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上海市闵行区六校2023-2024学年高二上期中联考数学试卷(含答案解析)

1、上海市闵行区六校2023-2024学年高二上期中联考数学试题一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分)1. 空间中两条直线的位置关系有_.2. 若球的半径为1,则球的体积是_.3. 空间两个角的两边分别平行,则这两个角 _4. 若正四棱柱底面周长为,高为,则该正四棱柱的表面积为_.5. 已知正方体中,直线与直线所成角的大小为_.6. 已知圆锥底面半径为1,高为,则该圆锥侧面积为_7. 在矩形中,平面,则与平面所成的角的大小为_8. 若正方体的棱长为,则顶点到平面的距离为 _9. 在中,绕斜边旋转一周所得旋转体的体积为_.10. 已知为直角三角形,且,点是平

2、面外一点,若,且平面,为垂足,则_.11. 在长方体中,棱,点是线段上的一动点,则的最小值是_12. 动点的棱长为1的正方体表面上运动,且与点的距离是,点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度为_二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13. 下列条件中,能够确定一个平面是( )A. 两个点B. 三个点C. 一条直线和一个点D. 两条相交直线14. 已知直线在平面上,则“直线”是“直线”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 非充分非必要15. 在下列判断两个平面与平行的四个命题中,真命题的个数是( )(1),都垂直于平面,那么.(2),都平行于平面,那么.(3),都

3、垂直于直线,那么.(4)如果,是两条异面直线,且,那么.A B. C. D. 16. 如图,在长方体中,E,F,G分别为的中点,点P在平面ABCD内,若直线平面,则线段长度的最小值是( )A. B. C. D. 三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17. 在直三棱柱中,D是的中点.(1)求证:平面;(2)求异面直线与所成的角.18. 如图,已知正四棱柱,底面正方形的边长为,.(1)求证:平面平面;(2)求点A到平面的距离.19. 如图,在三棱锥中,平面平面,分别为棱,的中点;(1)求证:直线平面;(2)若直线与平面所成的

4、角为,直线与平面所成角为,求二面角的大小;20. 高二学农期间,某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中,某学生欲将一个底面半径为,高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体,并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.(1)求该圆柱的侧面积的最大值;(2)求该圆柱的体积的最大值.21. 如图为某一几何体的展开图,其中是边长为的正方形,点及共线.(1)沿图中虚线将它们折叠起来,使四点重合,请画出其直观图,试问需要几个这样几何体才能拼成一个棱长为的正方体?(2)设正方体的棱的中点为,求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.(3)在正方体的边上是否存在一点,使得点到平面的距离为,若存在,求出的值;若不

5、存在,请说明理由.上海市闵行区六校2023-2024学年高二上期中联考数学试题一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分)1. 空间中两条直线的位置关系有_.【答案】平行、相交、异面【解析】【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】空间中两条直线的位置关系有:平行、相交、异面.故答案为:平行、相交、异面.2. 若球的半径为1,则球的体积是_.【答案】【解析】【分析】已知半径,根据球的体积公式计算即可.【详解】已知球的半径,体积.故答案为:.3. 空间两个角的两边分别平行,则这两个角 _【答案】相等或互补【解析】【分析】利用等角定理进行求解.【详解

6、】根据等角定理有:当角两组对应边同时同向或同时反向时,两角相等;当角的两组对应边一组同向一组反向时,两角互补故答案为:相等或互补4. 若正四棱柱的底面周长为,高为,则该正四棱柱的表面积为_.【答案】10【解析】【分析】求出侧面积和上下底面积,相加即可得答案.【详解】因为正四棱柱的底面周长为4,所以底面正方形边长为1,则该正四棱柱的表面积,故答案为:10.5. 已知正方体中,直线与直线所成角的大小为_.【答案】【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可.【详解】因为为正方体,所以,所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角,即为.故答案为:.6. 已知圆锥底面半径为1,高为,则该圆锥的侧面积

7、为_【答案】【解析】【分析】由已知求得母线长,代入圆锥侧面积公式求解【详解】由已知可得r=1,h=,则圆锥的母线长l=,圆锥的侧面积S=rl=2故答案为2【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=rl.7. 在矩形中,平面,则与平面所成的角的大小为_【答案】【解析】【分析】由PA平面ABCD,可得PC与平面ABCD所成角为PCA,在直角PCA中,即可求出PC与平面ABCD所成角【详解】PA平面ABCDPC与平面ABCD所成角为PCA,矩形ABCD中,AB1,BC,AC,PA1,tanPCA,PCA故答案为【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角,确定PCA即为直线PC与底面ABCD所

8、成角是关键8. 若正方体的棱长为,则顶点到平面的距离为 _【答案】【解析】【分析】连接,设,进而可证明平面,再由已知棱长求得即为答案【详解】解:如图,在正方体中,由正方体的结构特征可知平面,因为平面,所以连接,设,则,因为,平面,所以,平面,即平面,所以,即为顶点到平面的距离,因为正方体的棱长为,所以,故答案为:9. 在中,绕斜边旋转一周所得旋转体的体积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意,在直角中,设为斜边的中点,求出和的长,由圆锥的定义可知形成的几何体为两个圆锥,结合圆锥的体积公式计算可得答案【详解】根据题意,在中,设为斜边的中点,易得,且,将绕斜边旋转一周形成的几何体为两个圆锥,两个圆

9、锥的底面半径都为,高相等,为,则形成的几何体的体积故答案为:10. 已知为直角三角形,且,点是平面外一点,若,且平面,为垂足,则_.【答案】4【解析】【分析】根据线面垂直和等腰三角形三线合一的性质得到点为中点,然后根据直角三角形的性质求即可.【详解】因为平面,平面,所以,因为,所以点为中点,因为,所以.故答案为:4.11. 在长方体中,棱,点是线段上的一动点,则的最小值是_【答案】【解析】【分析】将沿为轴旋转至于平面共面,可得,利用求解即可【详解】解:将沿为轴旋转至于平面共面,可得则,故,当且仅当为与的交点时取等号,所以的最小值是故答案为:12. 动点的棱长为1的正方体表面上运动,且与点的距离

10、是,点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度为_【答案】【解析】【分析】根据题意知,分情况解决即可.【详解】由题意,此问题的实质是以为球心,为半径的球,因为,所以在正方体各个面上交线的长度计算,正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为,为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧,由于截面圆半径为,故各段弧圆心角为,所以这条曲线长度为,故答案为:二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13. 下列条件中,能够确定一个平面的是( )A. 两个点B. 三个点C. 一条直线和一个点D. 两条相交直线【答案】D【解析】【分析】两个点能确定一条直线,但一条直线不

11、能确定一个平面,可判断A;若三个点共线,则不能确定一个平面,可判断B;若点在直线上,则一条直线和一个点不能确定一个平面,可判断C;两条直线能确定一个平面,可判断D.详解】解:对于A,两个点能确定一条直线,但一条直线不能确定一个平面,所以两个点不能确定一个平面;对于B,三个不共线的点可以确定一个平面,若三个点共线,则不能确定一个平面,故B不能;对于C,一条直线和这条直线外一点能确定一个平面,若这个点在直线上,则不能确定一个平面,故C不能;对于D,两条相交直线能确定一个平面,故D能.故选:D.14. 已知直线在平面上,则“直线”是“直线”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D.

12、非充分非必要【答案】B【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理,结合充要条件及必要条件的定义即可求解.【详解】直线在平面上,则“直线”成立时,“直线”不一定成立;“直线”“直线”,直线在平面上,则“直线”是“直线”的必要非充分条件.故选:B .15. 在下列判断两个平面与平行的四个命题中,真命题的个数是( )(1),都垂直于平面,那么.(2),都平行于平面,那么.(3),都垂直于直线,那么.(4)如果,是两条异面直线,且,那么.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据面面垂直的性质判断(1);根据平面平行的传递性判断(2);根据线面垂直的性质判断(3);根据线面平行的性质

13、定理和面面平行的判定定理判断(4).【详解】(1),还可以相交,故(1)错;(2)由平面平行的传递性可知(2)正确;(3)由线面垂直的性质可知(3)正确;(4)过直线作平面 与,分别交于,过直线作平面与,分别交于,因为,所以,因为,所以,同理可得,因为,是异面直线,所以,相交,因为,所以,故(4)正确.故选:D16. 如图,在长方体中,E,F,G分别为的中点,点P在平面ABCD内,若直线平面,则线段长度的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意和面面平行的判定,可得平面平面,所以点P在直线上,当时,线段的长度最小,由三角形等面积法可得结果.【详解】如图,连接,因为

14、E,F,G分别为的中点,所以平面,则平面,因为,所以同理得平面,又,得平面平面,因为直线平面,所以点P在直线上,在中,有,所以,故当时,线段的长度最小,有故选:D【点睛】本题考查了面面平行的判定定理和三角形的等面积法求高,考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于中档题目.三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17. 在直三棱柱中,D是的中点.(1)求证:平面;(2)求异面直线与所成的角.【答案】(1)证明见解析. (2)【解析】【分析】(1)根据题意,设与的交点为,由线面平行的判定定理,即可证明;(2)由条件可得为直线与所成

15、的角,结合余弦定理,代入计算,即可得到结果.【小问1详解】设与的交点为,连接,因为为直三棱柱,且,则四边形为正方形,所以为的中点,又D是的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面.【小问2详解】由(1)可知,所以为直线与所成的角(或其补角),在中,由余弦定理可得,则,即异面直线与所成的角为.18. 如图,已知正四棱柱,底面正方形的边长为,.(1)求证:平面平面;(2)求点A到平面的距离.【答案】(1)证明见解析; (2).【解析】【分析】(1)证明出平面,从而得到面面垂直;(2)等体积法求解点到平面的距离.【小问1详解】因为四棱柱为正四棱柱,所以平面ABCD,且ACBD,因为平面ABCD,所以B

16、D,因为,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.【小问2详解】设点A到平面的距离为,AC与BD相交于点O,连接,因为正方形的边长为,所以,由三线合一可得:BD,且,由勾股定理得:,所以,故,又,平面故,由,故点A到平面的距离为.19. 如图,在三棱锥中,平面平面,分别为棱,的中点;(1)求证:直线平面;(2)若直线与平面所成的角为,直线与平面所成角为,求二面角的大小;【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可得答案;(2)根据平面可得为二面角的平面角,为直线与平面所成的角,由平面,为直线与平面所成的角,设,在直角三角形中计算边长可得答案【

17、小问1详解】证明:因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,平面,所以,又,,平面,所以直线平面;【小问2详解】由(2)知,平面,平面,平面,所以,即为二面角的平面角,平面平面,平面平面,平面,平面,是直线与平面所成角,即,所以,由(2)知平面,为直线与平面所成的角,直线与平面所成角为,设,则,为等腰直角三角形,是二面角的平面角,二面角的大小为20. 高二学农期间,某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中,某学生欲将一个底面半径为,高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体,并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.(1)求该圆柱的侧面积的最大值;(2)求该圆柱体积的最大值.【答案】(1) (2)

18、【解析】【分析】(1)设圆柱的半径为,高为,由题意得,用表示,计算圆柱的侧面积,利用基本不等式求出侧面积的最大值(2)写出圆柱的体积解析式,利用导数求出圆柱体的最大体积【小问1详解】设圆柱的半径为,高为,则由题意可得,解得,所以圆柱的侧面积为,因为,当且仅当,即时取“”,所以圆柱的侧面积最大值为【小问2详解】圆柱的体积为,求导,得,令,解得或(不合题意,舍去),当时,单调递增;当时,单调递减,当时,取最大值,所以圆柱体的最大体积为21. 如图为某一几何体的展开图,其中是边长为的正方形,点及共线.(1)沿图中虚线将它们折叠起来,使四点重合,请画出其直观图,试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长

19、为的正方体?(2)设正方体的棱的中点为,求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.(3)在正方体的边上是否存在一点,使得点到平面的距离为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)直观图见解析,3个;(2);(3)不存【解析】【分析】(1)先还原为一个四棱锥,在正方体中观察;(2)延长与延长线交于点,连接,则为平面与平面的交线,作出二面角的平面角,计算即可;(3)假设点存在,作出点到平面的垂线段,然后计算的长,若,则点在边上,否则不在边上【详解】(1)图1图1左边是所求直观图,放到图1右边正方体中,观察发现要3个这样的四棱锥才能拼成一个正方体(2)图2如图(2)延长与延长线交于点,连接,则为平面与平面的交线,作于,连接,平面,平面,又,平面,是二面角的平面角,是中点,即,是中点,正方体棱长为6,中,(3)假设存在点满足题意,图3如图3,作于,平面,而,平面的长就是点到平面的距离,由,得,不在线段上,假设错误,满足题意的点不存在【点睛】本题考查多面体的展开图,考查二面角、点到平面的距离立体几何中求角时要作出这个角的“平面角”,并证明,然后计算点到平面的距离可能通过作以平面的垂线段计算,也可通过体积法求解