1、等腰三角形二内容分析本节主要针对等腰三角形的综合性问题进行讲解，对于条件不足的问题，通过添加平行线或截长补短或倍长中线等构造全等的三角形，综合性较强知识结构模块一：计算知识精讲根据等腰三角形的性质进行角度和边长的相关计算例题解析【例1】 如图，ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别为ABC与ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）ABCDEF A 6个 B 7个 C 8个 D 9个【难度】【答案】【解析】经分析可知，等腰三角形有：， ，共8个【总结】考查等腰三角形定义及三角形内角和的综合运用ABCDE【例2】 如图，ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求A
2、的度数【难度】【答案】【解析】 【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用ABCDEF【例3】 如图，AC=BC，DF=DB，AE=AD，求A的度数【难度】【答案】【解析】 【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用ABCDEF【例4】 如图，ABC中，AB=AC，D在BC上，DEAB于E，DFBC交AC于点F，若EDF=70，求AFD的度数【难度】【答案】【解析】 【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用【例5】 如图，ABC中，AB=AC，D在BC上，BAD=30，在AC上取点E，使AE=AD，ABCDE求EDC的度
3、数【难度】【答案】【解析】 【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质的综合运用，注意观察角度间的关系ABCDEF【例6】 如图，ABC中，C=90，D为AB上一点，作DEBC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求ABC的度数【难度】【答案】【解析】解：延长至点，使，联结 【总结】考查全等三角形的判定及性质，注意辅助线的添加【例7】 如图，ABC中，AD平分BAC，若AC=BD+AB，求B：C的值EABCD【难度】【答案】【解析】在上取点，使，联结平分，【总结】考查截长补短构造全等三角形及等腰三角形的性质及外角性质【例8】 在ABC中，已知AB=AC，且过ABC某一顶点的直线可将AB
4、C分成两个等腰三角形，试求ABC各内角的度数【难度】【答案】或或或【解析】解：如图（1），当时，；如图（2）当时，如图（3）当时，同理可得：；如图（4）当时同理可得【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理及分类讨论的思想的运用模块二：构造全等形知识精讲1 添加平行线构造全等三角形；2 截长补短构造全等三角形；3 倍长中线构造全等三角形例题解析【例9】 如图，已知：在ABC中，AB=AC，BE=CF，EF交BC于点G，求证：EG=FGABCEFGM【难度】【答案】详见解析【解析】证明：过点作，交于点 则， 【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质的应用ADFBCEM【例1
5、0】 如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF， 试说明AC=BF的理由【难度】【答案】详见解析【解析】延长至点，使，联结 【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质应用【例11】 如图，ABC中，B=60，角平分线AD、CE交于点O，试说明AE+CD=ACABCDEOF【难度】【答案】详见解析【解析】证明：在上取，联结易证分别平分，则则，又【总结】考查通过辅助线构造全等三角形的性质应用，注意找寻角度间的关系【例12】 已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=AE，ADFBCEOEB与CD相交于点OEF与CD垂
6、直于点F求的度数【难度】【答案】【解析】解：是等边三角形，BD=AE易证，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用【例13】 如图，在ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC，试说明BC=AB+CDABCDE【难度】【答案】详见解析【解析】在上截取，联结平分，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意添加合适的辅助线构造全等【例14】 如图，在ABC中，AB=AC，A=100，BD平分ABC，试说明BC=BD+ADABCDFE【难度】【答案】详见解析【解析】在上截取，联结，在上截取，联结平分，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的合理添加【例15】 在A
7、BC中，已知AB=AC，D为ABC外一点，ABD=60，ABCDB，试说明AB=BD+DC【难度】【答案】详见解析【解析】证明：以为轴作的对称，共线，是等边三角形，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的正确添加【例16】 已知：如图，AB=AC=BE，CD为ABC中AB边上的中线，试说明CD=CEABCDEF【难度】【答案】详见解析【解析】证明：延长CD到F，使DF=CD，连接BF， CD为ABC中AB边上的中线， BD=AD DF=CD， ，又， ，CD=CE【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意倍长中线辅助线的运用ABCMEFPN【例17】 如图，AM为AB
8、C的中线，AEAB，AFAC，且AE=AB，AF=AC，MA的延长线交EF于点P，试说明APEF【难度】【答案】详见解析【解析】证明：延长至，使，联结是边上的中线，【总结】本题一方面考查中线倍长辅助线的添加，另一方面考查全等三角形的性质应用【例18】 如图，在ABC中，已知BAC=900，AB=AC，D为AC中点，AEBD于E，延A B C D E F G 长AE交BC于F，求证：ADB=CDF【难度】【答案】详见解析【解析】证明：过作平分交于，为中点，又，【总结】考查等腰直角三角形的性质应用，注意辅助线的添加ABCDE【例19】 如图，ABC中，AB=AC，D为ABC外一点，且ABD=ACD
9、=60试说明CD=AB-BD【难度】【答案】详见解析【解析】证明：延长到，使，连接 ，为等边三角形 【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质的综合应用模块三：构造等腰三角形知识精讲利用等腰三角形的“三线合一”的性质构造等腰三角形例题解析【例20】 如图，ABC中，ABC、CAB的平分线交于点P，过点P作DEAB，分别ABCDEP交BC、AC于点D、E，求证：DE=BD+AE【难度】【答案】详见解析【解析】证明：平分 【总结】考查“平行线与角平分线得到等腰三角形”的基本模型的运用【例21】 如图，DEF中，EDF=2E，FADE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样AEFDB的大小关系?【难度】
10、【答案】【解析】证明：在上取一点，使，连接BF 【总结】考查等腰三角形的性质的应用ABCDEF【例22】 如图，ABC中，ABC=2C，AD是BC边上的高，延长AB到点E，使BE=BD，试说明AF=FC【难度】【答案】详见解析【解析】证明：为边上的高【总结】考查等腰三角形的性质的应用【例23】 如图，ABC中，AB=AC，AD和BE两条高交于点H，且AE=BE试说明AH=2BDABCDEH【难度】【答案】详见解析【解析】为高，AE=BE，【总结】考查等腰三角形的性质的应用ABC2E1M【例24】 如图，已知ABC=3C，1=2，BEAE，试说明AC-AB=2BE【难度】【答案】详见解析【解析】
11、证明：延长交于点【总结】考查等腰三角形的性质的应用，注意根据题目条件构造等腰三角形ABCDEF【例25】 如图，等边ABC中，分别延长BA至点E，延长BC至点D，使AE=BD试说明EC=ED【难度】【答案】详见解析【解析】证明：延长至，使，连接是等边三角形，为等边三角形，【总结】考查等腰三角形的判定及性质的综合应用ABCDE【例26】 如图，ABC中，AB=AC，BAC=90，BD=AB，ABD=30，试说明AD=DC【难度】【答案】详见解析【解析】在上截取，连接 【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形判定的综合应用【例27】 如图，四边形ABCD中，BAD+BCD=180，AD、BC的延长
12、线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，E、F的平分线交于点H，试说明EHFHABCDEFMH【难度】【答案】详见解析【解析】连接，则的平分线交于点【总结】考查角平分线的性质及三角形内角和定理的综合应用，综合性较强，注意认真分析角度间的关系【例28】 已知：如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，CDAB，垂足是D，CE平分ACD，BFCE，垂足是G，交AC于F，交CD于H，试说明DH=【难度】【答案】详见解析AFGBHDECM【解析】证明：延长到，使，连接，则，是等腰直角三角形，平分，即【总结】考查等腰三角形的性质应用，综合性较强，注意添加相应的辅助线，将问题进行转化随堂检测【习题1】
13、如图，在ABC中，ACB=900，AC=AE，BC=BF，则ECF=（ ）A C B E F A600B450 C300D不确定【难度】【答案】【解析】故选B【总结】考查等腰三角形的性质的运用，注意角度间的关系【习题2】 如图，在ABC中，D是BC边上一点AD=BD，AB=AC=CD，求BAC的度数ABCD【难度】【答案】【解析】【总结】考查等腰三角形的性质E A B D C F G 【习题3】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，试说明AF=EF【难度】【答案】详见解析【解析】证明：延长至，使，联结是边上的中线，【总结】考查等腰三角形
14、的性质，注意倍长中线辅助线的添加A E B C D F 【习题4】 如图，在ABC中，AC=BC，ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，试说明BD是ABC的角平分线【难度】【答案】详见解析【解析】证明：延长交于点，同理：是的角平分线【总结】考查全等三角形及等腰三角形性质的应用，注意对模型的总结ABCDE【习题5】 如图，在RtABC中，ABC=100o，D、E在AC上，且AB=AD，CB=CE求EBD的度数【难度】【答案】【解析】 【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用ACDFBHGE【习题6】 已知：如图在ABC中，AD是BAC的平分线，
15、DEAC交AB于点E，EFAD，垂足是G，且交BC的延长线于点F试说明CAF=B【难度】【答案】详见解析【解析】证明：是的平分线，【总结】考查等腰三角形的性质及外角性质的综合运用【习题7】 如图，ABC中，ADBC于D，B=2C，试说明AB+BD=CD【难度】B A C D E 【答案】详见解析【解析】证明：在上取一点使，联结 【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定【习题8】 如图在等腰RtABC中，ACB=900，D为BC中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G（1） 求证：ADCF；（2）连结AF，试判断ACF的形状，并说明理由【难度】【答
16、案】（1）详见解析；（2）等腰三角形【解析】（1）在等腰中，（2）联结，是等腰直角三角形，是的平分线，垂直平分，为等腰三角形【总结】考查等腰三角形的性质与判定的综合运用A B D M C F E N 【习题9】 在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，过M作MEAD交BA延长线于E，交AC于F，试说明BE=CF=(AB+AC)【难度】【答案】详见解析【解析】证明：过点作交延长线于点 【总结】考查等腰三角形的性质与判定的综合运用【习题10】 如图，在ABC中，AB=AC，BAC=800，O为ABC内一点，且OBC=100，D OCA=200，求BAO的度数【难度】【答案】【解析】作的角
17、平分线与的延长线交于点，联结 【总结】考查等腰三角形的性质与全等相结合的综合应用，综合性较强，注意辅助线的添加课后作业B D C A 【作业1】 如图，ABC中，ABC=460，D是BC边上一点，DC=AC，DAB=210，试确定CAD的度数【难度】【答案】【解析】，又，【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质的综合运用，比较基础ABCDE【作业2】 如图所示，试说明：【难度】【答案】详见解析【解析】（1）；（2）【总结】考查三角形全等的判定及性质的应用，比较基础【作业3】 如图，在ABC中，ABAC，BAD30，ADAE求CDE的度数ABCDE若BAD40呢?【难度】【答案】，【解析】同理：当
18、时，【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转换ABCDE【作业4】 如图，ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求A的度数【难度】【答案】【解析】 【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转化BDCEAFG【作业5】 已知ABC中，BD=CE，DF=EF试说明AB=AC【难度】【答案】详见解析【解析】证明：过点作交于 【总结】考查等腰三角形结合全等三角形的性质及判定的应用【作业6】 如图，在ABC中，B=2C，则AC与2AB之间的关系是（ ）A B C D AAC2AB BAC2AB CAC2AB DAC2AB 【难度】【答案】【解析】解：延长到，使，联结 故
19、选【总结】考查三角形外角性质，等腰三角形性质以及三角形三边之间的关系ABCDEF【作业7】 如图，已知：ACBD，EA、EB平分BAC、DBA，交CD于点E，试说明：AB=AC+BD【难度】【答案】详见解析【解析】证明：在上取一点，使，联结平分，【总结】考查全等三角形的判定与性质的综合运用，注意认真分析题目中的条件【作业8】 如图，在ABC中，BAC=BCA=440，M为ABC内一点，使MCA=300，MAC=160，求BMC的度数 B C M A D O 【难度】【答案】【解析】过作于，交延长线于，联结， ，【总结】考查等腰三角形性质、及全等三角形判定、三角形外角、内角和性质等【作业9】 如
20、图，ABC中，BAC=600，ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线，试说明：BQ+AQ=AB+BPA B P Q C D 【难度】【答案】详见解析【解析】延长到，使，联结，则分别是的角平分线，且【总结】考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质相结合的综合运用，综合性较强，注意分析题目中的条件，添加合适的辅助线【作业10】 如图，已知：在ABC中，AD是BAC的平分线，ABC=2C，M为BC的中点，MEAF，交AB的延长线于点E，交AD的延长线于F，试说明：BD=2BEABCDEFMGH【难度】【答案】详见解析【解析】证明：延长到，使，联结， 延长交于平分，【总结】本题综合性较强，难度较大，考查三角形的相关性质及全等三角形的判定以及等腰三角形的性质的综合运用，也可以用其它方法进行求解，建议教师选择性讲解
