1、第一章空间向量与立体几何(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则a(a+3b)= ()A.(0,34,10) B.(-3,19,7) C.44 D.232.已知直线l1的方向向量为a=(1,2,-2),直线l2的方向向量为b=(-2,3,m),若l1l2,则m等于 ()A.1 B.2 C.12 D.33.已知二面角-l-的大小为3,m,n为异面直线,且m,n,则m,n所成的角为 ()A.6 B.3 C.2 D.234.如图所示,点P是正方形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD,PA=AB,则PB
2、与AC所成的角是 ()A.90 B.60 C.45 D.305.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面对角线A1C1的中点,若BE=AA1+xAB+yAD,则 ()A.x=-12,y=12 B.x=12,y=-12 C.x=-12,y=-12 D.x=12,y=126.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为 ()A.83 B.38 C.43 D.347.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,2AC=AA1=BC=2,D为AA1上一点.若二面角B1-DC-C1的大小为60,则AD的长为
3、 ()A.2 B.3 C.2D.228.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱长等于底面边长,A1在底面的射影是ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 ()A.13 B.23 C.33 D.23二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知向量a=(1,1,0),则与a共线的单位向量e= ()A.-22,-22,0 B.(0,1,0) C.22,22,0 D.(1,1,1)10.已知空间三点A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),则
4、下列结论正确的是 ()A.ABAC=3 B.ABAC C.|BC|=23 D.cos=36511.若a=(-1,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120,则的值为()A.17 B.-17 C.-1D.112.(2021全国卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足BP=BC+BB1,其中0,1,0,1,则 ()A.当=1时,AB1P的周长为定值B.当=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值C.当=12时,有且仅有一个点P,使得A1PBPD.当=12时,有且仅有一个点P,使得A1B平面AB1P三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知平面的一个法向量
5、为u=(1,2,-1),平面的一个法向量为v=(2,2,8),若,则=_.14.如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,若以AB,AC,AD为基底,则GE=_.15.如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=1,AB=2,侧棱与底面所成的角为60,则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为_.16.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为33,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值为_.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17
6、.(10分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab, bc,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c夹角的余弦值.18.(12分)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=2,且C1CB=C1CD=60.(1)设CD=a,CB=b,CC1=c,试用a,b,c表示A1C;(2)已知O为A1C的中点,求CO的长.19.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=2,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.(1)求证:AB1平面BC1D.(2)求异面直线AB1与BC1所成角的大小.20.(12分)(20
7、22全国卷甲)在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,CDAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3.(1)证明:BDPA.(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.21.(12分)(2022全国卷)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,A1BC的面积为22.(1)求点A到平面A1BC的距离.(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.22.(12分)在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为长方形,SB底面ABCD,其中BS=2,BA=2,BC=,的可能取值为:=14;=12;=32;=32;=3.(1)求直线AS与平面ABC
8、D所成角的正弦值.(2)若线段CD上能找到点E,满足AESE,则可能的取值有几种情况?请说明理由.(3)在(2)的条件下,当为所有可能情况的最大值时,线段CD上满足AESE的点有两个,分别记为E1,E2,求平面BSE1与平面BSE2的夹角的大小.参考答案第一章空间向量与立体几何一.单项选择题（58=40）题号12345678答案CBBBACAB二.多项选择题（54=20，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ACACACBD二.填空题（54=20）13. 2. 14. -112AB-13AC+34AD 15. 14 6. 16三.解答题（6道共70分） 17.解
9、:(1)因为ab,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,所以a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).因为bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).(2)由(1),得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),设a+c与b+c的夹角为,所以cos =5-12+33838=-219.18.解:(1)由CD=a,CB=b,CC1=c,得CA1=a+b+c,所以A1C=-a-b-c.(2)由(1)和已知条件,得|a|=|b|=2,|c|=3,ab=0,=60,=60.CA1=a+b+c,则|CA1|2=CA12=(a+b+c)2=a2+b2+c
10、2+2ab+2bc+2ac=22+22+32+0+223cos 60+223cos 60=29.所以A1C的长为29,所以CO的长为292.19.(1)证明:如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.因为O为B1C的中点,D为AC的中点,所以ODAB1.因为AB1平面BC1D,OD平面BC1D,所以AB1平面BC1D.(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2).所以AB1=(0,-2,2),BC1=(2,0,2),cos=AB1BC1|AB1|BC1|=0+0+42222=12.设异面直线AB1与BC1所成的角为,则co
11、s =12,因为0,2,所以=3.20.(1)证明:因为PD底面ABCD,BD平面ABCD, 所以PDBD,如图取AB中点E,连接DE,因为AD=DC=CB=1,AB=2,所以BE=CD,又CDAB,所以四边形BCDE为平行四边形,所以DE=CB=1,所以ADE为正三角形,所以DAE=AED=60,又BE=DE,所以DBE=30,所以ADB=90,所以BDAD,又PDAD=D,PD平面PAD,AD平面PAD,所以BD平面PAD,又PA平面PAD,所以BDPA.(2)解:由(1)知,PD,AD,BD两两互相垂直,故建立空间直角坐标系如图所示,BD=AB2-AD2=3,则D(0, 0, 0),A(
12、1, 0, 0), B(0,3,0),P(0, 0,3),所以PD=(0,0, -3),PA=(1, 0, -3),AB=(-1,3,0),设平面PAB的一个法向量为n=(x, y, z),则nPA=x-3z=0,nAB=-x+3y=0,则可取n=(3,1,1),设PD与平面PAB所成的角为,则sin =|cos|=PDn|PD|n|=55,所以PD与平面PAB所成的角的正弦值为55.21.解:(1)由于V三棱柱ABC-A1B1C1=3V三棱锥A-A1BC=4,所以V三棱锥A-A1BC=43.设点A到平面A1BC的距离为h,所以V三棱锥A-A1BC=13SA1BCh=43,所以h=4SA1BC
13、=422=2.(2)因为D为A1C的中点,又平面A1BC平面ABB1A1,直三棱柱平面ABC平面ABB1A1,平面A1BC平面ABC=BC,所以BC平面ABB1A1,又AB平面ABB1A1,所以BCAB.在RtABC中,ABC=90,过点A作AHA1B,因为AH平面ABB1A1,BC平面ABB1A1,所以BCAH,又因为A1BBC=B,所以AH平面A1BC,故AH的长度为点A到平面A1BC的距离,AH=2,因为AA1=AB,A1B=2AH=22,所以AB=AA1=2,由SA1BC=22=12A1BBC,所以BC=2.以B为原点,以BC,BA,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
14、系,则C(2,0,0),A(0,2,0),A1(0,2,2),D(1,1,1),设 n平面ABD,n为(x,y,z),则nBA=0,nBD=0,得y=0,x+y+z=0,令x=1,所以 n=(1,0,-1),设 m平面BCD,m为(x0,y0,z0),则mBC=0,mBD=0得x0=0,x0+y0+z0=0,令y0=1,所以 m=(0,1,-1),所以|cos |=122=12,所以sin =32.所以二面角A-BD-C的正弦值为32.22.解:(1)因为SB底面ABCD,所以SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角.在RtSAB中,tanSAB=SBAB=22=1,所以sinSAB=22.故
15、直线AS与平面ABCD所成角的正弦值为22.(2)以B为原点,以BC,BA,BS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设CE=m,则A(0,2,0),S(0,0,2),E(,m,0),B(0,0,0),所以AE=(,m-2,0),SE=(,m,-2).因为AESE,所以AESE=(,m-2,0)(,m,-2)=2+m(m-2)=0.因为m0,2,所以2=-m(m-2)0,1.故可能的取值有3种情况,分别为=14;=12;=32.(3)由(2)知=32,所以2=34=-m(m-2),解得m=12或m=32.不妨取E132,12,0,E232,32,0,所以BS=(0,0,2),BE1=32,12,0,BE2=32,32,0,设平面BSE1的法向量为m=(x,y,z),则mBE1=32x+12y=0,mBS=2z=0.令x=1,则y=-3,z=0,所以m=(1,-3,0).同理可得,平面BSE2的一个法向量为n=(3,-1,0).所以cos=mn|m|n|=2322=32,所以=6.所以平面BSE1与平面BSE2的夹角的大小为6.
