1、北京市通州区2022-2023学年高一上期中考试数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1. 已知集合,那么（ ）A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A. B. C. D. y=丨x1丨4. 下列函数中与函数是同一个函数的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象过点，则等于（ ）A. B. C. D. 6. 下列命题中为真命题是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，7. “”是“”的（ ）A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8
2、. 某商品自上市后前两年价格每年递增，第三年价格下降了，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是（ ）A. 下降了B. 增加了C. 下降了D. 增加了9. 已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 10. 若函数是定义在上的奇函数，且在区间上，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11. 命题“，”的否定是_.12. 设全集，则_.13. 不等式的解集为_.14. 已知函数，则函数在区间内的最小值是_.15. 为了方便居民购买新鲜、安全、价廉蔬菜，某社区搭建从“菜园子”到“菜篮子”的直通车，
3、建起多家“社区直销店”，不仅便利了居民生活，也提高了农民收入.某“社区直销店”第一天直销蔬菜种，第二天直销蔬菜种，第三天直销蔬菜种.其中，前两天直销的蔬菜中有种相同，后两天直销的蔬菜中有种相同.第一天直销但第二天没直销的蔬菜有_种，这三天直销的蔬菜最少有_种.三、解答题：（本大题共6小题，共85分.）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知集合，.（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.17. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间.18 已知函数.（1）求函数在区间上的最大值和最小值;（2）若方程在区间内有解,
4、求实数的取值范围.19. 已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）用定义证明函数是增函数；（3）解不等式.20. 某企业投资万元购入一套垃圾处理设备.该设备维护费用（万元）与使用时间（年）之间满足函数关系，此外该设备每年的运转费用是万元.（1）求该企业使用这套设备年年平均垃圾处理费用（万元）；（2）该企业使用这套设备几年年平均垃圾处理费用最低？最低是多少万元？21. 已知函数的图象经过点和.（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）设，记在区间上的最大值为.当最小时，求的值.北京市通州区2022-2023学年高一上期中考试数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）
5、1. 已知集合,那么（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合,通过集合中的元素和集合之间的关系选出答案.【详解】解:由题知, ,所以,故选:A2. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意要使函数有意义，则，解之即可.【详解】要使函数有意义，则， ，故函数的定义域为：故选：C3. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A. B. C. D. y=丨x1丨【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性及单调性的定义判断【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，为反比例函数，在区间上为减函数，不符合题意；对于B，为幂函数，区间上为
6、增函数，符合题意；对于C，为指数函数，在区间上为减函数，不符合题意；对于D，在区间上为减函数，不符合题意；故选：B.4. 下列函数中与函数是同一个函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域和对应法则相等即可判断是相等函数.【详解】函数的定义域，值域，对于A，中，A错误；对于B，B错误；对于C，C错误；对于D，当时，当时，与函数是同一个函数，D正确.故选：D5. 已知幂函数的图象过点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据幂函数过点得到幂函数解析式，然后求即可.【详解】设幂函数的解析式为，将代入，得，解得，所以，.故选：B.6. 下
7、列命题中为真命题的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据不等式情况，分别判断各选项.【详解】A选项：当时，故A选项错误；B选项：由于恒成立，故B选项错误；C选项，D选项：由恒成立，所以，正确，C选项正确，D选项错误；故选：C.7. “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】当时，；当时，不一定，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.8. 某商品自上市后前两年价格每年递增，第三年价格下降了，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况
8、是（ ）A. 下降了B. 增加了C. 下降了D. 增加了【答案】C【解析】【分析】前两年的价格按照等比数列计算，第三年的价格按照百分数单位一计算.【详解】设上市时的价格为x，则由题意：第二年的价格为 ，第三年的价格为 ， ，所以是下降了 ；故选：C.9. 已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比大小.【详解】由，又函数在是上单调递增，所以，即，又，且函数在上单调递增，所以，即，综上所述，故选：B10. 若函数是定义在上的奇函数，且在区间上，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的性质
9、，利用分类讨论法进行求解即可.详解】当时，；当时，而，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，显然不成立，综上所述：不等式的解集是，故选：D【点睛】关键点睛：利用奇函数的性质分类讨论是解题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11. 命题“，”的否定是_.【答案】，【解析】【分析】根据命题的否定的概念直接可得.【详解】，的否定时，故答案为：，.12. 设全集，则_.【答案】【解析】【分析】首先用列举法表示出全集，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】解：因为，又，所以，所以；故答案为：13. 不等式的解集为_.【答案】.【解析】【分析】根
10、据一元二次不等式的解法，即可求得原不等式的解集.【详解】由，得，从而解得，所以，不等式的解集为，故答案为：.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.14. 已知函数，则函数在区间内的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当取等号，即当时，函数有最小值，故答案为：15. 为了方便居民购买新鲜、安全、价廉的蔬菜，某社区搭建从“菜园子”到“菜篮子”的直通车，建起多家“社区直销店”，不仅便利了居民生活，也提高了农民收入.某“社区直销店”第一天直销蔬菜种，第二天直销蔬菜种，第三天直销蔬菜种.其中，前两天直销的蔬菜中有种相同，后两天直
11、销的蔬菜中有种相同.第一天直销但第二天没直销的蔬菜有_种，这三天直销的蔬菜最少有_种.【答案】 . 16 . 29【解析】【分析】首先用图表示三天直销蔬菜品种的集合，根据图表示每部分集合的个数，即可求解.【详解】设分别表示第一天，第二天，第三天直销蔬菜品种所组成的集合，三天中直销相同的蔬菜有种，第一天与第三天直销的蔬菜有种相同，依题意可得如下的图，第一天直销但第二天没直销的蔬菜有种，因为图中所标注的各数均为自然数，所以，这三天直销的蔬菜品种有：，又因为，所以，所以这三天直销的蔬菜最少有29种.故答案为：16；29三、解答题：（本大题共6小题，共85分.）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
12、16. 已知集合，.（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）， （2）或.【解析】【分析】（1）根据集合的交并运算求得，；（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围.【小问1详解】，.【小问2详解】，当时，当时，综上所述，或.17. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间.【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】（1）先根据奇偶性求出x 0时的解析式，注意偶函数性质的应用；（2）根据偶函数的图象关于y轴的对称，结合二次函数的图象的特征做出所求的函数的图象，再根据函数图象读出函数的单调区间.【小问1
13、详解】因为是定义在R上的偶函数，当时，则当时，则，所以；【小问2详解】画出函数图象如下：根据函数图象可得，的单调递减区间为，单调递增区间为.18. 已知函数.（1）求函数在区间上的最大值和最小值;（2）若方程在区间内有解,求实数的取值范围.【答案】（1）最大值;最小值 （2）【解析】【分析】(1)因为函数为增函数,根据单调性求解即可;(2)转化为函数与函数的交点问题,根据函数单调性求出其在区间内的值域即可得到结果.【小问1详解】函数在区间上为增函数,最大值为,的最小值为.【小问2详解】方程在区间内有解即函数与函数在区间内有交点.函数在区间上为增函数,解得19. 已知函数是奇函数.（1）求实数的
14、值；（2）用定义证明函数是增函数；（3）解不等式.【答案】（1） （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据奇函数可得；（2）利用定义法直接证明函数的单调性；（3）根据函数的奇偶性与单调性解不等式.【小问1详解】由函数是奇函数，得，解得；经检验成立【小问2详解】由（1）得，任取，且，即，则，即，所以函数是增函数；【小问3详解】由（1）得，函数为奇函数，则，又由（2）得，函数单调递增，所以，即，解得，所以该不等式的解集为.20. 某企业投资万元购入一套垃圾处理设备.该设备维护费用（万元）与使用时间（年）之间满足函数关系，此外该设备每年的运转费用是万元.（1）求该企业使用这套设备年的年平均
15、垃圾处理费用（万元）；（2）该企业使用这套设备几年年平均垃圾处理费用最低？最低是多少万元？【答案】（1）. （2）10年，最低费用（万元）.【解析】【分析】（1）由垃圾处理费用的构成即可求得关于的解析式；（2）利用基本不等式即可求得最小值.【小问1详解】由题意可知：使用年的垃圾处理费用=投资费用+维护费用+运转费用，使用这套设备年，维护费用为，运转费用为，投资万元，故有.【小问2详解】由基本不等式可得：，当且仅当，即时取等号.即该企业使用这套设备10年，年平均费用最低，最低费用为（万元）.21. 已知函数的图象经过点和.（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）设，记在区间上的最大值为.当最小时，求的值.【答案】（1） （2）答案见解析 （3）【解析】【分析】(1)利用二次函数的定义求方程;(2)将不等式转化为函数的最值问题求证;(3)结合二次函数的性质，求出函数的最值，问题可解.【小问1详解】由已知得，解得，函数的解析式为.【小问2详解】令，则二次函数的对称轴为.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，又，所以时，取得最大值 ，所以，即.【小问3详解】由(2)知，当时， ，当时， ，当时， 综上，当最小时，
