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著名机构数学教案讲义六年级暑假班第14讲:比例及其性质-教师版

1、 1 / 19 比例及其性质是六年级数学上学期第三章第 1 节的内容 重点是理解比例的 意义和比例的有关概念, 掌握比例的性质 难点是根据比例的基本性质正确地进 行比例的有关运算, 为之后学习利用比例的基本性质解决相关的实际问题做好准 备 1、 比例比例 a、b、c、d 四个量中,如果 a : b = c : d,那么就说 a、b、c、d 成比例,也就是表 示两个比相等的式子叫做比例 比例 a : b = c : d 也可以表示为 ac bd 其中 a、b、c、d 分别叫做第一、二、三、四比例项 2、 比例外项和比例外项和比例内项比例内项 如果 a : b = c : d,那么第一比例项 a

2、和第四比例项 b 叫做比例外项,第二比例项 b 和第三比例项 c 叫做比例内项 3、 比例中项比例中项 对于一个比例而言,如果两个比例内项相同,即 a : b = b : c,那么把 b 叫做 a 和 c 的比例中项 比例及其性质 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一:比例的相关概念 知识知识精讲精讲 2 / 19 【例1】 在比例 9 : 12 = 3 : 4 中,9 是第_比例项,3 是第_比例项,9 和 4 叫做 _,12 和 3 叫做_ 【难度】 【答案】一;三;比例外项;比例内项 【解析】若:a bc d,则abcd, , ,对应成比例,其中abcd, , ,分别叫做第一、二、

3、 三、四比例项,ad,也叫比例外项,bc,也叫比例内项 【总结】考查比例的定义 【例2】 比例 42 63 中,比例内项是_,比例外项是_ 【难度】 【答案】6 和 2;4 和 3 【解析】若:a bc d,则 ac bd ,所以比例内项是bc,比例外项是ad, 【总结】考查比例的定义 【例3】 在比例 1 : 3 = 3 : 9 中,3 可以叫做第_比例项,也可以叫做_比例项,还 可以叫做 1 和 9 的_ 【难度】 【答案】二,三;比例中项 【解析】若一个比例式的两个内项相同时,即:ca bb,我们就把b叫做, a c的比例中项 【总结】考查比例中项的定义 例题解析例题解析 3 / 19

4、【例4】 下列说法中正确的是( ) A由两个比组成的式子叫做比例 B2、0.4、0.8、4 能组成比例式 C1 与 0.1 的比值是 10 : 1 D如果两个正方形的边长之比是 2 : 5,那么它们的面积之比是 2 : 5 【难度】 【答案】B 【解析】由两个比值相等的比构成的式子叫做比例;1 与 0.1 的比值是 10,而不是10:1;正 方形的面积比是边长的平方比 【总结】考查比和比例的相关概念 【例5】 下列四组数中,不能组成比例的是( ) A1、2、4、8 B1、9、3、3 C1、0.3、5、1.5 D2、4、6、8 【难度】 【答案】D 【解析】四个量, , ,a b c d,能组成

5、两个比值相等的式子,则这四个量可以组成比例,所以 D 选项是不能组成比例的 【总结】考查比例的定义 【例6】 判断下列各组数能否写出比例,如果能组成比例,请写出比例式 (1)2,3,4,6 (2)1,2,2,4 (3)0.1,0.3,0.5,1.5 (4) 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 【难度】 【答案】 (1) 可以, 如2:34:6; (2) 可以, 如1:22:4; (3) 可以, 如0.1:0.30.5:1.5; (4)不可以构成比例 【解析】四个量, , ,a b c d,能组成两个比值相等的式子,则这四个量可以组成比例 【总结】考查比例的定义 4 / 19 【例7】

6、用 2、4、6 再配一个比这三个数都大的数_,就能使四个数组成比例 【难度】 【答案】12 【解析】添加一个数,使得它与 2、4、6 构成比例,这个数有三种情况, (1):24:6x, 解得 4 3 x ; (2)2:4:6x 或2:4:6x,解得3x ; (3)2:46: x中的12x ,需 要运用比例的基本性质:内项积等于外项积求解x,最大的数是 12 【总结】考查比例的基本性质 【例8】 下列说法中错误的是( ) A如果两个比的比值相等,那么这两个比一定可以组成比例 B如果四个数 a、b、c、d 能组成比例,则:a bc d C已知:a bc d,则:a cb d D若:33:ab,则9

7、a b 【难度】 【答案】B 【解析】如果四个数 a、b、c、d 能组成比例,则组成的比例情况不唯一,所以 B 是不正确 的,C、D 选项可以用比例的基本性质解释 【总结】考查比例的基本概念及基本性质 【例9】 写出三个不同的比,使得它们都能和 2 : 5 组成比例式 【难度】 【答案】略 【解析】答案不唯一,只要这个比的最简整数比是2:5即可 【总结】考查比例的定义 5 / 19 【例10】 写出2个不同的比例, 使得9为该比例的第一比例项和第四比例项的比例中项 【难度】 【答案】3:99:27或1:99:81 【解析】若 9 是某个比例式的比例中项,即:99:ac,此时的, a c有无数种

8、情况,写出两 个符合题意的即可 【总结】考查比例的综合应用 师生总结师生总结 1 1、比和比例的联系和区别是比和比例的联系和区别是什么?什么? 6 / 19 1、 比例的基本性质比例的基本性质 如果:a bc d或 ac bd ,那么adbc 反之,如果 a、b、c、d 都不为零,且adbc,那么:a bc d或 ac bd 两个外项的积等于两个内项的积 【例11】 如果 x、y 都不为零,且 2x = 3y,那么下列比例中正确的是( ) A 2 3 x y B 3 2 x y C 32 xy D 2 3 x y 【难度】 【答案】C 【解析】将四个选项用比例的基本性质验证,内项积等于外项积,

9、其中 C 选项符号题意 【总结】考查比例的基本性质 【例12】 在比例:a bc d,如果 2 3 b , 3 4 c ,那么 ad =_ 【难度】 【答案】 1 2 ad 【解析】:a bc d, 231 342 adbc 【总结】考查比例的基本性质 模块二:比例的基本性质 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 7 / 19 【例13】 求下列各式中的 x (1):2.43:2x; (2) 1 5:1:2 3 x ; (3) 2 97 x 【难度】 【答案】(1)3.6x ;(2)7.5x ;(3) 18 7 x 【解析】解比例方程,关键是运用内项积等于外项积,化为普通的方程来解答,分数形式的

10、 比例方程,运用“交叉相乘积相等”来解答 【总结】结合比例的基本性质考查解比例方程 【例14】 下列说法中,错误的是( ) A若 1 =2 3 AB,则:6:1A B B若:19:14a b ,则19a ,14b C ac bd 写出等积式为adbc D如果一个比例的两个外项互为倒数,那么两个内项一定互为倒数 【难度】 【答案】B 【解析】若 1 =2 3 AB,则6AB,即:6:1A B ,所以 A 选项是正确的;若:19:14a b ,则 19140akbk k,所以 B 错误,其它两个选项都可以用比例的基本性质解释 【总结】考查比例的基本性质及应用 【例15】 (1)已知 4a = 5b

11、,那么 a : 5 = _; (2)7 : x = 4 : y,则 x : y = _; (3) 3 4 xy,那么 y : x = _ 【难度】 【答案】(1):4b;(2)7:4;(3)4:3 【解析】关于比例式和等积式之间的相互转换,明确一点,相乘的两个数一定是同为内项或 者同为外项, 比如45ab, 则4a和应该同为比例外项或者同为比例内项, 即:5:4ab; 再比如第(3)题, 3 4 xy,则 3 :1:4:3 4 y x ,也需要注意审题,求解的是:y x 【总结】考查比例式和等积式之间的相互转换 8 / 19 【例16】 3 是_和 6 的比例中项;4 和 1 6 4 的比例中

12、项是_ 【难度】 【答案】 3 2 ;5 【解析】若x是, a b的比例中项,则 2 xab,运用这一点来解答这两个问题: (1)设另一个 数为x,则 2 36x,解得 3 2 x ; (2)设 4 和 1 6 4 的比例中项为x,则 2 25x ,若考虑 负数的话,5x 【总结】考查比例中项的运用 【例17】 3,7,5 的第四比例项是_ 【难度】 【答案】 35 3 【解析】由题意,得3:75: x,解得 35 3 x 【总结】考查比例的基本性质 【例18】 把 1 2 、 3 10 、4.5、7.5 这四个数组成比例,其内项的积是( ) A1.35 B2.25 C3.75 D33.75

13、【难度】 【答案】B 【解析】若四个数能组成比例式,则内项积等于外项积,其中最大的一个数乘以最小的一个 数就是这个乘积,四个数中最小的是 3 10 ,最大的是7.5,所以 3 7.52.25 10 【总结】考查比例基本性质的应用 9 / 19 【例19】 利用比例的基本性质说明 3、4、5 和 6 这四个数不能组成比例 【难度】 【答案】略 【解析】若四个数能组成比例,也就能组成两个乘积相等的式子,验证最大的数乘以最小的 数是否等于中间两个数的乘积即可,因为3 645,所以这四个数不能组成比例 【总结】考查比例基本性质的应用 【例20】 将 1 1 2 , 1 1 4 , 4 4 9 , 1

14、5 3 四个数写成比例等式 【难度】 【答案】答案不唯一,如 1141 1:14:5 4293 【解析】将四个数书写一个比例式,关键要确定内项和外项,找出四个数中最大和最小的两 个数为 11 1,5 43 ,中间两个数为 14 1,4 29 ,书写比例式时,保证内项统一或者外项统一即 可,答案 【总结】考查比例基本性质的综合应用 【例21】 求 ab、ac 和 bc 的第四比例项 【难度】 【答案】 2 c 【解析】设第四比例项为x,由题意,得:ab acbc x,则 2 acbc xc ab 【总结】考查比例的综合应用 【例22】 求 2a 和 8a 的比例中项 【难度】 【答案】4a 【解

15、析】设 2a 和 8a 的比例中项为x,由题意,得 22 2816xaaa,4xa 【总结】考查比例中项的应用 10 / 19 【例23】 已知 3 3 2 aa x a ,则 x = _ 【难度】 【答案】 9 2 xa 【解析】由题意,得 2 399 3 222 a xaaaxaxa, 【总结】考查比例方程的综合解答 【例24】 已知3:13:7xx,则 x = _ 【难度】 【答案】 21 20 x 【解析】由题意,得 21 137(3) 20 xxx, 【总结】考查比例方程的解答 【例25】 已知比例 :3:1xyxy,则 x : y = _ 【难度】 【答案】:2:1x y 【解析】

16、由题意,得3()33242xyxyxyxyxyxy,所以:2:1x y 【总结】考查比例的综合应用 11 / 19 【例26】 已知23abc,求 a : b : c 【难度】 【答案】: :6:3:2a b c 【解析】设230abck k,则 1 2 1 3 ak bk ck ,所以 1 1 : :1:6:3:2 2 3 a b c 【总结】考查比和比例的综合运用 【例27】 已知 xya xyb (ab) ,求 x : y 的值 【难度】 【答案】 :x yabab 【解析】设0 xyak k xybk ,则 2 2 ab xk ab yk ,所以 :x yabab; 【总结】考查比和比

17、例的综合应用 【例28】 已知 223: 323:2xyzxyz,求 x : y 的值 【难度】 【答案】:1:5x y 【解析】由题意,得3 322 223xyzxyz,整理得5xy,则:1:5x y 【总结】考查比例的综合应用 12 / 19 【例29】 如果 x 能与 5、8、10 三个数组成比例,求所有满足条件的 x 的值 【难度】 【答案】 25 164 4 x , 【解析】根据内项积等于外项积来列式解答: (1)58 1016xx , 则; (2) 25 85 10 4 xx, 则; (3)105 84xx, 则 综上,x的值可以为 25 164 4 或或 【总结】考查比例的综合运

18、用 【例30】 若 236 547 abc,求 a : b : c 【难度】 【答案】: :15:8:7a b c 【解析】考查设k法的运用,设 236 0 547 abck k,则 547 236 akbkck, 所以 5 4 7 :15:8:7 2 3 6 a b c 【总结】考查比和比例的综合应用 13 / 19 【习题1】 3,4,5 的第四比例项是_ 【难度】 【答案】 20 3 【解析】设第四比例项为x,则 20 3:45: 3 xx, 【总结】考查比例的基本概念 【习题2】 以下几组数(1)1,3,3,9; (2)0.2,3,0.6,9; (3)5,6,7,8; (4)2, 1

19、2 ,3, 1 3 ,其中能组成比例的是_(填序号) 【难度】 【答案】(1),(2),(4) 【解析】若四个数能组成两个比值相等的式子,则能组成比例式,只有第(3)不能组成比 例式 【总结】考查比例的基本概念 【习题3】 求下列各式中的 x (1)4 : 0.6 = x : 0.9 (2) 65 1.2x 【难度】 【答案】(1)6x ;(2)1.44x 【解析】 (1)0.640.90.6xx, 则; (2)56 1.21.44xx, 则 【总结】考查比例方程的解法 【习题4】 3 是_和 4 的比例中项;_是 8 和 1 4 2 的比例中项 随堂检测随堂检测 14 / 19 【难度】 【

20、答案】 9 6 4 , 【解析】若x是ab和的比例中项,则 2 xab,运用这个等式解答这两个问题,注意两个数 的比例中项有两个 【总结】考查比例中项的运用 【习题5】 求下列各式中 x 的值 (1) 1 :45:2 2 x; (2) 62 23x 【难度】 【答案】(1)11x ;(2)7x 【解析】 (1)由题意,得 1 24511 2 xx, 则; (2)由题意,得223 67xx , 则 【总结】考查比例方程的综合解答 【习题6】 如果 3x = 4y,则 x y _,:4x_ 【难度】 【答案】 4 :4:3 3 x xy y , 【解析】等积式和比例式之间的互化,注意相乘的两个数保

21、持内项统一或外项统一即可 【总结】考查比例的基本性质 【习题7】 试判断 1 1 2 、 1 13、 1 1 4 、 1 15能否组成比例,若能,请写出比例式;若不能,请 说明理由 【难度】 【答案】不能 【解析】若四个数能组成比例式,则能写成两个等积式,检验方法:最大的数与最小的数的 乘积是否等于中间两个数的乘积,因为 1111 1111 2534 ,所以这四个数不能写成比例 式 【总结】考查比例的基本性质 15 / 19 【习题8】 已知: 234 325 xy xy ,求:x y的值 【难度】 【答案】:7:2x y 【解析】由题意,得5 234 32xyxy,整理得27xy,所以:7:

22、2x y 【总结】考查比例的综合应用 【习题9】 如果 x 能与 4、5、6 这三个数组成比例,求 x 的值 【难度】 【答案】 152410 253 x 或或 【解析】分三种情况求解x: (1) 15 456 2 xx, 则; (2) 24 546 5 xx, 则; (3) 10 645 3 xx, 则 【总结】考查比例基本性质的综合应用 【习题10】 已知 3 2 xy xy , 4 5 yz yz ,求:x y z 【难度】 【答案】:45:9:1x y z 【解析】 3 2 xy xy ,235:5:1xyxyyxx y,; 4 5 yz yz ,549:9:1yzyzyzy z ,;

23、 运用连比的化简方法,得:45:9:1x y z 【总结】考查比和比例的综合应用 16 / 19 【作业1】 _的式子叫做比例 【难度】 【答案】表示两个比相等的式子叫做比例 【解析】略 【总结】考查比例的基本概念 【作业2】 如果 1 :2:3 2 a,那么 a = _ 【难度】 【答案】 1 3 a 【解析】由题意,得 11 32 23 aa, 【总结】考查比例的基本性质 【作业3】 将 12、15、16、20 组成比例,可以记作_,其中比例内 项为_,比例外项为_ 【难度】 【答案】答案不唯一,如12:1516:20,比例内项为15 16和,比例外项为1220和 【解析】若四个数能组成比

24、例,那么可以组成 8 个不同的比例式,答案不唯一 【总结】考查比例的基本概念 课后作业课后作业 17 / 19 【作业4】 已知一个比例的第一比例项是最小的正整数, 第二比例项是最小的质数, 第四 比例项是最小的奇质数,则这个比例的第三比例项是_ 【难度】 【答案】 3 2 【解析】 由题意, 得第一比例项是 1, 第二比例项是 2, 第四比例项是 3, 设第三比例项为x, 则1:2:3x,解得 3 2 x 【总结】考查学生对整数的认识及比例的基础概念 【作业5】 选择适当的比组成比例: 5 2 : 6 3 ( ) A5 : 9 B5 : 4 C4 : 5 D9 : 5 【难度】 【答案】B

25、【解析】先化简已知比: 5 2 :5:4 6 3 ,所以选 B 【总结】考查比的化简及比例的概念 【作业6】 求下列各式中 x 的值 (1) 211 :11 :4 732 x; (2)2 :31 :4xx 【难度】 【答案】(1) 8 21 x ;(2) 3 5 x 【解析】利用比例的基本性质“内项积等于外项积”来解比例方程,注意计算准确率 【总结】考查比例方程的解答 18 / 19 【作业7】 分别根据比例的意义和比例的基本性质这两种方法,判断 2 5 5 ,3,1.8 和 9 这 四个数能否组成比例 【难度】 【答案】能组成比例 【解析】若四个数能组成比例式,则能写成两个等积式,检验方法:

26、最大的数与最小的数的 乘积是否等于中间两个数的乘积,因为 2 531.8 916.2 5 ,所以这四个数能组成比例 式 【总结】考查比例的意义及比例的基本性质 【作业8】 已知 4 23 : 32 5 xx,试写出一个比,使得其能与 2 : x 组成比例 【难度】 【答案】略 【解析】 4 23 : 324:5 5 xx,4 325 23xx,解得 23 2 x , 所以 23 2:2:4:23 2 x ,所以这个比可以是4:23,答案不唯一 【总结】考查比例的综合应用 【作业9】 已知 23 234 abc ,求:2 :3abc 【难度】 【答案】:2 :32:3:4abc 【解析】设 23 0 234 abc k k,则 2 23 34 ak bk ck ,所以:2 :32:3:4abc 【总结】考查比和比例的综合应用 19 / 19 【作业10】 已知 2: 23:2xyxy,求3 :4xy的值 【难度】 【答案】3 :421:16xy 【解析】由题意,得3 222xyxy,整理得47xy,即:7:4x y , 设740xkyk k,所以3 :421 :1621:16xykk 【总结】考查比例的综合应用