1、北京市大兴区2022-2023学年高一上期中考试数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，3. 已知函数若，则实数的值为（ ）A. B. 或C. 或D. 4. 下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）A. y= x+1B. C. D. 5. 如果，且，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知f(x)x2(m2)x2在区间1，3上是单调函数
2、，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 给出下列个不等式：x1；0x1；2x0；1x1，其中，可以使x21成立的一个充分条件的所有序号为（ ）A. B. C. D. 9. 已知为定义在上的奇函数，且，当时，则当时，的所有解的和为（ ）A. B. C. D. 10. 有米长的钢材，要做成如图所示窗户的窗框：上半部分为四个全等的扇型组成的半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则窗户面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数f(x)=的定义域为_.12. 设集合，若，则_.13. 若，并且，则由小到大顺序排列是_.14.
3、 设函数的定义域为，能说明“若函数在上的最大值为，则函数在上单调递增“为假命题的一个函数是_.15 已知非空集合满足：，.对于函数给出下列结论：存在非空集合对，使得没有最小值；不存在非空集合对，使得为奇函数；存在唯一非空集合对，使得为偶函数；存在无穷多非空集合对，使得方程无解.其中，所有正确结论的序号为_.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知集合，且.（1）当时，求；（2）若，求m的取值范围.17. 已知函数，且.（1）求实数a的值；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明.18. 一公司某年用98万元购进一台
4、生产设备，使用年后需要维护费总计万元，该设备每年创造利润50万元.（1）求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？（2）求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？19. 已知是R上的奇函数，且当时，.（1）作出函数图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间；（2）求当时，的解析式；（3）讨论关于的方程的解的个数.（直接写出结论）20. 已知函数，.（1）若是偶函数，求取值；（2）求关于的不等式的解集.21. 已知含有限个元素的集合是正整数集的子集，且中至少含有两个元素.若是由中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合是集合的衍生集.（1）当时，写出集合的衍生集；（2）若是由4个正整数构
5、成的集合，求其衍生集的元素个数的最小值；（3）判断是否存在5个正整数构成的集合，使其衍生集，并说明理由.北京市大兴区2022-2023学年高一上期中考试数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】由已知可得.故选：B.2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定即可直接求解.【详解】由题意知，命题“”的否定为“”.故选：B.3. 已知函数若，则实数的值为（ ）A. B. 或C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】根
6、据分段函数解析式求解即可.【详解】由题知：.故选：A4. 下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）A. y= x+1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一次函数，幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A，y= x+1的定义域和值域都为，该函数的定义域与值域相同.对于B，的定义域为，值域为，该函数的定义域与值域相同.对于C，的定义域为，值域为，该函数的定义域与值域相同.对于D，的定义域为，值域为，该函数的定义域与值域不相同.故选：D5. 如果，且，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可知，而的符号不确定，
7、结合不等式的基本性质可判断各选项的正误.【详解】因为，则，即，而的符号不确定，对于A选项，若，则，A错；对于B选项，若，则，B错；对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对；对于D选项，因为，由不等式的基本性质可得，D错.故选：C.6. “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】“”是“”的充分必要条件故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键7. 已知f(x)x2(m2)x2在区间1，3上是单调函数，则实数m的
8、取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，结合二次函数的图象即可求解.【详解】因为函数，开口向上，对称轴为，又因为函数在区间上是单调函数，当函数在区间上单调递增时，则有，解得：；当函数在区间上单调递减时，则有，解得：；综上可知：实数取值范围是，故选：.8. 给出下列个不等式：x1；0x1；2x0；1x1，其中，可以使x21成立的一个充分条件的所有序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据和一元二次不等式的解法可得，结合，然后根据充分，必要条件进行判定【详解】，是的充分条件；是必要不充分条件；是不必要不充分条件.故
9、选：C.9. 已知为定义在上的奇函数，且，当时，则当时，的所有解的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析函数的周期性和对称性，作出函数与在上的图象，数形结合可求得结果.【详解】因为已知为定义在上的奇函数，且，则，所以，故函数为周期函数，且周期为，且函数的图象关于直线对称，故函数在上的图象关于直线对称，当时，则，作出函数与在上的图象如下图所示：由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点，分别为、，设，由图可知，点、关于直线对称，点、关于直线对称，则.故选：A.10. 有米长的钢材，要做成如图所示窗户的窗框：上半部分为四个全等的扇型组成的半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成
10、的矩形，则窗户面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设小矩形的长为米，宽为米，窗户的面积为平方米，根据图形可得，进而求出面积S的关系式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设小矩形的长为米，宽为米，窗户的面积为平方米，则，所以，所以，由，得，解得，因为，所以当时，窗户的面积取得最大，且最大值为.故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数f(x)=的定义域为_.【答案】且【解析】【分析】由分母不能为和根式内部的代数式大于等于联立不等式组，解得即可.【详解】由题意得：，解得，所以定义域为且.故答案为：且【点睛】本题
11、主要考查了函数定义域的求解，属于基础题12. 设集合，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据集合相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.【详解】由集合元素的互异性可知，则，因为，则，解得，因此，.故答案为：.13. 若，并且，则由小到大的顺序排列是_.【答案】.【解析】【分析】根据已知条件分别解关于和的一元二次不等式，从而可得结论.【详解】由，得，由，得或，因为，所以舍去，所以，故答案为：.14. 设函数的定义域为，能说明“若函数在上的最大值为，则函数在上单调递增“为假命题的一个函数是_.【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，可以构造在定义域为上，先减后增的函数，
12、满足最大值为1，即可得答案.【详解】根据题意，要求函数的定义域为，在上的最大值为，但在上不是增函数，可以考虑定义域为上，先减后增的函数的二次函数，函数，符合，故答案为：，（答案不唯一）.15. 已知非空集合满足：，.对于函数给出下列结论：存在非空集合对，使得没有最小值；不存在非空集合对，使得为奇函数；存在唯一非空集合对，使得为偶函数；存在无穷多非空集合对，使得方程无解.其中，所有正确结论的序号为_.【答案】【解析】【分析】当时，此时无最小值，可以判断正确；该分段函数上下均不是奇函数，故不存在集合对符合题意，正确；通过举例可以找到多个集合对使得为偶函数，则错；当集合满足且时，正确.【详解】当时，
13、此时无最小值，可以判断正确;若则，为偶函数，若则， ；若，则 ， 若，则，综上不存在非空集合对，使得为奇函数，正确；当时，为偶函数，当时，为偶函数，故不唯一，错误；时，解得，则当集合满足且时，方程无解，又，所以存在无数多非空集合对，使得方程无解,正确.故答案为：三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知集合，且.（1）当时，求；（2）若，求m的取值范围.【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）先求出集合，然后利用并集的定义直接求解即可，（2）先求出，然后由，得，则可列出关于的不等式，从而可求得结果.【小问1详解】当时，因为，所以；【小问2详解】
14、因为，所以或，因为，所以，因为，所以或，得或，所以m的取值范围为或.17. 已知函数，且.（1）求实数a的值；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明.【答案】（1）； （2）奇函数，理由见解析； （3）增函数，证明见解析.【解析】【分析】(1)将代入函数解析式计算即可求；(2)根据函数解析式求出，结合奇偶函数定义即可判断；(3)且，根据函数解析式求得，结合增减函数的定义即可下结论.【小问1详解】由，得，解得.所以实数的值为-1；【小问2详解】函数为奇函数.由(1)知，函数的定义域为，即，所以函数为奇函数；【小问3详解】函数在上为增函数.由(1)知，且，又
15、，所以，所以，即，故函数在上为增函数.18. 一公司某年用98万元购进一台生产设备，使用年后需要的维护费总计万元，该设备每年创造利润50万元.（1）求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？（2）求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？【答案】（1）10年，102万元； （2）7年，12万元.【解析】【分析】(1)设该设备使用年后获得总利润为万元，则，结合二次函数的性质即可求解；(2)由(1)可得，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】设该设备使用年后获得总利润万元，则，该二次函数为开口向下、对称轴为的抛物线，所以当时，函数y即总利润取得最大，且最大值为102万元；【小问2详
16、解】由(1)可知，年平均利润为，当且仅当即时，等号成立，所以使用设备7年后的年平均利润最大，且最大值为12万元.19. 已知是R上的奇函数，且当时，.（1）作出函数的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间；（2）求当时，的解析式；（3）讨论关于的方程的解的个数.（直接写出结论）【答案】（1）图象见解析，单调递增区间为， （2） （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，再求出时函数的解析式，即可得到函数在上的解析式，从而画出函数图象，结合图象得到函数的单调递增区间；（2）由（1）可得函数在时的解析式；（3）方程的解的个数，即函数与的交点个数，结合图象即可判断.【小问1详解】解：
17、因为是上的奇函数，所以，又当时，当时则，因为是上的奇函数，所以，所以，综上可得，所以函数图形如下所示：由函数图象可得函数的单调递增区间为，；【小问2详解】解：由（1）可得当时；【小问3详解】解：当时，所以，当时，所以，因为关于的方程的解的个数，即函数与的交点个数，由图可得当或时有且仅有一个交点，即方程只有个解；当或或时有两个交点，即方程有个解；当或或时有三个交点，即方程有个解；综上可得：当或时方程只有个解，当或或时方程有个解，当或或时方程有个解.20. 已知函数，.（1）若是偶函数，求的取值；（2）求关于不等式的解集.【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义可求得
18、实数的值；（2）由已知可得，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法解原不等式，可得其解集.【小问1详解】解：因为函数为偶函数，则，所以，所以，恒成立，所以，解得.【小问2详解】解：.当时，原不等式即为，解得；当时，方程的解为或.（i）当时，解原不等式可得或；（ii）当时，解原不等式可得；（iii）当时，原不等式即为，该不等式无解；（iv）当时，解原不等式可得.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.21. 已知含有限个元素的集合是正整数集的子集，且中至少含有两个元素.若是由中的任意两个
19、元素之和构成的集合，则称集合是集合的衍生集.（1）当时，写出集合的衍生集；（2）若是由4个正整数构成的集合，求其衍生集的元素个数的最小值；（3）判断是否存在5个正整数构成的集合，使其衍生集，并说明理由.【答案】（1） （2） （3）不存在【解析】【分析】（1）根据已知即可写出衍生集.（2）根据互异性判断元素个数最少的条件即可.（3）根据已知分类讨论即可得出矛盾.小问1详解】由已知，故集合【小问2详解】设 ，其中 ，不妨设，又因为 ，集合共6个元素由不等式的性质可知，若时，则集合 5个元素若时，则集合 6个元素故集合的元素个数的最小值为5.【小问3详解】由（2）可知集合，可知集合最多有10个元素由已知共七个元素，故有三个元素不满足互异性不妨设，故，又因为，有且仅有，即当时：因为，故或 若即，与矛盾（舍去） 若即，令，则， . （舍去）当时：则，则，与已知矛盾（舍去）当 时：不符合题意，故舍去.故当集合时不存在满足条件的集合.
