点，则，当时，（为坐标原点），此时，圆在点处的切线方程为，即；当时，圆在点处的切线方程为或，切线方程满足；当时，圆在点处的切线方程为或，切线方程满足.因此，圆在点处切线方程为.当时，直线的方程为，设点、，则直线的方程为，直线的方程为，所以，所以，点、的坐标满足方程，故直线的方程为，即，由，解得，因此，直线过定点.
