1、2023年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 实数2023的绝对值是（）A. 2023B. 2023C. D. 2. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 九（1）班30名同学在一次测试中，某道题目（满分4分）的得分情况如下表：得分/分01234人数134148则这道题目得分的众数和中位数分别是（ ）A. 8，3B. 8，2C. 3，3D. 3，25. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用时间与乙
2、运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2若，则的长为（ ） A. 2B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线交于点O，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S
3、与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分）9. 2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，2023年“五一”假期5天，全国国内旅游出游合计约为274000000人次将数据274000000用科学记数法可表示为_10. 因式分解：_.11. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有_个12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范
4、围是_13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处若，则点的坐标是_ 14. 如图，中，在，上分别截取，使，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点，若，则的长为_ 15. 如图，在中，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F若点E为的中点，则k的值为_ 16. 如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H若，则长为_三、解答题（每小题
5、8分，共16分）17. 先化简，再求值：，其中18. 如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF求证：四边形BFDE是菱形四、解答题（每小题10分，共20分）19. 在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永不过时某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动评比结果共分为四项：非凡创意；魅力色彩；最美设计；无限潜力参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项活动结束后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图请根据统计图提供的信息，解答下列问题：（
6、1）本次共调查了_名学生（2）请补全条形统计图（3）本次评比活动中，全校有名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“非凡创意”奖的学生人数20. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A惊蛰”“B夏至”“C白露”“D霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A惊蛰”概率是_（2）小明先从四张
7、卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B夏至”的概率五、解答题（每小题10分，共20分）21. 某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为(若经过点的光线恰好照射在地面点处，则)，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度(结果精确到参考数据：)22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，若的面积是6（1）求反比例函数的解析式
8、（2）点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标六、解簎题（每小题10分，共20分）23. 如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接若 （1）求证：为的切线（2）若，求的半径24. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系（1）求与的函数解析式（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最
9、大，最大利润为多少元？七、解答题（本题满分12分）25. 如图，在中，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接， （1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是_，_（2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：（3）当，时，直线与直线交于点N若，请直接写出线段长八、解答题（本题满分14分）26. 如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式（2）直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接当时，求点E的横坐标（3）如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交
10、于点M若，求点E的坐标2023年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分）1. 实数2023的绝对值是（）A. 2023B. 2023C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，所以，2023的绝对值等于2023故选：A【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键2. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据左视图是从左面看到的视图，进行判断即可【详解】解：几何体的
11、左视图为： 故选D【点睛】本题考查三视图，熟练掌握左视图是从左往右看到的图形，是解题的关键3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，逐一计算判断即可【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；B、，选项计算错误，不符合题意；C、，选项计算正确，符合题意；D、，选项计算错误，不符合题意；故选C【点睛】本题考查积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键4. 九（1）班30名同学在一次测试中，某道题目（满分4分）的得分情况如下表：得分/分01234人数1
12、34148则这道题目得分的众数和中位数分别是（ ）A. 8，3B. 8，2C. 3，3D. 3，2【答案】C【解析】【分析】根据众数：出现次数最多的数据，中位线：数据排序后位于中间一位，或中间两位的平均数，进行求解即可【详解】解：得分为3分的人数有14人，次数最多，众数为3；将数据排序后，第15个和第16个数据均为3，中位数为：3；故选C【点睛】本题考查求众数和中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的确定方法5. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物设甲每小时运输xkg货
13、物，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，列出方程即可【详解】解：设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输kg货物，由题意，得：；故选A【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程6. 如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据含有角的直角三角尺，得到的值，再利用平行线的性质得到的值，即可解答【详解】解：图中是含有角的直角三角尺，故选：B 【点睛】本题考
14、查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键7. 如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2若，则的长为（ ） A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连接，圆周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位线定理，即可求出的长详解】解：连接， 的半径为2，D，G分别为的中点，为的中位线，故选D【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键8. 如图，在矩形中，对角线交于点O，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部
15、分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出在点左侧时的两段图象，即可得出结论【详解】解：当在点左侧，即：时：当正方形的边在的外部时，重叠部分为矩形，如图： 设分别交于点，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，在矩形中，为等边三角形，图象为开口向下的一段抛物线；当正方形的边在的内部时，与重叠部分即为正方形，如图： 由可知：，图象是一段开口向上的抛物线；当过点时，即时，重合，此时，；综上：满足题意的只有B选项，故选B【点睛】本题考查动点的函数图象问题解题的关键是确定动点的位置，利用数形
16、结合和分类讨论的思想进行求解二、填空题（每小题3分，共24分）9. 2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，2023年“五一”假期5天，全国国内旅游出游合计约为274000000人次将数据274000000用科学记数法可表示为_【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：；故答案：【点睛】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值10. 因式分解：_.【答案】【解析】
17、【分析】利用提取公因式法，分解因式，即可.【详解】【点睛】本题主要考查提取公因式法因式分解，准确找到各项的公因式，是解题的关键；注意，因式分解时，要分解到不能分解为止.11. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有_个【答案】【解析】【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案【详解】解：设红球有个，则，答：红球的个数约为个故答案为：【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出
18、相应的红球个数12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解【详解】解：有两个不相等的实数根，解得：故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处若，则点的坐标是_ 【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理
19、建立方程，求得的长，即可求解【详解】解：四边形是矩形，折叠，在中，设，则，折叠，在中，解得：，的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键14. 如图，中，在，上分别截取，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点，若，则的长为_ 【答案】【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到，因此，由角平分线定义推出，又，推出，得到，代入有关数据，即可求出的长【详解】由题中作图可知：平分， ，故答案为：【点睛】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，
20、相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，得到 ，从而求出的长，15. 如图，在中，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F若点E为的中点，则k的值为_ 【答案】4【解析】【分析】过点作轴于点，证明，得，再根据，可得，再证明，得到的长，设，得到的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得的值，从而可得，再利用勾股定理解得，从而求得的值【详解】解：如图，过点作轴于点， 轴， ，是的中点，即，同理可得，设，则，都在反比例函数上，解得，在中，故答案为：4【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反
21、比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键16. 如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H若，则的长为_【答案】#【解析】【分析】根据题干条件可得，所以，得到，又证明得，所以，；设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据，即可求出答案【详解】解：由题意可得，,，、是等腰直角三角形，；连接、,，连接，又，连接、，设，得，解得（舍），又，故答案是 【点睛】本题考查三角形的全等，勾股定理的运用，三角形相似计算等知识点，利用条件推理证明、列出双勾股方程计算求解是解题的关键三、解答题（每小题8分，
22、共16分）17. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解【详解】解： 当时，原式【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解18. 如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF求证：四边形BFDE是菱形【答案】证明见解析.【解析】【详解】【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出DOEBOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互
23、相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形【详解】在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA）,OE=OF，又OB=OD，四边形EBFD是平行四边形，EFBD，四边形BFDE为菱形【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键四、解答题（每小题10分，共20分）19. 在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永不过时某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动评比结果共分为四项：非凡创意；魅力色彩；最美设计；无限潜力
24、参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项活动结束后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图请根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了_名学生（2）请补全条形统计图（3）本次评比活动中，全校有名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“非凡创意”奖的学生人数【答案】（1） （2）见解析 （3）人【解析】【分析】（1）从两个统计图可知，样本中获得“无限潜力”的有人，占调查人数的，由频率等于频数除以总数可求出调查人数；（2）求出样本中获得“魅力色彩”的人数即可补全条形统计图；（3）求出样本中获得“非凡创意”奖的学生所占的百分比，估计总体中获
25、得“A非凡创意”奖的学生所占的百分比，进而求出相应的人数【小问1详解】解： (名)，故答案为：；【小问2详解】样本中获得“魅力色彩”的人数为：(名)，补全条形统计图如下：【小问3详解】解：(人)答：全校有名学生中获得“非凡创意”奖的学生大约有人【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，从统计图中获取信息，是解题的关键20. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A惊蛰”“B夏至”“C
26、白露”“D霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A惊蛰”的概率是_（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B夏至”的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可【小问1详解】解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A惊蛰”的只有1种，所以小明从四张卡片中随机抽取一张
27、卡片，抽到“A惊蛰”的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B夏至”的有6种，所以两人都没有抽到“B夏至”的概率为【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键五、解答题（每小题10分，共20分）21. 某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为(若经过点的光线恰好照射在地面点处，则)，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳
28、棚的宽度(结果精确到参考数据：)【答案】遮阳棚的宽度约为【解析】【分析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答【详解】解：过点作，垂足为，四边形是矩形，在中，遮阳棚的宽度约为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，若的面积是6（1）求反比例函数的解析式（2）点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点
29、P的坐标【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得；（2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可【小问1详解】解：，的面积是6，图象在第二象限，反比例函数解析式为：；【小问2详解】点，在的图象上，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，轴交x轴于点C，设直线上在第一象限的点，【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式六、解簎题（每小题10分，共20分）23. 如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接若 （1）
30、求证：为的切线（2）若，求的半径【答案】（1）见解析 （2）的半径为【解析】【分析】（1）连接，根据同角的补角相等，得到，等角的余角相等，得到，等边对等角，得到，推出，得到，即可得证；（2）连接，推出，利用锐角三角函数求出的长，设的半径为，证明，列出比例式进行求解即可【小问1详解】证明：连接， ，为的直径，即：，又为的半径，为的切线；【小问2详解】连接，则：， 为的直径，在中，设的半径为，则：，即：，；的半径为【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键24. 网络销售已经成为一种
31、热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系（1）求与的函数解析式（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元【解析】【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；（2）设销售销这种荔枝日获利元，由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解【小问1详解】解：设与的函数
32、解析式为，改函数图象经过点和点解得：与的函数解析式为；【小问2详解】解：设销售销这种荔枝日获利元，根据题意，得，对称轴为直线，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，销售价格不高于18元/kg，当时，有最大值为元，当销售单价定为时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键七、解答题（本题满分12分）25. 如图，在中，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接， （1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是_，_（2）如图2，点D在线段上，当，时
33、，求证：（3）当，时，直线与直线交于点N若，请直接写出线段的长【答案】（1）垂直， （2）见解析 （3）或【解析】【分析】（1）连接并延长交于，根据等腰三角形的判定和性质，推出，四点共圆，进而得到，推出与垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果；（2）作于，作，交的延长线于点，连接，同（1）推出，得到，进而得到，变形得到，再根据等腰三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证；（3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解【小问1详解】解：连接并延长交于， ，同理：，四点共圆，与垂直；是的中点，是的中点，又，
34、；故答案为：垂直，；【小问2详解】作于，作，交的延长线于点，连接， ，为等边三角形，四点共圆，是的中点，是的中点，是梯形的中位线，；【小问3详解】当点在上时，作于，作，交的延长线于点，作，交的延长线与点， 由（2）知：为等边三角形，在中，即：，；当点D在的延长线上时，作于，作于点，作，交的延长线与点， 同可知：，在中，即：，；综上：或【点睛】本题考查几何的综合应用，难度大，属于中考压轴题，重点考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解直角三角形解题的关键是添加合适的辅助线，构造特殊图形八、解答题（本题满分14分）26. 如图1，抛
35、物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式（2）直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接当时，求点E的横坐标（3）如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M若，求点E的坐标【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式；（2）分别过，向轴作垂线，垂足为，根据证得 ，从而，设点坐标，分别表示出，坐标，再列方程求解即可；（3）将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，由可得，从而，设由 可得， ，再求出点坐标为，代入抛物线解析式中即可求得或
36、，从而可得点坐标 【小问1详解】解：把和代入到解析式中可得，解得，抛物线的解析式为：；【小问2详解】直线中，令可得，直线中，令，可得，分别过，向轴作垂线，垂足为，根据题意可得，轴，轴，和为直角三角形，在和中，设，则，从而，则有，解得（舍去），或，故点横坐标为：；小问3详解】将平移到，连接，则四边形为平行四边形，过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，可设，则，设，轴，则，代入抛物线解析式中有：，解得：或，当时，当时，【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行计算，构造相似三角形解决问题
