1、江苏省苏州市2022-2023学年高一上期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是（ ）A. 任意一个素数，它的平方是偶数B. 任意一个素数，它的平方不是偶数C. 存在一个素数，它的平方是素数D. 存在一个素数，它的平方不是偶数3. 若集合A的子集个数有4个，则集合A中的元素个数是（ ）A. 2B. 4C. 8D. 164. 已知是定义在上的增函数，则（ ）A. 函数为奇函数，且在上单调递增B. 函数为偶函数，且在上单调递减C. 函数为奇函数，且在上单调递增D. 函数为偶函数
2、，且在上单调递减5. 已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（ ）A. 的图象关于原点对称B. 的值域为C. 在上单调递减D. 6. 若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（ ）A. 与有关，且与有关B. 与有关，但与无关C. 与无关，且与无关D. 与无关，但与有关7. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用该结论，则函数图象的对称中心是（ ）A B. C. D. 8. 若将有限集合的元素个数记为，对于集合，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则或C. 若，则D. 存在实数，使得二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四
3、个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列命题为真命题的是（ ）A. 是的必要不充分条件B. 或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件C. 是的充分不必要条件D. 的充要条件是10. 函数满足条件：对于定义域内任意不相等的实数恒有；对于定义域内的任意两个不相等的实数都有成立，则称其为函数.下列函数为函数的是（ ）A. B. C D. 11. 函数是定义在上的函数，则（ ）A. 若，则函数的值域为B. 若，则函数的值域为C. 若函数单调递增，则的取值范围是D. 若函数单调递增，则的取值范围是12. 下列说法正确的是（ ）A. 函数，与函数，是同一个
4、函数B. 直线与函数的图象至多有一个公共点C. 满足“值域相同，对应关系相同，但定义域不同”的函数组不存在D. 满足“定义域相同，值域相同，但对应关系不同”的函数有无数个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若，则的取值范围是_14. 若函数为奇函数，则_15. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的最大值是_16. 若函数定义域为，对任意的，都有，且，则不等式的解集是_四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数的定义域是，集合.（1）若，求，；（2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围18 已知函数.（1）若关于的不等式的解集
5、为，求实数的值；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.19. 阅读：序数属性是自然数基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题.在教材中有如下顺序公理：如果，那么；如果，那么.（1）请运用上述公理证明：“如果，那么.”（2）求证：20. 某地区上年度电价为0.8元/（kWh），年用电量为a kWh，本年度计划将电价下降到0.55元/（kWh）至0.75元/（kWh）之间，而用户期望电价为0.4元/（kWh）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kWh）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位
6、：元），实际电价为（单位：元/（kWh）.（收益=实际电量（实际电价成本价）（1）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（2）当时，求收益的最小值.21. 已知函数，.（1）当时，用表示，中的较大者，记为，求的最小值；（2）若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.22. 已知二次函数的图象经过点，且，方程有两个相等的实根.（1）求的解析式；（2）设，判断函数的单调性，并证明；已知，求函数的最小值.江苏省苏州市2022-2023学年高一上期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案
7、】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：，则.故选：A.2. 命题“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是（ ）A. 任意一个素数，它的平方是偶数B. 任意一个素数，它的平方不是偶数C. 存在一个素数，它的平方是素数D. 存在一个素数，它的平方不是偶数【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求求解.【详解】“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是“任意一个素数，它的平方不是偶数”.故选：B3. 若集合A的子集个数有4个，则集合A中的元素个数是（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】A【解析】【分析】直接根据集合元素个数和子集个数关系
8、列式计算即可.【详解】设集合A中的元素个数是，则，解得故选：A.4. 已知是定义在上的增函数，则（ ）A. 函数为奇函数，且在上单调递增B. 函数为偶函数，且在上单调递减C. 函数为奇函数，且在上单调递增D. 函数为偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】结合已知条件，利用函数奇偶性定义和其对称性可判断AB；利用奇偶性的定义以及复合函数单调性可判断CD.【详解】不妨令，则，且的定义域为，故为偶函数，则的图像关于轴对称，则不可能在上单调，故AB错误；令，则，且的定义域为，故是奇函数，因为是定义在上的增函数，所以由复合函数单调性可知，在上是减函数，故在上是增函数，故C正确，D错误.故选：C
9、.5. 已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（ ）A. 的图象关于原点对称B. 的值域为C. 在上单调递减D. 【答案】D【解析】【分析】根据为幂函数且为偶函数可得，进而得，根据奇偶性的判断可判断A，根据单调性确定值域可判断B，C,代入计算进而可判断D.【详解】因为是幂函数,所以,解得或,又是偶函数,所以,故,故;对于A;,故是偶函数，图象关于轴对称，故A错误，对于B；，由于，所以，故，故值域为，故B错误,对于C;,由于在单调递增，故在单调递减，故在递增，故C错误，对于D；从而，故D正确，故选：D6. 若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（ ）A. 与有关，且与有关B. 与
10、有关，但与无关C. 与无关，且与无关D. 与无关，但与有关【答案】B【解析】【分析】易证得函数关于对称，分，和四种情况讨论，求出函数得最大值和最小值，即可得出结论.【详解】解：因为，所以，所以函数关于对称，当时，则，与无关，与无关，当时，则，与无关，与无关，当时，则，与有关，与无关，当时，则，与有关，与无关，综上所述与有关，但与无关.故选：B.7. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用该结论，则函数图象的对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据为奇函数，由奇函数满足的关系式即可列方程求解.【详解】设的图象关于点，令，则，由为奇函数，故，
11、即，化简得，故且，解得，故对称中心为，故选：C8. 若将有限集合的元素个数记为，对于集合，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则或C. 若，则D. 存在实数，使得【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再对分类讨论求出集合，最后根据所给对于及集合的运算一一分析即可.【详解】解：由，即，解得，所以，对于A：当时，即，解得，所以，所以，所以，故A错误；由，即，当时解得，当时解得，当时解得，即当时，当时，当时，对于B：若， 若则，则，此时，若则，则，此时，综上可得或，故B错误；对于C：若，当时显然满足，当时则，解得，当时则，解得，综上可得，故C正确；对于D：因为，若，则，此时
12、，即，则，与矛盾，故D错误；故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列命题为真命题的是（ ）A. 是的必要不充分条件B. 或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件C. 是的充分不必要条件D. 的充要条件是【答案】BD【解析】【分析】由已知，选项A，可举例当时，判断是否满足必要性；选项B，选项C，选项D，可根据条件和结论分别验证充分性和必要性.【详解】选项A，必要性：，当时，此时，该选项错误；选项B，中有一个数为有理数时，不一定为有理数（如：），所以或为有理数不一定能推导出为
13、有理数；为有理数时，可能均为无理数（如：），所以，此时为有理数不一定能推导出或为有理数，所以该选项正确；选项C，充分性：，必要性：，应为充要条件，所以该选项错误；选项D，必要性：，所以，即，所以；充分性：，则，该选项正确.故选：BD.10. 函数满足条件：对于定义域内任意不相等的实数恒有；对于定义域内的任意两个不相等的实数都有成立，则称其为函数.下列函数为函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】利用函数的定义结合图象逐一判断即可.【详解】依题意，对于定义域内任意不相等的实数恒有，即 是减函数；对于定义域内的任意两个实数都有成立， 是下凹函数.A选项中，是减函数，且，故
14、不满足条件，不是函数；B选项中，是减函数，如图可知，图象下凹，是 函数；C选项中，是减函数，如图可知，图象下凹， 函数；D选项中，是增函数，如图所示，所以不是 函数.故选：BC.11. 函数是定义在上的函数，则（ ）A. 若，则函数的值域为B. 若，则函数的值域为C. 若函数单调递增，则的取值范围是D. 若函数单调递增，则的取值范围是【答案】BD【解析】【分析】AB选项利用分段函数的值域求解判断；CD选项利用分段函数的单调性求解判断.【详解】解：若，则函数，当时，则，当时，所以，故A错误B正确； 若函数单调递增，则 ，解得，所以的取值范围是，故C错误D正确.故选：BD12. 下列说法正确的是（
15、 ）A. 函数，与函数，是同一个函数B. 直线与函数的图象至多有一个公共点C. 满足“值域相同，对应关系相同，但定义域不同”的函数组不存在D. 满足“定义域相同，值域相同，但对应关系不同”的函数有无数个【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的定义，以及函数的三个要素：定义域，值域和对应关系，结合选项即可逐一求解.【详解】对于A;函数的对应关系，定义域相同，故为同一个函数，A正确，对于B;根据函数的定义，对于定义域内任意的自变量,都有唯一确定的与之对应，故直线与函数的图象至多有一个公共点，B正确，对于C；如，两函数的值域均为，对应关系相同，但定义域不同，故C错误，对于D；例如对任意的一次函数，定
16、义域值域均为,但对应关系不同，故D正确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】直接利用不等式的性质计算即可.【详解】，又，+可得即的取值范围是故答案为：14. 若函数为奇函数，则_【答案】3【解析】【分析】结合已知条件，首先利用奇函数性质和赋值法求出参数，进而可得到答案.【详解】因为是奇函数，所以，即，故.故答案为：3.15. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的最大值是_【答案】【解析】【分析】参变分离得，再利用基本不等式求的最小值即可.【详解】由恒成立得恒成立，即求的最小值又当且仅当，即时等号成立，的最小值为4，即实
17、数的最大值是4故答案为：4.16. 若函数的定义域为，对任意的，都有，且，则不等式的解集是_【答案】#【解析】【分析】由已知，根据经过变形得到，可令，即可判断函数的单调性，将要求的不等式转化为，然后利用单调性直接求解即可.【详解】由已知，函数定义域为，且，可设，则，令，所以，又因为，所以函数在上单调递增，不等式可变为，又因为，所以，所以，即，又因为函数在上单调递增，所以，解得：.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数的定义域是，集合.（1）若，求，；（2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围【答案】（1）， （2）【解析】【分析
18、】(1)根据函数解析式，求出集合,然后利用集合的运算即可求解；(2)将条件进行等价转化，也即，列出条件成立的不等式组，解之即可.【小问1详解】要使函数有意义，则有，解得，故 若，则， ，.【小问2详解】由（1）知：，若命题“”是真命题，则. ， 故实数的取值范围是.18. 已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由韦达定理即可求得实数的值；（2）分和两种情况讨论即可.【小问1详解】因为不等式的解集为，所以，且方程的两不等根为和1,（）由韦达定理得:， 解得：.【小问2详解】当时，不等式为，解
19、得，不等式的解集为，不满足题意；当时，由，可得的解集为，所以有，即 ，解得.所以实数的取值范围是.19. 阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题.在教材中有如下顺序公理：如果，那么；如果，那么.（1）请运用上述公理证明：“如果，那么.”（2）求证：【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用不等式基本性质得到，从而得到；（2）法一：利用基本不等式得到，的取值范围为，从而且，利用（1）中的结论即可得到答案；法二：令，得到函数为对勾函数，从而得到函数的单调性和值域，令，得到的取值范围为，此时，利用其单调性求出值域，得到答案；法三：
20、令，则，令，得到的取值范围为，换元后得到，再用作差法和因式分解得到，分和，均有，证明出，证明出结论.【小问1详解】，且，同理，；【小问2详解】法一：当同号时，.当异号时，.综上可知，的取值范围为，的取值范围为且，由（1）中的结论可知：.法二：令，则关于的函数在区间和上单调递增，在和上单调递减，所以的值域为.令，则的取值范围为，令函数，则在上单调递减，在上单调递增.所以函数的值域为，所以，故.法三：令，则，令，则的取值范围为，又，所以.因为当时，；当时，.所以，又，所以，原命题即证.20. 某地区上年度电价为0.8元/（kWh），年用电量为a kWh，本年度计划将电价下降到0.55元/（kWh）
21、至0.75元/（kWh）之间，而用户期望电价为0.4元/（kWh）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kWh）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kWh）.（收益=实际电量（实际电价成本价）（1）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（2）当时，求收益的最小值.【答案】（1）0.6元/（kWh） （2）【解析】【分析】（1）先表示出下调电价后新增用电量，则电力部门的收益当时，代入表达式中列出不等式，解出结果即可得实际电价最低定价.（2）当时，代
22、入收益中，利用基本不等式求出收益得最小值即可【小问1详解】由题意知，下调电价后新增用电量为.故电力部门的收益，. （1）当时，.由题意知且. 化简得. 解得. 或 又.所以实际电价最低定为：0.6元/（kWh）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%小问2详解】当时，. 令，.， 当且仅当时取等号.故收益的最小值.21. 已知函数，.（1）当时，用表示，中的较大者，记为，求的最小值；（2）若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)利用分段函数表示，并利用作差法求出分段函数中对应的自变量范围，最后利用单调性即可求解；(2)构造函数，由单调性定
23、义可知在上单调递增，然后分类讨论的参数和判别式即可求解.【小问1详解】当时，则，由或，此时；，此时，从而，结合一元二次函数和一次函数性质可知，在上单调递减，在单调递增，从而故的最小值为.【小问2详解】令，由对任意，（）恒成立，即对任意，（）恒成立，故在上单调递增，由二次函数性质可知，的图像开口向上，若时，即时，在上恒成立，则若要在上单调递增，只需即可，则；若时，即或时，令，解得，且，则由二次函数性质可知，在和上单调递减，在和上单调递增，若要在上单调递增，则或解得或，综上所述，实数的取值范围为.22. 已知二次函数图象经过点，且，方程有两个相等的实根.（1）求的解析式；（2）设，判断函数的单调性
24、，并证明；已知，求函数的最小值.【答案】（1） （2）在单调递减，在单调递增；【解析】【分析】（1）通过待定系数的方式，以及条件中二次函数图象经过点，方程有两个相等的实根，列出对应的方程组，从而得到的解析式；（2）通过单调性的定义证明函数的单调；因为条件中的和中的具有关系，所以可以换元，并求出的范围，并将函数化简为，从而求出函数的最小值.【小问1详解】（法一）设，则，由得， 化简得恒成立，则，即因为方程有两个相等实根，即有两个相等实根，所以，可得，.（法二）由可得对称轴为，又过点，因此设，所以因为方程有两个相等实根，即有两个相等实根，所以，可得.【小问2详解】在单调递减，在单调递增.证明：任取，则 当时，则，在单调递增；当时，则，在单调递减.因此在单调递减，在单调递增. 令，则.因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以.设，1）当时，在上单调递增， 2）当时， ，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增所以在上单调递增， 综上，.
