1、天津市部分区2022-2023学年高二上期中数学试卷一、选择题：本大题共9道小题，每小题4分，共36分1. 在空间直角坐标系中，已知点则线段AB长度是（ ）A B. C. D. 42. 圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面的射影坐标是（ ）A. B. C. D. 4. 两条平行直线之间的距离为（ ）A. B. 2C. D. 45. 设，直线与直线垂直，则（ ）A -2B. 1C. -2或1D. 6. 若过点，且与圆相切的直线方程为（ ）A. B. 或C. D. 或7. 在棱长为1的正方体中，点B到直线距离是（ ）A B. C. D
2、. 8. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线l的方程分别为（ ）A. ；B. ；C. ；D. ；9. 已知直线与圆相交于两点,点分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6道小题，每小题4分，共24分10. 已知空间向量，则_.11. 已知点P（1，2）到直线的距离为_.12. 已知向量，且与互相平行，则k的值_13. 圆与圆的公共弦的长为_14. 如图，直三棱柱中，分别是的中点，则与所成角的余弦值为_.15. 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为_.三、解答题：本大题共5道小题
3、，共60分16. 如图，棱长为2的正方体中，E，F，G分别是的中点，（1）求证：;（2）求点G到平面EFC的距离.17. 已知的顶点.（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.18. 如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱，的中点，是线段的中点，（1）求证：平面；（2）求平面PAC与平面EMN所成角的余弦值.19. 已知圆C过点，且与直线相切于点（1）求圆C方程；（2）过点的直线与圆C交于两点，若为直角三角形，求直线的方程20. 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，是棱的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在线段上（不含端点
4、）是否存在一点，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.天津市部分区2022-2023学年高二上期中数学试卷一、选择题：本大题共9道小题，每小题4分，共36分1. 在空间直角坐标系中，已知点则线段AB的长度是（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】利用空间两点间的距离公式求解.【详解】解：因为点所以，故选：A2. 圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆的标准方程的形式写.【详解】圆心为，半径为2的圆的标准方程是.故选C.【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.3. 在空间直角
5、坐标系中，点在坐标平面的射影坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据坐标平面满足横坐标为0即可解决.【详解】在空间直角坐标系中,点在坐标平面的射影坐标是 .故选：A.4. 两条平行直线之间的距离为（ ）A. B. 2C. D. 4【答案】B【解析】【分析】由平行线之间的距离公式直接求解即可.【详解】解：，则两平行线之间的距离为.故选：B.5. 设，直线与直线垂直，则（ ）A. -2B. 1C. -2或1D. 【答案】D【解析】【分析】利用两直线垂直公式求解.【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，解得，故选：D6. 若过点，且与圆相切的直线方程为（ ）A. B. 或C
6、D. 或【答案】D【解析】【分析】验证点在圆外，然后讨论切线斜率存在与不存在两种情况即可解决.【详解】圆的圆心是 ，半径是 ，把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外，当直线斜率不存在时，直线为 ，不满足题意；当直线斜率存在时，设直线为 ，即 ，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，解得 或 ，切线为或 ，故选：D.7. 在棱长为1的正方体中，点B到直线距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，根据空间里面点到直线的距离的向量算法求解.【详解】以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角
7、坐标系，则， ,，取，则，过点B作，点B到直线的距离为点B到直线的距离为.8. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线l的方程分别为（ ）A. ；B. ；C. ；D. ；【答案】C【解析】【分析】首先求出直线过的定点，若要到直线的距离最大，只需，由此即可得解.【详解】将只需的方程整理得：，从代数观点来看，若，有成立，则只能，解得，即直线过定点；若要到直线的距离最大，只需，此时点到直线的最大距离为线段的长度，即，又直线的斜率为，所以故此时直线的方程为：，即.故选：C.9. 已知直线与圆相交于两点,点分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】
8、A【解析】【分析】先求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理结合圆的性质求出的长，由圆的性质可知当为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，从而可求出面积的最大值.【详解】解：把圆化为标准方程，圆心，半径，直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距，由勾股定理的半弦长为，弦长为，又两点在圆上，并且位于直线的两侧，四边形的面积可以看出是两个三角形和的面积之和，如图所示，当为如图所示的位置，即为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形的面积最大，最大面积为，故选：A【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及圆的内接四边形面积最大问题，考查了点到直
9、线的距离公式，属于中档题.二、填空题：本大题共6道小题，每小题4分，共24分10. 已知空间向量，则_.【答案】5【解析】【分析】由向量的坐标运算求解即可.【详解】，故答案为：511. 已知点P（1，2）到直线的距离为_.【答案】#0.2；【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求解.【详解】解：点P（1，2）到直线的距离为，故答案为：；12. 已知向量，且与互相平行，则k的值_【答案】【解析】【分析】根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，可直接求出结果.【详解】向量，与互相平行，解得故答案为：13. 圆与圆的公共弦的长为_【答案】【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出
10、圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】将圆与圆的方程作差可得，所以，两圆相交弦所在直线的方程为，圆的圆心为原点，半径为，原点到直线的距离为，所以，两圆的公共弦长为.故答案为：.14. 如图，直三棱柱中，分别是中点，则与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，不妨设，写出对应点的坐标，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】由题意可知：两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，因为分别是的中点，则，则，设直线与所成的角为，所以，所以与所成角的余弦值为，故答案为：.15. 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则
11、圆C的方程为_.【答案】【解析】【详解】试题分析：设，则，故圆C的方程为【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程三、解答题：本大题共5道小题，共60分16. 如图，棱长为2的正方体中，E，F，G分别是的中点，（1）求证：;（2）求点G到平面EFC的距离.【答案】（1）证明见解析； （
12、2）.【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标和，的坐标，根据数量积的结果，即可证明；（2）求得平面的法向量和的坐标，以及在法向量上的投影向量的模长，即可求得结果.【小问1详解】建立以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴的空间直角坐标系如下所示：则，则，故.【小问2详解】因为，设平面CEF法向量为，则有故，即，令，则，即，又，所以点G到平面CEF的距离.17. 已知的顶点.（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用
13、两点式即可求出所求；（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求.【小问1详解】线段的中点为，则中线所在直线方程为：，即.【小问2详解】设两坐标轴上的截距为，若，则直线经过原点，斜率，直线方程为，即；若，则设直线方程为，即，把点代入得，即，直线方程为；综上，所求直线方程为或.18. 如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱，的中点，是线段的中点，（1）求证：平面；（2）求平面PAC与平面EMN所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得的方向向量和平面的法向量，根据其数量积的结果即可证明；（2）分别求得两个平面的法
14、向量，结合法向量夹角和二面角之间的关系，即可求得结果.【小问1详解】因为面面，故，又，故以为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如下所示：依题意可得，=，=.设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得.又，故可得.因为平面BDE，所以MN/平面BDE.【小问2详解】易知为平面CEM的一个法向量，设为平面EMN的法向量，则，因为，所以不妨设，可得；设平面PAC与平面EMN所成角为，所以平面PAC与平面EMN所成角的余弦值为.19. 已知圆C过点，且与直线相切于点（1）求圆C的方程；（2）过点的直线与圆C交于两点，若为直角三角形，求直线的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分
15、析】（1）由题意设圆心为，由题意直线，结合即可求解；（2）由题意为直角三角形且注意到，即圆心C到直线的距离，（3）设出直线方程并利用圆心到直线之间距离即可求解.【小问1详解】设圆心坐标为，又直线与圆相切，所以，设分别代表直线斜率，所以有，由题意，所以有结合并联立得解得，圆的半径，圆的方程为：.【小问2详解】因为为直角三角形且，所以，圆心C到直线的距离，又直线过点，所以设直线方程的方程为：（其中不同时为零），因为圆心到直线 的距离为，即，化简得，所以（但）或者;所以直线方程的方程为：或者，即直线的方程为： 或.20. 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，是棱的中点.（1）求直线与平面所
16、成角的正弦值；（2）在线段上（不含端点）是否存在一点，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）； （2）线段上存在一点，理由见解析.【解析】【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量以及的方向向量，利用向量法求解线面角即可；（2）假设存在这样的点，设出点的坐标，分别求得平面的法向量，结合数量积运算即可求解.【小问1详解】因为面面，故，又，故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：则，.设平面的法向量为.，即，不妨取，得； 又.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为【小问2详解】假设在线段上（不含端点）存在一点，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为.连接.设， 得.设平面的法向量为.，即，不妨取，得；设平面MAC与平面ACE所成角为，则，化简得，解得，或，在线段上存在一点，且或时，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为.
