1、江苏省连云港市灌南县2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2. 已知O的半径为3，点P在O外，则OP的长可以是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43. 如图，点、在上，则为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，O是ABC的内切圆，则点O是ABC的（）A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线交点D. 三条高的交点5. 如图，在中，则的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的底面半径cm，高cm则这个圆锥的侧面积是（ ）A. B. C
2、. D. 7. 周长相等的正方形与正六边形的面积分别为、，和的关系为（ ）A. B. C. D. 8. 配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：用配方法解方程，变形后的结果是；已知方程可以配成，那么可以配成；若关于的方程有实数根，则；若可以配成形如的形式，则；用配方法可以求得代数式的最小值是1其中正确结论的个数有（ ）A 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 方程 的二次项系数为 _10. 方程的解为_11. 直线与相离，且的
3、半径等于3，圆心到直线的距离为，则的取值范围是_12. 已知是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为_13. 木工师傅常用一种带有直角的角尺来测量圆的直径如图，他将角尺的直角顶点放在圆周上，角尺的两条直角边分别与相交于点、，若度量出，则的直径是_14. 如图所示，AB是O的直径PA切O于点A，线段PO交O于点C，连接BC，若P40，则B等于_15. 某种商品原价每件130元，经过两次降价，现售价每件元若设该种商品平均每次降价百分率是，根据题意，可得方程_16. 如图，半径为的转动轮转过时，传送带上的物体平移的距离为_17. 如图，将半径为5cm的扇形沿西北方向平移cm，得到扇形若，则阴影部分
4、的面积为_18. 如图，正方形ABCD中，E是的中点以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，则的最小值为_ 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）解方程：；（2）解方程：20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若该方程有一个根为1，求方程的另一个根21. 如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，CAD=ABC，判断直线AD与O的位置关系，并说明理由 22. 如图，在平面直角坐标系中，、（1）在图中画出经过、三点的圆弧所
5、在圆的圆心的位置；（2）坐标原点与有何位置关系？并说明理由23. 某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下：购票人数收费标准不超过30人400元/人超过30人每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有人（1）当时，该公可应支付_元的购票费用；（2）若共支付14000元的购票费用，求观看演出的员工的人数24. “转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解二元一次方程组，把它利用消元法转化为一元一次方程；解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为
6、整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：解无理方程解：方程两边同时平方，得：，解这个一元一次方程，得：检验：当时，左边右边，所以，是原方程的解通过“方程两边平方”，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验通过上面的学习，请解决以下两个问题：（1）解无理方程：；（2）如图，在平面直角坐标系中，点，求点的坐标25. 定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆（1）如图，线段，则线段的最小覆盖圆的半径为_；（2）如图，中，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）此最小覆盖圆的半径为_；（3）如图，
7、矩形中，则矩形的最小覆盖圆的半径为_；若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为_26. 小华同学学习了课本1.4节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究请你和他一起解决以下几个问题：问题6，如图， 在矩形中，点从点出发沿以/的速度向点移动，同时，点从点出发沿以/的速度向点移动（1）几秒钟后点P、Q距离为？请说明理由；（2）几秒钟后为直角？请说明理由；（3）当时，内有一个动点M，连接、，若，线段最小值为_27. 【特例感知】（1）如图，是的直径，是的圆周角，平分交于点，连接，已知，则的度数为_，点到直线的距离为_；【类比迁移】（2）如图，是的圆周角，平分交于
8、点，过点作，垂足为，探索线段、之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图，四边形为的内接四边形，平分，求线段的长江苏省连云港市灌南县2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0【详解】解：A，该方程一元二次方程，故本选项符合题意B，该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意C，该方程是分式方程，故本选项不符合题意D，该方程是一元三次方程，故本选
9、项不符合题意故选：A【点睛】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（2. 已知O的半径为3，点P在O外，则OP的长可以是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据点P在O外和半径为3即可求解【详解】解：O的半径为3，点P在O外，OP的长大于3故选D【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解决本题的关键是明确题意，求出OP范围3. 如图，点、在上，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据同圆中同弧所对的圆周角相等进行求解即可【详解】解：点、在上，故选A【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角
10、相等，灵活运用所学知识是解题的关键4. 如图，O是ABC的内切圆，则点O是ABC的（）A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点【答案】B【解析】【分析】根据三角形的内切圆得出点到三边的距离相等，即可得出结论【详解】解：是的内切圆，则点到三边的距离相等，点是的三条角平分线的交点；故选：B【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质5. 如图，在中，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，根据三角形内角和定理即可求解【详解】解：，故选：B【点睛】本题考
11、查了同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，掌握圆周角定理的推论是解题的关键6. 如图，圆锥的底面半径cm，高cm则这个圆锥的侧面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据底面半径cm，高cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可【详解】解：它的底面半径cm，高cm（cm），这个圆锥的侧面积是：故选：C【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键7. 周长相等的正方形与正六边形的面积分别为、，和的关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据正方形、正六边形
12、的周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可【详解】解：设正六边形的边长为a， 如图1所示：四边形是正方形，如图2，过O作，G为垂足六边形是正六边形，是等边三角形， 故选D【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据正方形、正六边形的周长都相等设出其边长，求出其边长之间的关系，最后再分别求出其面积进行求解即可8. 配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：用配方法解方程，变形后的结果是；已知方程可以配成，那么可以配成；若关于的方程有实数根，则；若可以配成形如形式，则；用配方法可以求得代数式的最小值是
13、1其中正确结论的个数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】根据配方法和完全平方式进行求解即可【详解】解：，故正确；可以配成，即，即，可以配方为，即，故错误；关于x的方程，即方程有实数根，解得，故正确；可以配成形如的形式，是一个完全平方式，故错误；，的最小值为1，故正确；故选B【点睛】本题主要考查了配方法和完全平方式中的字母求值，熟知配方法是解题的关键二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 方程 的二次项系数为 _【答案】2【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数
14、且）中，叫二次项，叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可【详解】解：方程的二次项系数为2故答案为：2【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号10. 方程的解为_【答案】【解析】【分析】根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解【详解】解：由，得或，解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法11. 直线与相离，且的半径等于3，圆心到直线的距离为，则的取值范围
15、是_【答案】【解析】【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论即可【详解】解：直线与相离，且的半径等于3，圆心到直线的距离为，故答案为：【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当时，直线l和相离是解答此题的关键12. 已知是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为_【答案】3【解析】【分析】根据方程的解的定义把代入一元二次方程，得到，然后将其整体代入所求的代数式进行求值【详解】解：是一元二次方程的一个实数根，故答案为：3【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义注意解题中的整体代入思想的应用13. 木工师傅常用一种带有直角的角尺来测量圆的直径如图，
16、他将角尺的直角顶点放在圆周上，角尺的两条直角边分别与相交于点、，若度量出，则的直径是_【答案】【解析】【分析】根据90度的圆周角所对的弦是直径可知即为圆的直径，利用勾股定理求出的长即可【详解】解：由题意得即为圆的直径，在中，由勾股定理得，的直径是，故答案为：【点睛】本题主要考查了90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，正确推出即为圆的直径是解题的关键14. 如图所示，AB是O的直径PA切O于点A，线段PO交O于点C，连接BC，若P40，则B等于_【答案】25【解析】【分析】根据切线的性质可得PAB90，进而可得POA的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得答案【详解】解：PA切O
17、于点A，PAB90，P40，POA904050，OCOB，BBCO25故答案为：25【点睛】本题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角性质，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键15. 某种商品原价每件130元，经过两次降价，现售价每件元若设该种商品平均每次降价的百分率是，根据题意，可得方程_【答案】【解析】【分析】设该种商品平均每次降价的百分率是，根据“原价每件130元，经过两次降价，现售价每件元”列出方程，即可求解【详解】解：设该种商品平均每次降价的百分率是，根据题意得：故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是
18、解题的关键16. 如图，半径为的转动轮转过时，传送带上的物体平移的距离为_【答案】【解析】【分析】根据弧长公式 即可求解【详解】解：由题意得， ，故传送带上的物体平移的距离为故答案为：【点睛】本题考查了弧长公式的运用，理解传送带上的物体A平移的距离为半径为30cm的转动轮转过角的扇形的弧长是解题的关键17. 如图，将半径为5cm的扇形沿西北方向平移cm，得到扇形若，则阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】设交于点，交于点，连接，过点作于点求出，再根据，求解即可【详解】解：如图，设交于点，交于点，连接，过点作于点将半径为的扇形沿西北方向平移，即将半径为的扇形向西平移，再向上平移，故答案为：【
19、点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积18. 如图，正方形ABCD中，E是的中点以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，则的最小值为_ 【答案】【解析】【分析】取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，过作于点，则，所以点在以为圆心，1为半径的上运动，求出，则，由勾股定理得，由，所以当、四点共线时，的值最小，所以的最小值为【详解】解：取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，过作于点， 点是中点，点在以为圆心，1为半径的上运动，四边形是正方形，当、四点共线时，的值最小，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查圆的有
20、关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题的关键是正确确定点的运动路径三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）解方程：；（2）解方程：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可；（2）先去括号，然后利用配方法解方程即可【详解】解：（1），解得；（2）整理得：，配方得：，即，合并得：，开方得：，解得【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键20. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若该方程有一个
21、根为1，求方程的另一个根【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可【小问1详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，；【小问2详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根为m，方程的另一个根【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟知对于一元二次方程，当，方程有两个不相等的实数根是解题的关键21. 如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，CAD=ABC，判断直线AD与O的位置关系，并说明理由 【答案】直线AD与O相切，理由见解析【解析】【分析】先由AB是O的直径可得AC
22、B=90，进而得出ABC+BAC=90；接下来再由CAD=ABC，运用等量代换可得CAD+BAC=90，再运用切线的判定即可求解.【详解】直线AD与O相切 AB是O的直径，ACB=90ABC+BAC=90 又CAD=ABC，CAD+BAC=90直线AD与O相切【点睛】本题考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系. 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.22. 如图，在平面直角坐标系中，、（1）在图中画出经过、三点的圆弧所在圆的圆心的位置；（2）坐标原点与有何位置关系？并说明理由【答案】（1）见解析 （2）点在内部，理由见解析【
23、解析】【分析】（1）根据圆心必在圆内任意一条弦的垂直平分线上，只需要作出的垂直平分线，二者的交点即为点M；（2）利用勾股定理求出的长即可得到答案；【小问1详解】解：如图所示，点M即为所求；【小问2详解】解：点在内部，理由如下：由（1）得点M的坐标为，点在内部；【点睛】本题主要考查了确定圆的圆心位置，勾股定理，点与圆的位置关系，正确求出圆心的位置是解题的关键23. 某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下：购票人数收费标准不超过30人400元/人超过30人每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有人（1）当时，该公可应支付_元的购票费
24、用；（2）若共支付14000元的购票费用，求观看演出的员工的人数【答案】（1）12705 （2）观看演出的员工的人数为40人【解析】【分析】（1）根据所给的收费标准进行求解即可；（2）根据所给的收费方式列出方程求解即可【小问1详解】解：，元，该公司应支付12705元的购票费用，故答案为：12705；【小问2详解】解：由题意得：，整理得：，解得或，当时，不符合题意；当时，符合题意；观看演出的员工的人数为40人；【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数四则混合计算的应用，正确理解题意列出对应的方程和式子求解是解题的关键24. “转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解二
25、元一次方程组，把它利用消元法转化为一元一次方程；解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：解无理方程解：方程两边同时平方，得：，解这个一元一次方程，得：检验：当时，左边右边，所以，是原方程的解通过“方程两边平方”，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验通过上面的学习，请解决以下两个问题：（1）解无理方程：；（2）如图，在平面直角坐标系中，点，求点的坐标【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）仿照题意求解即可
26、；（2）先证明轴，可设点C的坐标为，依据勾股定理和已知条件得到，再仿照题意解无理方程即可【小问1详解】解：方程两边平方得：，即，解得或，当时，左边右边，是方程的解；当时，左边右边，不是方程的解；综上所述，方程的解为；小问2详解】解：点，轴可设点C的坐标为，解得，当时，左边右边，是原方程的解，【点睛】本题主要考查了解无理方程，坐标与图形，勾股定理，正确理解题意掌握解无理方程的方法是解题的关键25. 定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆（1）如图，线段，则线段的最小覆盖圆的半径为_；（2）如图，中，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）此最小覆盖圆的半径为
27、_；（3）如图，矩形中，则矩形的最小覆盖圆的半径为_；若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为_【答案】（1） （2）作图见解析， （3），【解析】【分析】（1）根据最小覆盖圆的定义可知，当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆；（2）根据最小覆盖圆的定义可知，直角三角形的最小覆盖圆即为该直角三角形的外接圆，据此求解即可；（3）根据最小覆盖圆的定义可知，矩形的外接圆即为最小覆盖圆，如图所示，连接交于O，则点O即为矩形的外接圆圆心，利用勾股定理求出的长即可得到答案；如图所示，分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形，同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形
28、的最小覆盖圆，同理求出即可【小问1详解】解：如图所示，（O为AB中点，），当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆，线段的最小覆盖圆的半径为，故答案为：；【小问2详解】解：由题意可知的最小覆盖圆即为的外接圆，作线段的垂直平分线交于D，点D即为最小覆盖圆圆心，在中，最小覆盖圆的半径为，故答案为：；【小问3详解】解：由题意得，矩形的外接圆即为最小覆盖圆，如图所示，连接交于O，四边形是矩形，点O即为矩形的外接圆圆心，矩形的最小覆盖圆半径为；如图所示，分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形，同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆，在中，这两个等圆的最小半径为，
29、故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形外接圆以及四边形的外接圆的相关知识，矩形的性质，勾股定理，正确理解最小覆盖圆的定义是解题的关键26. 小华同学学习了课本1.4节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究请你和他一起解决以下几个问题：问题6，如图， 在矩形中，点从点出发沿以/的速度向点移动，同时，点从点出发沿以/的速度向点移动（1）几秒钟后点P、Q的距离为？请说明理由；（2）几秒钟后为直角？请说明理由；（3）当时，内有一个动点M，连接、，若，线段的最小值为_【答案】（1）或2秒钟后点P、Q的距离为 （2）或6秒钟后为直角 （3）【解析】【分析】（1）设x秒钟后点P、Q的
30、距离为，得出，再根据勾股定理求解即可；（2）设y秒钟后为直角，得出，再根据勾股定理得出，最后根据勾股定理的逆定理求解即可；（3）先根据求出，从而得到与的长，再根据推出点M的运动路径，得知点M在以为直径的上运动，连接与交于点M，此时即为最小，求出此时的即可【小问1详解】或2秒钟后点P、Q的距离为，理由如下：设x秒钟后点P、Q的距离为，由题意可得，四边形是矩形，在中，解得，或2秒钟后点P、Q的距离为；【小问2详解】或6秒钟后为直角，理由如下：设y秒钟后为直角，此时，由勾股定理得，为直角，即，解得，或6秒钟后为直角；【小问3详解】当时，有，解得，此时，如图，内动点M使得，点M在以为直径的上运动，如图
31、，连接与交于点M，此时即为最小，线段的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了矩形上的动点问题，勾股定理以及逆定理，圆的基本性质等知识点，理解题意，找出动点的运动路径是解题的关键27. 【特例感知】（1）如图，是的直径，是的圆周角，平分交于点，连接，已知，则的度数为_，点到直线的距离为_；【类比迁移】（2）如图，是的圆周角，平分交于点，过点作，垂足为，探索线段、之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图，四边形为的内接四边形，平分，求线段的长【答案】（1）120， （2），理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据内接四边形的性质即可求出；过点D作交 延长线于F，于E，即根据角平分线的性
32、质可得：，结合含30角的直角三角形的性质即可求解；（2）过点D作交延长线于N，连接，先证明，再证明，即可求解；（3）过点C作交延长线于H，于G，即有，设，再证明四边形是正方形，结合，有，利用勾股定理即可求出x的值，进而即可求出【小问1详解】解：平分，四边形是圆内接四边形，；如图所示，过点D作交 延长线于F，于E，即根据角平分线的性质可得：，是直径，故答案为：120，；【小问2详解】解：，理由如下：如图所示，过点D作交延长线于N，连接，平分，；【小问3详解】解：如图所示，过点C作交延长线于H，于G，同理可证，设，平分，四边形是正方形，解得（不符题意已舍去），；【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质与定义，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键
