1、 1 / 19 比例及其性质是六年级数学上学期第三章第 1 节的内容 重点是理解比例的 意义和比例的有关概念， 掌握比例的性质 难点是根据比例的基本性质正确地进 行比例的有关运算， 为之后学习利用比例的基本性质解决相关的实际问题做好准 备 1、 比例比例 a、b、c、d 四个量中，如果 a : b = c : d，那么就说 a、b、c、d 成比例，也就是表 示两个比相等的式子叫做比例 比例 a : b = c : d 也可以表示为 ac bd 其中 a、b、c、d 分别叫做第一、二、三、四比例项 2、 比例外项和比例外项和比例内项比例内项 如果 a : b = c : d，那么第一比例项 a
2、和第四比例项 b 叫做比例外项，第二比例项 b 和第三比例项 c 叫做比例内项 3、 比例中项比例中项 对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即 a : b = b : c，那么把 b 叫做 a 和 c 的比例中项 比例及其性质 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：比例的相关概念 知识知识精讲精讲 2 / 19 【例1】 在比例 9 : 12 = 3 : 4 中，9 是第_比例项，3 是第_比例项，9 和 4 叫做 _，12 和 3 叫做_ 【难度】 【答案】一；三；比例外项；比例内项 【解析】若:a bc d，则abcd， ， ，对应成比例，其中abcd， ， ，分别叫做第一、二、
3、 三、四比例项，ad，也叫比例外项，bc，也叫比例内项 【总结】考查比例的定义 【例2】 比例 42 63 中，比例内项是_，比例外项是_ 【难度】 【答案】6 和 2；4 和 3 【解析】若:a bc d，则 ac bd ，所以比例内项是bc，比例外项是ad， 【总结】考查比例的定义 【例3】 在比例 1 : 3 = 3 : 9 中，3 可以叫做第_比例项，也可以叫做_比例项，还 可以叫做 1 和 9 的_ 【难度】 【答案】二，三；比例中项 【解析】若一个比例式的两个内项相同时，即:ca bb，我们就把b叫做, a c的比例中项 【总结】考查比例中项的定义 例题解析例题解析 3 / 19
4、【例4】 下列说法中正确的是（ ） A由两个比组成的式子叫做比例 B2、0.4、0.8、4 能组成比例式 C1 与 0.1 的比值是 10 : 1 D如果两个正方形的边长之比是 2 : 5，那么它们的面积之比是 2 : 5 【难度】 【答案】B 【解析】由两个比值相等的比构成的式子叫做比例；1 与 0.1 的比值是 10，而不是10:1；正 方形的面积比是边长的平方比 【总结】考查比和比例的相关概念 【例5】 下列四组数中，不能组成比例的是（ ） A1、2、4、8 B1、9、3、3 C1、0.3、5、1.5 D2、4、6、8 【难度】 【答案】D 【解析】四个量, , ,a b c d，能组成
5、两个比值相等的式子，则这四个量可以组成比例，所以 D 选项是不能组成比例的 【总结】考查比例的定义 【例6】 判断下列各组数能否写出比例，如果能组成比例，请写出比例式 （1）2，3，4，6 （2）1，2，2，4 （3）0.1，0.3，0.5，1.5 （4） 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 5 【难度】 【答案】 （1） 可以， 如2:34:6； （2） 可以， 如1:22:4； （3） 可以， 如0.1:0.30.5:1.5； （4）不可以构成比例 【解析】四个量, , ,a b c d，能组成两个比值相等的式子，则这四个量可以组成比例 【总结】考查比例的定义 4 / 19 【例7】
6、用 2、4、6 再配一个比这三个数都大的数_，就能使四个数组成比例 【难度】 【答案】12 【解析】添加一个数，使得它与 2、4、6 构成比例，这个数有三种情况， （1）:24:6x， 解得 4 3 x ； （2）2:4:6x 或2:4:6x，解得3x ； （3）2:46: x中的12x ，需 要运用比例的基本性质：内项积等于外项积求解x，最大的数是 12 【总结】考查比例的基本性质 【例8】 下列说法中错误的是（ ） A如果两个比的比值相等，那么这两个比一定可以组成比例 B如果四个数 a、b、c、d 能组成比例，则:a bc d C已知:a bc d，则:a cb d D若:33:ab，则9
7、a b 【难度】 【答案】B 【解析】如果四个数 a、b、c、d 能组成比例，则组成的比例情况不唯一，所以 B 是不正确 的，C、D 选项可以用比例的基本性质解释 【总结】考查比例的基本概念及基本性质 【例9】 写出三个不同的比，使得它们都能和 2 : 5 组成比例式 【难度】 【答案】略 【解析】答案不唯一，只要这个比的最简整数比是2:5即可 【总结】考查比例的定义 5 / 19 【例10】 写出2个不同的比例， 使得9为该比例的第一比例项和第四比例项的比例中项 【难度】 【答案】3:99:27或1:99:81 【解析】若 9 是某个比例式的比例中项，即:99:ac，此时的, a c有无数种
8、情况，写出两 个符合题意的即可 【总结】考查比例的综合应用 师生总结师生总结 1 1、比和比例的联系和区别是比和比例的联系和区别是什么？什么？ 6 / 19 1、 比例的基本性质比例的基本性质 如果:a bc d或 ac bd ，那么adbc 反之，如果 a、b、c、d 都不为零，且adbc，那么:a bc d或 ac bd 两个外项的积等于两个内项的积 【例11】 如果 x、y 都不为零，且 2x = 3y，那么下列比例中正确的是（ ） A 2 3 x y B 3 2 x y C 32 xy D 2 3 x y 【难度】 【答案】C 【解析】将四个选项用比例的基本性质验证，内项积等于外项积，
9、其中 C 选项符号题意 【总结】考查比例的基本性质 【例12】 在比例:a bc d，如果 2 3 b ， 3 4 c ，那么 ad =_ 【难度】 【答案】 1 2 ad 【解析】:a bc d， 231 342 adbc 【总结】考查比例的基本性质 模块二：比例的基本性质 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 7 / 19 【例13】 求下列各式中的 x （1）:2.43:2x； （2） 1 5:1:2 3 x ； （3） 2 97 x 【难度】 【答案】（1）3.6x ；（2）7.5x ；（3） 18 7 x 【解析】解比例方程，关键是运用内项积等于外项积，化为普通的方程来解答，分数形式的
10、 比例方程，运用“交叉相乘积相等”来解答 【总结】结合比例的基本性质考查解比例方程 【例14】 下列说法中，错误的是（ ） A若 1 =2 3 AB，则:6:1A B B若:19:14a b ，则19a ，14b C ac bd 写出等积式为adbc D如果一个比例的两个外项互为倒数，那么两个内项一定互为倒数 【难度】 【答案】B 【解析】若 1 =2 3 AB，则6AB，即:6:1A B ，所以 A 选项是正确的；若:19:14a b ，则 19140akbk k，所以 B 错误，其它两个选项都可以用比例的基本性质解释 【总结】考查比例的基本性质及应用 【例15】 （1）已知 4a = 5b
11、，那么 a : 5 = _； （2）7 : x = 4 : y，则 x : y = _； （3） 3 4 xy，那么 y : x = _ 【难度】 【答案】（1）:4b；（2）7:4；（3）4:3 【解析】关于比例式和等积式之间的相互转换，明确一点，相乘的两个数一定是同为内项或 者同为外项， 比如45ab， 则4a和应该同为比例外项或者同为比例内项， 即:5:4ab； 再比如第（3）题， 3 4 xy，则 3 :1:4:3 4 y x ，也需要注意审题，求解的是:y x 【总结】考查比例式和等积式之间的相互转换 8 / 19 【例16】 3 是_和 6 的比例中项；4 和 1 6 4 的比例中
12、项是_ 【难度】 【答案】 3 2 ；5 【解析】若x是, a b的比例中项，则 2 xab，运用这一点来解答这两个问题： （1）设另一个 数为x，则 2 36x，解得 3 2 x ； （2）设 4 和 1 6 4 的比例中项为x，则 2 25x ，若考虑 负数的话，5x 【总结】考查比例中项的运用 【例17】 3，7，5 的第四比例项是_ 【难度】 【答案】 35 3 【解析】由题意，得3:75: x，解得 35 3 x 【总结】考查比例的基本性质 【例18】 把 1 2 、 3 10 、4.5、7.5 这四个数组成比例，其内项的积是（ ） A1.35 B2.25 C3.75 D33.75
13、【难度】 【答案】B 【解析】若四个数能组成比例式，则内项积等于外项积，其中最大的一个数乘以最小的一个 数就是这个乘积，四个数中最小的是 3 10 ，最大的是7.5，所以 3 7.52.25 10 【总结】考查比例基本性质的应用 9 / 19 【例19】 利用比例的基本性质说明 3、4、5 和 6 这四个数不能组成比例 【难度】 【答案】略 【解析】若四个数能组成比例，也就能组成两个乘积相等的式子，验证最大的数乘以最小的 数是否等于中间两个数的乘积即可，因为3 645，所以这四个数不能组成比例 【总结】考查比例基本性质的应用 【例20】 将 1 1 2 ， 1 1 4 ， 4 4 9 ， 1
14、5 3 四个数写成比例等式 【难度】 【答案】答案不唯一，如 1141 1:14:5 4293 【解析】将四个数书写一个比例式，关键要确定内项和外项，找出四个数中最大和最小的两 个数为 11 1,5 43 ，中间两个数为 14 1,4 29 ，书写比例式时，保证内项统一或者外项统一即 可，答案 【总结】考查比例基本性质的综合应用 【例21】 求 ab、ac 和 bc 的第四比例项 【难度】 【答案】 2 c 【解析】设第四比例项为x，由题意，得:ab acbc x，则 2 acbc xc ab 【总结】考查比例的综合应用 【例22】 求 2a 和 8a 的比例中项 【难度】 【答案】4a 【解
15、析】设 2a 和 8a 的比例中项为x，由题意，得 22 2816xaaa，4xa 【总结】考查比例中项的应用 10 / 19 【例23】 已知 3 3 2 aa x a ，则 x = _ 【难度】 【答案】 9 2 xa 【解析】由题意，得 2 399 3 222 a xaaaxaxa， 【总结】考查比例方程的综合解答 【例24】 已知3:13:7xx，则 x = _ 【难度】 【答案】 21 20 x 【解析】由题意，得 21 137(3) 20 xxx， 【总结】考查比例方程的解答 【例25】 已知比例 :3:1xyxy，则 x : y = _ 【难度】 【答案】:2:1x y 【解析】
16、由题意，得3()33242xyxyxyxyxyxy，所以:2:1x y 【总结】考查比例的综合应用 11 / 19 【例26】 已知23abc，求 a : b : c 【难度】 【答案】: :6:3:2a b c 【解析】设230abck k，则 1 2 1 3 ak bk ck ，所以 1 1 : :1:6:3:2 2 3 a b c 【总结】考查比和比例的综合运用 【例27】 已知 xya xyb （ab） ，求 x : y 的值 【难度】 【答案】 :x yabab 【解析】设0 xyak k xybk ，则 2 2 ab xk ab yk ，所以 :x yabab； 【总结】考查比和比
17、例的综合应用 【例28】 已知 223: 323:2xyzxyz，求 x : y 的值 【难度】 【答案】:1:5x y 【解析】由题意，得3 322 223xyzxyz，整理得5xy，则:1:5x y 【总结】考查比例的综合应用 12 / 19 【例29】 如果 x 能与 5、8、10 三个数组成比例，求所有满足条件的 x 的值 【难度】 【答案】 25 164 4 x ， 【解析】根据内项积等于外项积来列式解答： （1）58 1016xx ， 则； （2） 25 85 10 4 xx， 则； （3）105 84xx， 则 综上，x的值可以为 25 164 4 或或 【总结】考查比例的综合运
18、用 【例30】 若 236 547 abc，求 a : b : c 【难度】 【答案】: :15:8:7a b c 【解析】考查设k法的运用，设 236 0 547 abck k，则 547 236 akbkck， 所以 5 4 7 :15:8:7 2 3 6 a b c 【总结】考查比和比例的综合应用 13 / 19 【习题1】 3，4，5 的第四比例项是_ 【难度】 【答案】 20 3 【解析】设第四比例项为x，则 20 3:45: 3 xx， 【总结】考查比例的基本概念 【习题2】 以下几组数（1）1，3，3，9； （2）0.2，3，0.6，9； （3）5，6，7，8； （4）2， 1
19、2 ，3， 1 3 ，其中能组成比例的是_（填序号） 【难度】 【答案】（1），（2），（4） 【解析】若四个数能组成两个比值相等的式子，则能组成比例式，只有第（3）不能组成比 例式 【总结】考查比例的基本概念 【习题3】 求下列各式中的 x （1）4 : 0.6 = x : 0.9 （2） 65 1.2x 【难度】 【答案】（1）6x ；（2）1.44x 【解析】 （1）0.640.90.6xx， 则； （2）56 1.21.44xx， 则 【总结】考查比例方程的解法 【习题4】 3 是_和 4 的比例中项；_是 8 和 1 4 2 的比例中项 随堂检测随堂检测 14 / 19 【难度】 【
20、答案】 9 6 4 ， 【解析】若x是ab和的比例中项，则 2 xab，运用这个等式解答这两个问题，注意两个数 的比例中项有两个 【总结】考查比例中项的运用 【习题5】 求下列各式中 x 的值 （1） 1 :45:2 2 x； （2） 62 23x 【难度】 【答案】（1）11x ；（2）7x 【解析】 （1）由题意，得 1 24511 2 xx， 则； （2）由题意，得223 67xx ， 则 【总结】考查比例方程的综合解答 【习题6】 如果 3x = 4y，则 x y _，:4x_ 【难度】 【答案】 4 :4:3 3 x xy y ， 【解析】等积式和比例式之间的互化，注意相乘的两个数保
21、持内项统一或外项统一即可 【总结】考查比例的基本性质 【习题7】 试判断 1 1 2 、 1 13、 1 1 4 、 1 15能否组成比例，若能，请写出比例式；若不能，请 说明理由 【难度】 【答案】不能 【解析】若四个数能组成比例式，则能写成两个等积式，检验方法：最大的数与最小的数的 乘积是否等于中间两个数的乘积，因为 1111 1111 2534 ，所以这四个数不能写成比例 式 【总结】考查比例的基本性质 15 / 19 【习题8】 已知： 234 325 xy xy ，求:x y的值 【难度】 【答案】:7:2x y 【解析】由题意，得5 234 32xyxy，整理得27xy，所以:7:
22、2x y 【总结】考查比例的综合应用 【习题9】 如果 x 能与 4、5、6 这三个数组成比例，求 x 的值 【难度】 【答案】 152410 253 x 或或 【解析】分三种情况求解x： （1） 15 456 2 xx， 则； （2） 24 546 5 xx， 则； （3） 10 645 3 xx， 则 【总结】考查比例基本性质的综合应用 【习题10】 已知 3 2 xy xy ， 4 5 yz yz ，求:x y z 【难度】 【答案】:45:9:1x y z 【解析】 3 2 xy xy ，235:5:1xyxyyxx y，； 4 5 yz yz ，549:9:1yzyzyzy z ，；
23、 运用连比的化简方法，得:45:9:1x y z 【总结】考查比和比例的综合应用 16 / 19 【作业1】 _的式子叫做比例 【难度】 【答案】表示两个比相等的式子叫做比例 【解析】略 【总结】考查比例的基本概念 【作业2】 如果 1 :2:3 2 a，那么 a = _ 【难度】 【答案】 1 3 a 【解析】由题意，得 11 32 23 aa， 【总结】考查比例的基本性质 【作业3】 将 12、15、16、20 组成比例，可以记作_，其中比例内 项为_，比例外项为_ 【难度】 【答案】答案不唯一，如12:1516:20，比例内项为15 16和，比例外项为1220和 【解析】若四个数能组成比
24、例，那么可以组成 8 个不同的比例式，答案不唯一 【总结】考查比例的基本概念 课后作业课后作业 17 / 19 【作业4】 已知一个比例的第一比例项是最小的正整数， 第二比例项是最小的质数， 第四 比例项是最小的奇质数，则这个比例的第三比例项是_ 【难度】 【答案】 3 2 【解析】 由题意， 得第一比例项是 1， 第二比例项是 2， 第四比例项是 3， 设第三比例项为x， 则1:2:3x，解得 3 2 x 【总结】考查学生对整数的认识及比例的基础概念 【作业5】 选择适当的比组成比例： 5 2 : 6 3 （ ） A5 : 9 B5 : 4 C4 : 5 D9 : 5 【难度】 【答案】B
25、【解析】先化简已知比： 5 2 :5:4 6 3 ，所以选 B 【总结】考查比的化简及比例的概念 【作业6】 求下列各式中 x 的值 （1） 211 :11 :4 732 x； （2）2 :31 :4xx 【难度】 【答案】（1） 8 21 x ；（2） 3 5 x 【解析】利用比例的基本性质“内项积等于外项积”来解比例方程，注意计算准确率 【总结】考查比例方程的解答 18 / 19 【作业7】 分别根据比例的意义和比例的基本性质这两种方法，判断 2 5 5 ，3，1.8 和 9 这 四个数能否组成比例 【难度】 【答案】能组成比例 【解析】若四个数能组成比例式，则能写成两个等积式，检验方法：
26、最大的数与最小的数的 乘积是否等于中间两个数的乘积，因为 2 531.8 916.2 5 ，所以这四个数能组成比例 式 【总结】考查比例的意义及比例的基本性质 【作业8】 已知 4 23 : 32 5 xx，试写出一个比，使得其能与 2 : x 组成比例 【难度】 【答案】略 【解析】 4 23 : 324:5 5 xx，4 325 23xx，解得 23 2 x ， 所以 23 2:2:4:23 2 x ，所以这个比可以是4:23，答案不唯一 【总结】考查比例的综合应用 【作业9】 已知 23 234 abc ，求:2 :3abc 【难度】 【答案】:2 :32:3:4abc 【解析】设 23 0 234 abc k k，则 2 23 34 ak bk ck ，所以:2 :32:3:4abc 【总结】考查比和比例的综合应用 19 / 19 【作业10】 已知 2: 23:2xyxy，求3 :4xy的值 【难度】 【答案】3 :421:16xy 【解析】由题意，得3 222xyxy，整理得47xy，即:7:4x y ， 设740xkyk k，所以3 :421 :1621:16xykk 【总结】考查比例的综合应用
