1、上海市闵行区六校2023-2024学年高二上期中联考数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 空间中两条直线的位置关系有_.2. 若球的半径为1，则球的体积是_.3. 空间两个角的两边分别平行，则这两个角 _4. 若正四棱柱底面周长为，高为，则该正四棱柱的表面积为_.5. 已知正方体中，直线与直线所成角的大小为_.6. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥侧面积为_7. 在矩形中，平面，则与平面所成的角的大小为_8. 若正方体的棱长为，则顶点到平面的距离为 _9. 在中，绕斜边旋转一周所得旋转体的体积为_.10. 已知为直角三角形，且，点是平
2、面外一点，若，且平面，为垂足，则_.11. 在长方体中，棱，点是线段上的一动点，则的最小值是_12. 动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为_二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13. 下列条件中，能够确定一个平面是（ ）A. 两个点B. 三个点C. 一条直线和一个点D. 两条相交直线14. 已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 非充分非必要15. 在下列判断两个平面与平行的四个命题中，真命题的个数是（ ）（1），都垂直于平面，那么.（2），都平行于平面，那么.（3），都
3、垂直于直线，那么.（4）如果，是两条异面直线，且，那么.A B. C. D. 16. 如图，在长方体中，E，F，G分别为的中点，点P在平面ABCD内，若直线平面，则线段长度的最小值是（ ）A. B. C. D. 三、解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分）17. 在直三棱柱中，D是的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角.18. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.（1）求证：平面平面；（2）求点A到平面的距离.19. 如图，在三棱锥中，平面平面，分别为棱，的中点；（1）求证：直线平面；（2）若直线与平面所成的
4、角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小；20. 高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.（1）求该圆柱的侧面积的最大值；（2）求该圆柱的体积的最大值.21. 如图为某一几何体的展开图，其中是边长为的正方形，点及共线.(1)沿图中虚线将它们折叠起来，使四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样几何体才能拼成一个棱长为的正方体?(2)设正方体的棱的中点为，求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.(3)在正方体的边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不
5、存在，请说明理由.上海市闵行区六校2023-2024学年高二上期中联考数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 空间中两条直线的位置关系有_.【答案】平行、相交、异面【解析】【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故答案为：平行、相交、异面.2. 若球的半径为1，则球的体积是_.【答案】【解析】【分析】已知半径，根据球的体积公式计算即可.【详解】已知球的半径，体积.故答案为：.3. 空间两个角的两边分别平行，则这两个角 _【答案】相等或互补【解析】【分析】利用等角定理进行求解.【详解
6、】根据等角定理有：当角两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当角的两组对应边一组同向一组反向时，两角互补故答案为：相等或互补4. 若正四棱柱的底面周长为，高为，则该正四棱柱的表面积为_.【答案】10【解析】【分析】求出侧面积和上下底面积，相加即可得答案.【详解】因为正四棱柱的底面周长为4，所以底面正方形边长为1，则该正四棱柱的表面积，故答案为：10.5. 已知正方体中，直线与直线所成角的大小为_.【答案】【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可.【详解】因为为正方体，所以，所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为.故答案为：.6. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积
7、为_【答案】【解析】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,圆锥的侧面积S=rl=2故答案为2【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=rl.7. 在矩形中，平面，则与平面所成的角的大小为_【答案】【解析】【分析】由PA平面ABCD，可得PC与平面ABCD所成角为PCA，在直角PCA中，即可求出PC与平面ABCD所成角【详解】PA平面ABCDPC与平面ABCD所成角为PCA，矩形ABCD中，AB1，BC，AC，PA1，tanPCA，PCA故答案为【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，确定PCA即为直线PC与底面ABCD所
8、成角是关键8. 若正方体的棱长为，则顶点到平面的距离为 _【答案】【解析】【分析】连接，设，进而可证明平面，再由已知棱长求得即为答案【详解】解：如图，在正方体中，由正方体的结构特征可知平面，因为平面，所以连接，设，则，因为，平面，所以，平面，即平面，所以，即为顶点到平面的距离，因为正方体的棱长为，所以，故答案为：9. 在中，绕斜边旋转一周所得旋转体的体积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，在直角中，设为斜边的中点，求出和的长，由圆锥的定义可知形成的几何体为两个圆锥，结合圆锥的体积公式计算可得答案【详解】根据题意，在中，设为斜边的中点，易得，且，将绕斜边旋转一周形成的几何体为两个圆锥，两个圆
9、锥的底面半径都为，高相等，为，则形成的几何体的体积故答案为：10. 已知为直角三角形，且，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则_.【答案】4【解析】【分析】根据线面垂直和等腰三角形三线合一的性质得到点为中点，然后根据直角三角形的性质求即可.【详解】因为平面，平面，所以，因为，所以点为中点，因为，所以.故答案为：4.11. 在长方体中，棱，点是线段上的一动点，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】将沿为轴旋转至于平面共面，可得，利用求解即可【详解】解：将沿为轴旋转至于平面共面，可得则，故，当且仅当为与的交点时取等号，所以的最小值是故答案为：12. 动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离
10、是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为_【答案】【解析】【分析】根据题意知，分情况解决即可.【详解】由题意，此问题的实质是以为球心，为半径的球，因为，所以在正方体各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为，为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为，所以这条曲线长度为，故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13. 下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）A. 两个点B. 三个点C. 一条直线和一个点D. 两条相交直线【答案】D【解析】【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不
11、能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；若点在直线上，则一条直线和一个点不能确定一个平面，可判断C；两条直线能确定一个平面，可判断D.详解】解：对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面；对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，故B不能；对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故C不能；对于D，两条相交直线能确定一个平面，故D能.故选：D.14. 已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D.
12、非充分非必要【答案】B【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合充要条件及必要条件的定义即可求解.【详解】直线在平面上，则“直线”成立时，“直线”不一定成立；“直线”“直线”，直线在平面上，则“直线”是“直线”的必要非充分条件.故选：B .15. 在下列判断两个平面与平行的四个命题中，真命题的个数是（ ）（1），都垂直于平面，那么.（2），都平行于平面，那么.（3），都垂直于直线，那么.（4）如果，是两条异面直线，且，那么.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据面面垂直的性质判断（1）；根据平面平行的传递性判断（2）；根据线面垂直的性质判断（3）；根据线面平行的性质
13、定理和面面平行的判定定理判断（4）.【详解】（1），还可以相交，故（1）错；（2）由平面平行的传递性可知（2）正确；（3）由线面垂直的性质可知（3）正确；（4）过直线作平面 与，分别交于，过直线作平面与，分别交于，因为，所以，因为，所以，同理可得，因为，是异面直线，所以，相交，因为，所以，故（4）正确.故选：D16. 如图，在长方体中，E，F，G分别为的中点，点P在平面ABCD内，若直线平面，则线段长度的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意和面面平行的判定，可得平面平面，所以点P在直线上，当时，线段的长度最小，由三角形等面积法可得结果.【详解】如图，连接，因为
14、E，F，G分别为的中点，所以平面，则平面，因为，所以同理得平面，又，得平面平面，因为直线平面，所以点P在直线上，在中，有，所以，故当时，线段的长度最小，有故选：D【点睛】本题考查了面面平行的判定定理和三角形的等面积法求高，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.三、解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分）17. 在直三棱柱中，D是的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角.【答案】（1）证明见解析. （2）【解析】【分析】（1）根据题意，设与的交点为，由线面平行的判定定理，即可证明；（2）由条件可得为直线与所成
15、的角，结合余弦定理，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设与的交点为，连接，因为为直三棱柱，且，则四边形为正方形，所以为的中点，又D是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）可知，所以为直线与所成的角（或其补角），在中，由余弦定理可得，则，即异面直线与所成的角为.18. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.（1）求证：平面平面；（2）求点A到平面的距离.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直；（2）等体积法求解点到平面的距离.【小问1详解】因为四棱柱为正四棱柱，所以平面ABCD，且ACBD，因为平面ABCD，所以B
16、D，因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接，因为正方形的边长为，所以，由三线合一可得：BD，且，由勾股定理得：，所以，故，又，平面故，由，故点A到平面的距离为.19. 如图，在三棱锥中，平面平面，分别为棱，的中点；（1）求证：直线平面；（2）若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小；【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可得答案；（2）根据平面可得为二面角的平面角，为直线与平面所成的角，由平面，为直线与平面所成的角，设，在直角三角形中计算边长可得答案【
17、小问1详解】证明：因为平面平面，平面平面，平面,所以平面，平面，所以，又，,平面，所以直线平面；【小问2详解】由（2）知，平面，平面，平面，所以，即为二面角的平面角，平面平面，平面平面，平面，平面，是直线与平面所成角，即，所以，由（2）知平面，为直线与平面所成的角，直线与平面所成角为，设，则，为等腰直角三角形，是二面角的平面角，二面角的大小为20. 高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.（1）求该圆柱的侧面积的最大值；（2）求该圆柱体积的最大值.【答案】（1） （2）
18、【解析】【分析】（1）设圆柱的半径为，高为，由题意得，用表示，计算圆柱的侧面积，利用基本不等式求出侧面积的最大值（2）写出圆柱的体积解析式，利用导数求出圆柱体的最大体积【小问1详解】设圆柱的半径为，高为，则由题意可得，解得，所以圆柱的侧面积为，因为，当且仅当，即时取“”，所以圆柱的侧面积最大值为【小问2详解】圆柱的体积为，求导，得，令，解得或（不合题意，舍去），当时，单调递增；当时，单调递减，当时，取最大值，所以圆柱体的最大体积为21. 如图为某一几何体的展开图，其中是边长为的正方形，点及共线.(1)沿图中虚线将它们折叠起来，使四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长
19、为的正方体?(2)设正方体的棱的中点为，求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.(3)在正方体的边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）直观图见解析，3个；（2）；（3）不存【解析】【分析】（1）先还原为一个四棱锥，在正方体中观察；（2）延长与延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，作出二面角的平面角，计算即可；（3）假设点存在，作出点到平面的垂线段，然后计算的长，若，则点在边上，否则不在边上【详解】（1）图1图1左边是所求直观图，放到图1右边正方体中，观察发现要3个这样的四棱锥才能拼成一个正方体（2）图2如图（2）延长与延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，作于，连接，平面，平面，又，平面，是二面角的平面角，是中点，即，是中点，正方体棱长为6，中，（3）假设存在点满足题意，图3如图3，作于，平面，而，平面的长就是点到平面的距离，由，得，不在线段上，假设错误，满足题意的点不存在【点睛】本题考查多面体的展开图，考查二面角、点到平面的距离立体几何中求角时要作出这个角的“平面角”，并证明，然后计算点到平面的距离可能通过作以平面的垂线段计算，也可通过体积法求解
