1、第3章 勾股定理一选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（）ABCD2下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A2、3、4B、C4、5、6D6、8、103如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为25，小正方形的面积为5，则ab的值是（）A4B6C8D104如图，在ABC中，ABAC5，BC6，D是BC的中点，则AD的长为（）A4B5C6D75（2023枣阳市二模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方
2、形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A9B6C4D36（2023春昭通期末）在RtABC中，C90，AB10，AC6，则BC的长度为（）A6B8C10D127（2023春梁山县期末）如图，在ABC中，BAC90，BC5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（）A5B9C16D258（2023春前郭县期末）根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（）AA：B：C2：3：5Ba：b：c5：3：4Ca，b，cDA+B2C9（2023春南部县校级期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO2
3、m若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（）A2.5mB3mC1.5mD3.5m10（2022秋卧龙区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD6m），踏板离地的垂直高度CF4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）mABC6D 评卷人 得 分 二填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11（2023春合阳县期末）如图，R
4、tABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S2如果S2+S1S318，则阴影部分的面积为 12（2023春米东区校级期末）如图，ABC中，C90，ACBC，AD是BAC的平分线，DEAB于E，若AB12cm，则DBE的周长等于 13（2023春广安区校级期末）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了 米14（2022秋南阳期末）如图，在ABC中，ACB90，AB10cm，BC6cm，若动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线ACBA运动设运动时
5、间为t（t0）s当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为 15（2022秋阳城县期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE10，BE24，则EF的长是 16（2022秋青岛期末）如图，已知一块四边形草地ABCD，其中A45，BD90，AB10m，CD5m，则这块土地的面积为 17（2023春前郭县期末）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地2.5米，当物体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时，感应门才自动打开，则感应器的最大感应距离是 米18（2022
6、秋南安市期末）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是 19（2023春莒南县期中）如图，在ABC中，ACB90，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 20（2022秋闵行区期中）阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长例如：在RtABC中，已知C90，AC3，BC4，由定理得AC2+BC2AB2，
7、代入数据计算求得AB5请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：已知：如图，C90，ABCD，AB5，CD11，AC8，点E是BD的中点，那么AE的长为 评卷人 得 分 三解答题（共8小题，满分60分）21（6分）（2023春宝清县校级期末）如图，AD是ABC的中线，DEAC于点E，CE2，DE4，AE8求证：ADC9022（6分）（2023春禹州市期中）如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知 AC8，BC6，其中阴影部分的面积是 .23（8分）（2022秋南宫市期末）如图，在ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，ADBC，且BDDE，连接AE（1）若BAE44
8、，求C的度数（2）若AC7cm，DC5cm，求ABC的周长24（8分）（2022秋南关区校级期末）如图，在ABC中，ABC90，AC13，BA5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线CAB运动设点P的运动时间为t（t0）（1）BC （2）求斜边AC上的高线长（3）当P在AB上时，AP的长为 ，t的取值范围是 （用含t的代数式表示）若点P在BCA的角平分线上，则t的值为 （4）在整个运动过程中，直接写出PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值#Z32025（8分）（2023春成武县校级期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中ABAC，由于某种原因，由C到A
9、的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB3千米，CH2.4千米，HB1.8千米（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长26（8分）（2022秋屯留区期末）如图，在距离铁轨AB300米的点C处（即CD300米，CDAB），观察由太原到北京的“和谐号”动车，当动车车头在点A处时，恰好位于点C处的北偏东45的方向上，14秒后，动车车头由A处到达点B处，此时测得B，C两点间的距离为500米，求这列动车的平均速度27（8分）（2022秋佛山期末）在AB
10、C中，BAC90，D为ABC内一点，连接DA，DC，延长DA到点E，使得AEAD（1）如图1，延长CA到点F，使得AFAC，连接BF，EF若BFEF，求证：CDBF；（2）连接BE，交CD的延长线于点H，如图2，若BC2BE2+CD2，试判断CD与BE的位置关系，并证明28（8分）（2023春金安区校级期末）如图，在ABC中，AB15，BC14，AC13，求ABC的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程（1）作ADBC于D，设BDx，用含x的代数式表示CD，则CD ；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股
11、定理求出AD的长，再计算三角形的面积参考答案一选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1解：A、三角形的三边为，2，3，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；B、三角形的三边为，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；C、三角形的三边为，2，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；D、三角形的三边为，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；故选：C2解：A、22+3242，不能构成直角三角形，故选项A不符合题意；B、（）2+（）2（）2，不能构成直角三角形，故选项B不符合题意；C、42+5262，不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；D、62+82102，能构成直角三角
12、形，故选项D符合题意；故选：D3解：设大正方形的边长为c，则c2a2+b225，小正方形的面积（ab）25，252ab5，解得：ab10，故选：D4解：BC6，D是BC的中点，ABAC，BDCD3，ADBC，ADB90，AD4，故选：A5解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，每一个直角三角形的面积为：ab84，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，4ab+（ab）225，（ab）225169，ab3故选：D6解：如图，在RtABC中，C90，AB10，AC6，故选：B7解：ABC为直角三角形，阴影部分的面积和为AC2+AB2BC225故选：D8解：A
13、A：B：C2：3：5，A+B+C180，最大角C18090，ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；Ba：b：c5：3：4，b2+c2a2，ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；Ca，b，c，b2+c2a2，ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；DA+B2C，A+B+C180，3C180，C60，A+B120，不能求出ABC的一个角是直角，即ABC不一定是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D9解：设BOxm，依题意得：AC0.5m，BD0.5m，AO2m在RtAOB中，根据勾股定理得：AB2AO2+OB222+x2，在RtCOD中，根据勾股定理得：CD2CO2+OD2（20.5）2+（x
14、+0.5）2，22+x2（20.5）2+（x+0.5）2，解得：x1.5，AB2.5（m），即梯子的长度AB为2.5m，故选：A10解：设绳长为x米，在RtADC中，ADABBDAB（DEBE）x（41）（x3）米，DC6m，ACx米，AB2+DC2AC2，根据题意列方程：x2（x3）2+62，解得：x，绳索AC的长是故选：B二填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11解：由勾股定理得，BC2AC2AB2，即S2S3S1，S2+S1S318，S19，由图形可知，阴影部分的面积S1，阴影部分的面积，故答案为：12解：AD平分BAC，C90，DEAB，DEDC，ACAE，ACBC，BCAE，
15、DEB的周长BD+DE+BEBC+BEAE+BEAB12cm，故答案为：12cm13解：在直角ABC中，已知AB2.5米，BC1.5米，AC2米，在直角CDE中，已知CDCB+BD2米，DEAB2.5米，CE1.5米，AE2米1.5米0.5米故答案为：0.514解：在ABC中，ACB90，AB10cm，BC6cm，则由勾股定理得到：AC8（cm）当点P在AC上时，设存在点P，使得PAPB，此时PAPBtcm，PC（8t）cm，在RtPCB中，PC2+CB2PB2，即：（8t）2+62t2，解得：t，当t时，PAPB；当点P在AB上时，此时AC+BC+BP8+6+519cm，当t19时，PAPB
16、；故答案为：或1915解：ABE是直角三角形，AE10，BE24，根据勾股勾股定理，可得AB26，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，CHBEDFAG24，AEBHCFDG10，HEHFGFEG14，AHD90，GHE90，四边形HGFE是正方形，根据勾股定理，可得EF14，故答案为：1416解：如图，分别延长AD，BC交于点EA45，BD90，DCEDEBA45，ABBE，CDDE，AB10m，CD5m，BE10m，DE5m，SABEABBE101050（m2），SCDECDDE5512.5（m2），四边形ABCD的面积SABESCDE5012.537.5（m2）即这块土的面积为37.5m
17、2故答案为：37.5m217解：如图，过点B作BCAD于点C，依题意知，BECD1.6米，EDBC1.2米，AD2.5米，则ACADCDADBE2.51.60.9（米）在RtABC中，由勾股定理得到：AB1.5（米）故答案为：1.518解：由题意：S正方形A+S正方形BS正方形E，S正方形DS正方形CS正方形E，S正方形A+S正方形BS正方形DS正方形C正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，S正方形B+5206，S正方形B9故答案为：919解：如图，四边形ABGF是正方形，FABAFGACB90，FAC+BACFAC+ABC90，FACABC，FAHABN（ASA），SFAHSABN，SA
18、BCS四边形FNCH，在ABC中，ACB90，AC2+BC2AB2，AC+BC7，（AC+BC）2AC2+BC2+2ACBC49，AB2+2ACBC49，AB2SABC16，AB2ACBC16，BCAC，AB2，AC2+BC2，阴影部分的面积和AC2+BC2+2SABCS白+216故答案为：20解：作EGAC，垂足为GABCDABFCDF，AB5，DC11，AFAC8；FC82.5，BF，DF，EB（+）4，EF4易得，ABFGEF，EG3，FG，AG+4，在RtAEG中，AE5故答案为：5三解答题（共8小题，满分60分）21证明：DEAC于点E，AEDCED90，在RtADE中，AED90，
19、AD2AE2+DE282+4280，同理：CD220，AD2+CD280+20100，ACAE+CE8+210，AC2100，AD2+CD2AC2，ADC是直角三角形，ADC9022 解：在RtABC中，AB2BE2AC2BC2826228，在RtBEH中，BE2EH2+BH228，阴影部分的面积正方形ABED的面积+正方形EHGF的面积+正方形的BHMN面积AB2+EH2+BH22AB222856故答案为：5623解：（1）ADBC，EF垂直平分AC，BDDE，AEABEC，CAEC，BAE44，（2）由（1）知：ECAEAB，DEBDAB+BDEC+DEDC，ABC的周长为AB+BC+AC
20、AB+BD+DC+AC2DC+AC25+717（cm）答：ABC的周长为17cm24解：（1）在ABC中，ABC90，AC13，BA5，；故答案为：12；（2）如图1所示，过点B作 BDAC于点D，即，斜边AC上的高线长为；（3）点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线CAB运动，AC13，AP3tAC（3t13），即；故答案为：（3t13），；点P在BCA的角平分线上时，过点P作PEAC于E，如图2所示，CP平分BCA，B90，PEAC，PBPE，又PCPC，RtBCPRtECP（HL），ECBC12，则AEACCE13121，由（2）知AP3t13，BPABAP5（3t13）183t
21、，PE183t，在 RtAEP 中，AP2AE2+EP2，即（3t13）212+（183t）2，解得，点P在BAC的角平分线上时，；故答案为：；（4）PAB是以AB为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当ABAP5时，如图3所示，则CPACAP1358，；当ABBP5时，过点B作BDAC于点D，如图4所示，由（2）知，ABBP，BDAC，故PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值为或25（8分）（2023春成武县校级期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中ABAC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直
22、线上），并新修一条路CH，测得CB3千米，CH2.4千米，HB1.8千米（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长解：（1）是，理由是：在CHB中，CH2+BH2（2.4）2+（1.8）29BC29CH2+BH2BC2CHAB，所以CH是从村庄C到河边的最近路（2）设ACx在RtACH中，由已知得ACx，AHx1.8，CH2.4由勾股定理得：AC2AH2+CH2x2（x1.8）2+（2.4）2解这个方程，得x2.5，答：原来的路线AC的长为2.5千米26（8分）（2022秋屯留区期末）如图，在距离铁轨AB300米的点C
23、处（即CD300米，CDAB），观察由太原到北京的“和谐号”动车，当动车车头在点A处时，恰好位于点C处的北偏东45的方向上，14秒后，动车车头由A处到达点B处，此时测得B，C两点间的距离为500米，求这列动车的平均速度解：在RtBCD中，BC500米，CD300米，BD400（米），在RtADC中，ACD45，CDDA300（米），ABBD+AD400+300700（米），运动速度50（米/秒）27（8分）（2022秋佛山期末）在ABC中，BAC90，D为ABC内一点，连接DA，DC，延长DA到点E，使得AEAD（1）如图1，延长CA到点F，使得AFAC，连接BF，EF若BFEF，求证：CDB
24、F；（2）连接BE，交CD的延长线于点H，如图2，若BC2BE2+CD2，试判断CD与BE的位置关系，并证明（1）证明：在ACD和AFE中，ACDAFE（SAS），DCAEFA，CDEF，BFEF，CDBF；（2）解：CDBE，理由如下：延长CA到F，使AFAC，连接EF，BACF，ACAF，BCBF，由（1）可知CDEF，CDEF，BC2BE2+CD2，BF2BE2+EF2，BEF90，BEEF，CDBE，28（8分）（2023春金安区校级期末）如图，在ABC中，AB15，BC14，AC13，求ABC的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程（1）作ADBC于D，设BDx，用含x的代数式表示CD，则CD14x；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积解：（1）BC14，BDx，DC14x，故答案为：14x；（2）ADBC，AD2AC2CD2，AD2AB2BD2，132（14x）2152x2，解得：x9；（3）由（2）得：AD12，SABCBCAD141284
