1、江苏省连云港市赣榆区2022-2023学年高二上期中数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 直线在y轴上的截距为（ ）A. B. C. 2D. 42. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 3. 设a为实数，若直线与直线平行，则a的值为（ ）A. 5B. 3C. 2D. 4. 班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左右焦点分别是，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ） A. B. C.
2、 D. 5. 已知点，点B在直线上，则AB的最小值为（ ）A. B. C. D. 46. 已知圆C：，P为直线l：上的动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形APBC的面积最小时，直线AB的方程为（ ）A. B. C. D. 7. 双曲线C：右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 8. 已知圆：（）和两点，.若圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2
3、分，有选错的得0分.9. 设a为实数，直线：，：，则（ ）A. 恒过点B. 若，则C. 若，则或0D. 当时，不经过第一象限10. 设抛物线的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（ ）A. 若，则O为线段MN的中点B. 若，则C. 若，则D. 存在点M，使得11. 已知点P在圆上，点，则（ ）A. B. 当面积最大时，C. 当最小时，D. 当最大时，12. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：.则下列
4、结论正确的是（ ）A. 曲线C关于y轴对称B. 的最小值为C. 面积的最大值为D. 的取值范围为三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13. 若直线l经过点，则l的斜率为_.14. 写出一个同时满足下列条件的双曲线的标准方程_.焦点在x轴上；渐近线方程为.15. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，过的直线l交椭圆C于A，B两点.若的内切圆的半径为，则直线l的方程为_.16. 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度，拱高，则这个圆拱所在的圆的半径为_.若建造时每间隔4需要用一根支柱支撑，则支柱的高度为_（精确到0.01）.（参考数据：，） 四解答题：本题
5、共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.（1）求双曲线C的标准方程；（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.18. 在焦点到准线的距离是2，准线方程是，通径的长等于4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：，_.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于点A，B，求证：.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.19. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心重心垂心在同一条直线上，
6、后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点为，.（1）求外接圆的方程；（2）求欧拉线的方程.20. 在平面直角坐标系中，已知射线OA：，OB：.过点作直线分别交射线OA，OB于点A，B.（1）当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程；（2）当面积为时，求直线AB的方程.21 已知圆C：和定点，直线l：（）.（1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长；（2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围.22. 已知椭圆C：的焦距为，且椭圆经过点.（1）求椭圆C方程；（2）设直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ斜率之和为，求l的斜率.江苏省连云港市赣榆区2022-2023学年高
7、二上期中数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 直线在y轴上的截距为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据纵截距的求法求得正确答案.【详解】由令得，所以纵截距为.故选：B2. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程的特征和性质即可求解.【详解】由抛物线，得，解得：，所以抛物线的焦点坐标为，故选：A3. 设a为实数，若直线与直线平行，则a的值为（ ）A. 5B. 3C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线平行列式，由此求得.【详解】由于两直线平行，所以，解得.故选：B4. 班级物理社团在做光学
8、实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左右焦点分别是，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得，然后利用角平分线定理求得正确答案.【详解】椭圆对应的，所以，依题意可知是的角平分线，根据角平分线定理得.故选：D5. 已知点，点B在直线上，则AB的最小值为（ ）A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据点和直线的位置关系，易知当与直线垂直时满足题意，求出点到直线的距离即
9、可.【详解】如下图所示： 易知当与直线垂直，且为垂足时，的值最小；此时的最小值为点到直线的距离，即.故选：C6. 已知圆C：，P为直线l：上的动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形APBC的面积最小时，直线AB的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆的几何性质判断出直线时，四边形APBC的面积最小，利用圆与圆相交弦所在直线方程的求法求得正确答案.【详解】圆的方程可化为，点C到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离.依圆的知识可知，四点A，P，B，C四点共圆，且，所以四边形APBC的面积，而，当直线时，此时四边形APBC的面积最小.所以CP：即，由
10、，解得，即.所以以CP为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线AB的方程.故选：C 7. 双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，设，则，且，而，所以.故选：A8. 已知圆：（）和两点，.若圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据两点的坐标求出直线的方程和，再根据的面积得到点到直线距离为，从而将问题转化为圆上存在四个不同的点到直线的距离
11、为，结合圆的方程和圆的性质得到圆心到直线的距离小于，即可求解.【详解】由和，得直线的方程为，即，且，设点到直线的距离为，则，解得：，因为圆上存在四个不同的点，使得的面积为，所以圆上存在四个不同的点到直线的距离为，又圆：（）的圆心，半径，则圆心到直线的距离小于，即，解得：，所以的取值范围是，故选：B.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设a为实数，直线：，：，则（ ）A. 恒过点B. 若，则C. 若，则或0D. 当时，不经过第一象限【答案】BD【解析】【分析】对于A选项：将代入，即可判断
12、；对于B选项：根据两直线的平行关系得到，再检验的值，即可求解；对于C选项：根据两直线的平行关系得到，即可求解；对于D选项：讨论和，将化成斜截式，从而得到关于不等式组，即可求解.【详解】对于A选项：将代入得：，则点不在上，所以A选项错误；对于B选项：因为，则，解得：或，经检验时，不满足题意，故，所以B选项正确；对于C选项：因，所以，解得：或，经检验时，不满足题意，故，所以C选项错误；对于D选项：当时，直线的方程为，不经过第一象限，满足题意；当时，直线的方程可化为，不经过第一象限，所以或解得：，综上：，所以D选项正确，故选：BD.10. 设抛物线的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，
13、直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（ ）A. 若，则O为线段MN的中点B. 若，则C. 若，则D. 存在点M，使得【答案】AC【解析】【分析】对每个选项，根据已知条件求得的坐标，并由此判断出正确答案.【详解】抛物线的焦点为，准线为，A选项，所以，不妨设，则直线的方程为，令得，所以，所以是线段的中点，所以A选项正确.BC选项，所以，则，B选项错误，不妨设，则直线的方程为，令得，所以，所以，所以，C选项正确.D选项，设，则直线的方程为，由消去得，解得或，当时，则，而，所以，所以不存在点M，使得，即D选项错误.故选：AC 11. 已知点P在圆上，点，则（ ）A. B. 当面积最大时，C.
14、 当最小时，D. 当最大时，【答案】ACD【解析】【分析】根据两点间的距离、三角形的面积、角的大小等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设，则，所以，A选项正确.，当，时，面积最大，对应，所以B选项错误.对于CD选项，只需过点的直线与圆相切即可，而，则当与圆相切时，所以CD选项正确.故选：ACD 12. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：.则下列结论正确的是（ ）A. 曲线C关于y轴对称B. 的最小值为C. 面积的最大值为D. 的取值范围为【答案】
15、ABD【解析】【分析】根据条件得到，从而求得，利用换元法，令，得到，对于A选项：令即可判断；对于B选项：结合条件利用基本不等式得到即可判断；对于C选项：由面积为即可判断；对于D选项：根据两点间的距离公式和条件得到即可判断.【详解】由题意得：，即，则，解得：，令，则，所以.对于A选项：方程中的x换成方程不变，所以曲线C关于y轴对称，A选项正确；对于B选项：，当且仅当，即时等号成立，所以B选项正确；对于C选项：面积为，则面积的最大值为，所以C选项错误；对于D选项：因为，则的取值范围为，所以D选项正确，故选：ABD.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1
16、3. 若直线l经过点，则l的斜率为_.【答案】3【解析】【分析】根据直线经过两点的斜率公式即可求解.【详解】因为直线经过点，所以直线的斜率，故答案为：3.14. 写出一个同时满足下列条件的双曲线的标准方程_.焦点在x轴上；渐近线方程为.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据双曲线焦点所在坐标轴以及渐近线方程写出双曲线的标准方程.【详解】双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为，由于双曲线的渐近线方程为，所以，.所以可取，此时双曲线的一个标准方程为.故答案为：（答案不唯一）15. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，过的直线l交椭圆C于A，B两点.若的内切圆的半径为，则直线l的方程为_.【答案】
17、【解析】【分析】设出直线的方程，根据椭圆的定义以及三角形内切圆的半径求得直线的方程.【详解】椭圆对应的，所以右焦点，依题意可知直线与轴不平行，故可设直线的方程为，此时由于在椭圆内部，所以直线与椭圆必有两个交点，设，由消去并化简得，易知，则，所以，的内切圆的半径为，的周长为，所以，即，解得，所以直线的方程为.故答案为： 16. 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度，拱高，则这个圆拱所在的圆的半径为_.若建造时每间隔4需要用一根支柱支撑，则支柱的高度为_（精确到0.01）.（参考数据：，） 【答案】 . 14.5 . 3.86【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，根据条件得
18、到，设圆的方程是，代入点和点求得圆的方程，再将点的横坐标代入圆的方程，即可求解.【详解】由题意，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设圆心坐标是，圆的半径是r，则圆的方程是.因为P，B两点都在圆上，则有，解得，所以圆的方程是；将点的横坐标代入圆的方程，得，即，其中的纵坐标，所以.即支柱的高度约为3.86m.故答案为：；.四解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.（1）求双曲线C的标准方程；（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1
19、）根据已知条件取得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.（2）利用点到直线的距离公式求得正确答案.【小问1详解】椭圆焦点坐标为，设双曲线的方程为，所以双曲线的半焦距.又由，得，所以，所以双曲线C的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为.18. 在焦点到准线的距离是2，准线方程是，通径的长等于4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：，_.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于点A，B，求证：.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）
20、（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据所选条件求得，进而求得抛物线的方程.（2）通过联立直线与抛物线的方程，求得两点的坐标或者利用根与系数关系证得.【小问1详解】选因为抛物线C：的焦点为，准线方程是，又抛物线C的焦点到准线的距离是2，所以，所以抛物线C的方程为.选因为抛物线C：的准线方程是，所以，所以抛物线C的方程为.选因为抛物线C：的通径是2p，所以，即，所以抛物线C的方程为.【小问2详解】法一：设，.由得.所以，从而.所以，所以.法二：设，.由得.所以，从而.所以，所以.法三：设，.由得.不妨取，从而，.所以，所以. 19. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的三角形的几何学
21、一书中提出：任意三角形的外心重心垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点为，.（1）求外接圆的方程；（2）求欧拉线的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）方法一：设外接圆的一般方程，利用待定系数法求得外接圆的一般方程；方法二：求得外接圆的圆心和半径，由此求得外接圆的方程.（2）方法一：先求得三角形重心、外心坐标，从而求得欧拉线；方法二：先求得垂心、外心坐标，从而求得欧拉线.【小问1详解】（方法1）设所求圆的方程为（），因为点，在所求的圆上，所以，解得.所以外接圆的方程为.（方法2）线段AB的中点为，直线AB的斜率，所以线段AB中垂线的方程为.同理可得，AC中垂线的
22、方程为，由，解得.所以外接圆的圆心为.外接圆的半径.所以外接圆的方程为.【小问2详解】（方法1）因为，所以由三角形重心的坐标公式，得的重心为，由（1）可知，外心为，所以欧拉线方程为，即.（方法2）在中，由（1）可知，直线AB的斜率为，直线AC的斜率为1，所以.所以垂心为.由（1）可知，外心为，所以欧拉线的方程为，即. 20. 在平面直角坐标系中，已知射线OA：，OB：.过点作直线分别交射线OA，OB于点A，B.（1）当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程；（2）当的面积为时，求直线AB的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意设，从而求出的中点坐标，再结合条件建立等式，求得
23、，即可得到直线方程；（2）法一：设，根据A，P，B三点共线，得到与的关系式，再由，解得，即可得到直线方程；法二：设直线AB的方程为，联立直线和射线求得点，再联立直线和射线求得点，再结合，即可求解.【小问1详解】由题意设，则线段AB的中点为，因为线段AB的中点为P，所以，解得：，.所以，则直线AB的斜率.所以直线AB的方程为，即.故直线AB方程为.【小问2详解】法一：设，因为A，P，B三点共线，所以，或，解得：.所以的面积为，解得，.所以，则直线AB的斜率.所以直线AB的方程为，即.故直线AB的方程为.法二：设直线AB的方程为，联立，得，其中，所以，联立，得，其中，所以，所以，解得：，所以直线A
24、B的方程为，即.21. 已知圆C：和定点，直线l：（）.（1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长；（2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长.（2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】圆C：，圆心，半径，当时，直线l的方程为，所以圆心C到直线l的距离，故弦长为. 【小问2详解】设，则，由，得.化简得，所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆.又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点，所以，解得，所以m的取值范围是
25、. 22. 已知椭圆C：的焦距为，且椭圆经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为，求l的斜率.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.（2）利用点差法、或设直线方程、或设直线方程、或齐次化的方法来求得的斜率.【小问1详解】因为椭圆C的焦距为，且椭圆经过点，所以，又，解得，；故椭圆C的方程为.【小问2详解】法一：（点差法）设，则，两式相减，得，所以l的斜率.因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以，整理得由得，所以，同理，因为所以，整理得-，得，所以，即l的斜率为.法二：（设线）设l：，（讨论斜率不存在不给分
26、，因为此种情况明显不符），消去y，整理得，所以，因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以，所以，所以，所以，若，则直线l：过点A，不合题意，故舍去，所以，即l的斜率为.法三：设AP：，AQ：，消去y，整理得，所以，因为，所以，同理，所以，所以l的斜率.方法四：（齐次化巧解圆锥曲线问题）因为PQ不过，所以设PQ：C：，（1的代换）化简得，所以，所以l的斜率为. 【点睛】求解椭圆方程的几种方法:方法一：定义法，根据椭圆的定义直接求解，一般用题中所给的椭圆长短轴，焦点等信息就能直接算出椭圆方程.方法二：待定系数法，根据椭圆焦点位置，长短轴，先设出对应的椭圆方程，然后再代入已知条件求系数.方法三：共焦点系方程：等等.
