1、3.3万有引力定律的应用(25分钟60分)一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)1.下列说法正确的是 ()A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算出的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此人们发现了海王星【解析】选D。由行星的发现历史可知,天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的;海王星不是通过观测发现,也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律
2、计算出“新”星的轨道,从而发现了海王星。由此可知,A、B、C错误,D正确。2.地球表面的平均重力加速度为g,地球半径为R,万有引力常量为G,用上述物理量估算出来的地球平均密度为 ()A.3g4GRB.3gGR4C.4Gg3RD.4g3GR【解析】选A。联立以下三式:GMmR2=mg、V=43R3、=MV,解得:=3g4GR。3.(2020广州高一检测)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体,物体静止时,弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为()A.mv2GFB.Fv4GmC.Fv2GmD.mv4GF
3、【解析】选D。宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体,物体静止时,弹簧测力计的示数为F,故:F=mg,所以:g=Fm,根据万有引力提供向心力得:GMm卫R2=m卫v2R=m卫g,解得:M=mv4GF,故本题选D。4.(2020全国卷)若一均匀球形星体的密度为,引力常量为G,则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是 ()A.3GB.4GC.13GD.14G【解析】选A。对卫星,由万有引力定律得GmMR2=m42T2R,又知=M43R3,联立解得T=3G,故A正确,B、C、D错误。5.(2020汕尾高一检测)如图所示,O处为地球,卫星1环绕地球做匀速圆周运动,卫星2环绕地球运
4、行的轨道为椭圆,两轨道不在同一平面内。己知圆轨道的直径等于椭圆轨道的长轴,且地球位于椭圆轨道的一个焦点上,引力常量为G,地球的质量为M,卫星1的轨道半径为R,OQ=1.5R。下列说法正确的是 ()A.卫星1的运行周期大于卫星2的运行周期B.如果卫星1的环绕速度为v,卫星2在Q点的速度为vQ,则vvQC.卫星2在Q点的速度vQa2【解析】选C。圆轨道的直径等于椭圆轨道的长轴,由开普勒第三定律可知二者的周期相等,故A错误;根据万有引力提供向心力有:GMmR2=mv2R,可得卫星1的速率:v=GMR,卫星2在Q点的速度为vQ,在此点做向心运动,即mvQ21.5RGMm(1.5R)2,即vQ2GM3R
5、v,故B错误,C正确;根据万有引力提供向心力:GMmr2=ma,解得:a=GMr2,由于P点比卫星1离地球近,可知a1a2,故D错误。6.两颗互不影响的行星P1、P2,各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动。图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a,横轴表示某位置到行星中心距离r平方的倒数,a-1r2关系如图所示,卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0。则()A.S1的质量比S2的大B.P1的质量比P2的大C.P1的第一宇宙速度比P2的小D.P1的平均密度比P2的大【解析】选B。万有引力充当向心力,故有GMmr2=ma,解得a=GM1r2,故图像的斜率k=GM,因为G是恒量,M表示行
6、星的质量,所以斜率越大,行星的质量越大,故P1的质量比P2的大,由于计算过程中,卫星的质量可以约去,所以无法判断卫星质量关系,A错误,B正确;因为两个卫星是近地卫星,所以其运行轨道半径可认为等于行星半径,根据第一宇宙速度公式v=gR可得v=a0R,从题图中可以看出,当两者加速度都为a0时,P2半径要比P1小,故P1的第一宇宙速度比P2的大,C错误;星球的密度=MV=M43R3=a0R2G43R3=3a04GR,故星球的半径越大,密度越小,所以P1的平均密度比P2的小,D错误。二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)7.(12分)在不久的将来,人
7、类乘坐飞船去月球旅行或许会成为一种时尚,试计算一个体重(连同装备)为200 kg的旅行者,在航行到离地球表面等于地球半径高度处时所受的地球引力是多少?在登上月球后所受的月球引力又是多少?(若已知地球表面的重力加速度为10 m/s2,月球的质量约为地球质量的181,月球的半径约为地球半径的14)(1)此时旅行者所受的地球引力是多少?(2)旅行者登上月球后所受的月球引力是多少?【解析】(1)设地球的质量为M,半径为R,旅行者在地面所受引力:F1=GMmR2=mg=20010 N=2 000 N旅行者在离地球表面等于地球半径高度处所受引力:F2=GMm(R+R)2=GMm4R2=14mg=500 N
8、(2)旅行者在月球表面所受引力:F3=GM月mR月2=G181Mm(14R)2=1681GMmR2=1681mg=395 N答案:(1)500 N(2)395 N8.(12分)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星,已知引力常量为G,忽略该天体自转。(1)若卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1,则该天体的密度是多少?(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2,则该天体的密度是多少?【解析】设卫星的质量为m,天体的质量为M。(1)卫星距天体表面的高度为h时,忽略自转有GMm(R+h)2=m42T12(R+h),M=42(R+h)3GT12=MV=42
9、(R+h)3GT1243R3=3(R+h)3GT12R3(2)卫星贴近天体表面运动时有GMmR2=m42T22R,M=42R3GT22根据几何知识可知天体的体积为V=43R3故该天体的密度为=MV=42R3GT2243R3=3GT22。答案:(1)3(R+h)3GT12R3(2)3GT22(15分钟40分)9.(6分)若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动,设其周期为T,引力常量为G,那么该行星的平均密度为 ()A.GT23B.3GT2C.GT24D.4GT2【解析】选B。设飞船的质量为m,它做圆周运动的半径为行星半径R,则GMmR2=m(2T)2R,所以行星的质量为M=42R3GT2,
10、行星的平均密度=M43R3=42R3GT243R3=3GT2,B项正确。10.(6分)(2020惠州高一检测)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离,那么 ()A.地球公转周期大于火星的公转周期B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度【解析】选D。万有引力充当地球和火星绕太阳做圆周运动的向心力, GMmr2=m42T2r,GMmr2=mv2r,GMmr2=ma,GMmr2=m2r,可得T=2r3GM,a=GMr2,v=GMr,=GMr3,地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离,
11、所以地球公转周期小于火星公转周期,地球公转的线速度、加速度、角速度均大于火星公转的线速度、加速度、角速度,选项A、B、C错误,选项D正确。11.(6分)(2020全国卷)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆,着陆前曾绕月球飞行,某段时间可认为绕月做匀速圆周运动,圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍,地球质量是月球质量的Q倍,地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为()A.RKgQPB.RPKgQC.RQgKPD.RPgQK【解析】选D。在地球表面上,GmMR2=mg,“嫦娥四号”绕月球做圆周运动由万有引力提供向心力:GmM月(KR月
12、)2=mv2KR月,由解得v=gM月R2MKR月=gR2QKRP=RPgQK,D正确。12.(22分)某宇航员在飞船起飞前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N,在火箭发射阶段,发现当飞船随火箭以a=g2的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度),其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N。已知地球半径R=6 400 km。地球表面重力加速度g取10 m/s2(求解过程中可能用到1918=1.03,2120=1.02)。问:(1)该位置处的重力加速度g是地面处重力加速度g的多少倍?(2)该位置距地球表面的高度h为多大?(3)地球的平均密度是多少?【解析】(1)飞船起飞前,对宇航员受力分析有G=mg,得m=84 kg。在h高度处对宇航员受力分析,应用牛顿第二定律有F-mg=ma,得gg=2021。(2)根据万有引力公式可知,在地面处有GMmR2=mg。在h高度处有GMm(R+h)2 =mg。解以上两式得h=0.02R=128 km。(3)根据GMmR2=mg可得,地球质量M=gR2G地球的密度=M43R3=3g4GR代入数据得=5.6103 kg/m3答案:(1)2021倍(2)128 km(3)5.6103 kg/m3
