1、压轴综合题内容分析本章主要针对图形在运动过程中存在的不变性进行推理论证，找出特殊的三角形的隐含条件作为辅助，解决相关角度不变性及比值和面积的相关问题，对于复杂的综合题，需添加辅助线，常见的辅助线有倍长中线构造全等，做高等，视具体题目而定知识结构模块一：角度的不变性知识精讲 本节主要运用三角形的内外角之间的关系进行换算和求解在动点下产生不变角的问题，特别是外角定理的运用在本节中非常重要例题解析【例1】 如图，已知MON=90，点A、B分别在射线OM、ON上，OAB的内角平分线与OBA的外角平分线所在的直线交于点C（1） 试说明C与O的关系；（2） 当点A、B分别在射线OM、ON上移动时，试问C的
2、大小是否发生变化，若保ABCDMNO持不变，求出C的大小；若发生变化，求出其变化范围【难度】【答案】（1）2C=O；（2）不变，为45【解析】ACB的大小不变理由：AC平分OAB（已知），BAC=OAB（角平分线的定义），BD平分ABN（已知），ABD=ABN（角平分线定义），ABN=MON+OAB（三角形的外角性质），ABD=ACB+BAC（三角形的外角性质），ACB=ABD-BAC=（MON+OAB）-OAB=MON=90=45【总结】本题主要考察了三角形外角和定理，结合角平分线的性质【例2】 如图，在平面直角坐标系中，ABO是直角三角形，AOB=90，斜边AB与y轴交于点C（1） 若A=
3、AOC，求证：B=BOC；（2） 延长AB交x轴于点E，过O作ODAB，且DOBEOB，OAEOEA，求A的度数；（3） 如图，OF平分AOM，BCO的平分线交FO的延长线于点P，当AOB绕OABCDExyOABCPMEFxyO点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终交于点C），在（2）的条件下，试问P的度数是否发生变化?若不变，请求出其度数；若改变，请说明理由【难度】【答案】（1）略；（2）A=30；（3）不变，25【解析】（1）AOB是直角三角形A+B=90，AOC+BOC=90A=AOC，B=BOC（2）A+ABO=90，DOB+ABO=90A=DOB，即DOB=EOB=OAE=OEADOB+
4、EOB+OEA=90A=30（3）P的度数不变，P=25AOM=90-AOC，BCO=A+AOC又OF平分AOM，CP平分BCOFOM=45-AOC，PCO=A+AOCP=180-（PCO+FOM+90）=45-A=25【总结】本题主要考察了三角形内角和与外角和定理，融入结合角平分线的性质，综合性较强【例3】 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使，若存在这样一
5、点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：的值不变，的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值ABCDOxy-1ABCDOxyOABCDPxy3-13【难度】【答案】（1）C（0，2）、D（4，2），；（2）P1（0，4），P2（0，-4）； （3）不变【解析】（1）依题意知，将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，故C、D两点点y值为2所以点C，D的坐标分别为C（0,2），D(4,2)，= COAB=24=8（2）理由如下：设点P到
6、AB的距离为h，=ABh =2h，由，得2h = 8，解得h = 4，P（0，4）或（0，-4）（3）是正确的结论，过点P作PQCD，因为ABCD，所以PQABCD（平行公理的推论）DCPCPQ，BOPOPQ(两直线平行，内错角相等)，DCPBOPCPQ +OPQ CPO，所以=1【解析】本题考察了在平面直角坐标系中的数形结合问题，与平行线性质解决角的问题【例4】 如图，在平面直角坐标系中，ABO=2BAO，P为x轴正半轴上一动点，BC平分ABP，PC平分APF，OD平分POE（1） 求BAO的度数；（2） 求证：C=15+OAP；ABCDEFPGOxy（3） P在运动中，C+D的值是否发生变
7、化，若发生变化，说明理由，若不变，求出其值【难度】【答案】（1）BAO=30；（2）详见解析； （3）不变化，105【解析】（1）ABOBAOAOB180，而AOB90，ABO2BAO，2BAOBAO90180，BAO30；（2）CBPABO，ABO2BAO，BAO30，CBP30由三角形外角定理，有：CPFCCBP，APFOAPAOP，而CPFAPF，CCBP（OAPAOP），显然有：AOP90，C30（OAP90）OAP45，C15OAP；（3）DDOPOPD180，而DOPEOF9045，D45OPD180，又OPDCCBP，D45CCBP180，结合证得的CBP30，得：DC18045
8、CBP13530105即：点P在运动时，DC的值保持不变，且DC105【总结】本题主要考察了三角形内角和定理及外角和定理，结合角平分线的性质模块二：旋转问题知识精讲 旋转问题是七年级几何证明中的一个难点，在旋转的过程中，找出隐含的边角之间的关系是解决旋转类问题的关键；本节的另一个难点是考察空间想象力，找出旋转之后的图形位置例题解析【例5】 如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AE+CF=ABABCDEFGHKO【难度】【答案】详见解析【解析】ABCD是正方形，OB=OC，BAO=BCO=45，由题意可得，EOB=COF=90-BOF，EOBFOC，CF=BE，
9、AB=AE+BE=AE+CF【总结】本题主要考察了正方形的性质，利用三角形全等的性质证明线段之间的关系【例6】 如图1、图2，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系?请说明理由AB图1DOB图2ADCOC（2）若COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，为什么?【难度】【答案】（1）AC = BD；（2）相等【解析】（1）AC=BDABO、CDO均为等腰直角三角形，AO = BO，CO = DOAC = BD（2）在图2中，AOB=COD=90，DOB=COD-COB，COA=AOB-COB，DOB
10、=COA，在DOB和COA中，OD=OC，DOB =COA，OB =OA，DOBCOA（SAS），BD = AC【总结】本题主要考察了旋转运动的特点，相对简单【例7】 如图1，在梯形中，点为的中点，点在底边上，且（1）请你通过观察、测量、猜想，得出的度数；（2）若梯形中，不是直角，点在底边或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由ABCDEFABCDEFABCDEF图1图2图3【难度】【答案】（1）AEF=90；（2）都成立，详见解析【解析】（1）AEF的度数是90（2）都成立以图2为例证
11、明证明：如图，延长AE交BC的延长线于点G，ADBC，D=ECG，DAE=G，E为DC的中点，DE=EC，ADEGCE（AAS），AE=GE，FAE=DAE，FAE=G，FA=FG，EFAE，AEF=90【总结】本题主要考察了旋转运动的特点，运动后边相等即相等的角，相对简单【例8】 如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边ABC和等ABCDEFGK边CDE，AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（）A B2对C3对D4对【难度】【答案】C【解析】试题分析：根据等边三角形的三边相等、三个角都是60，以及全等三角形的判 定方法（SSS、SAS
12、、ASA、AAS），全等三角形的性质，再结合旋转的性质即可得到结果EBCACD，GCEFCD，BCGACF理由如下：BC=AC，EC=CD，ACB=ECD，ACE是共同角EBCACDCD=EC，FCD=ECG，GEC=CDFGCEFCDBC=AC，GBC=FAC，FCA=GCBBCGACF故选C【总结】本题主要考察了特殊三角形的性质，根据边和角之间的关系，证明三角形全等，得出相应的结论【例9】 已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形求证：CF平分AFB（备注：直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等）ABCDEFMN【难度】【答案】详见解析【解析】过C点分别作CPAN，交
13、AN于点P，CQBM交BM于点Q在CAN与BCM中，所以CANCMB，所以BM=AN，因为，所以CP=CQ；易得CPFCQF，所以PFC=QFC，所以CF平分AFB【总结】本题主要考察了特殊三角形的性质，根据边和角之间的关系，证明三角形全等，得出相应的结论【例10】 如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且EAF45（1）请猜测线段EF、BE、DF之间的等量关系并证明（2）变式：如图2，E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，BD180，ABAD，EAFBAD，则线段BE、EF、FD的等量关系又如何?请加以证明ABCDEF图1ABCDEF图2【难度】【答案】（1）EF=BE+
14、DF；证明详见解析；（2）成立，详见解析【解析】（1）延长CB到G，使BG=FD，ABG=D=90，AB=AD，ABGADF，BAG=DAF，AG=AF，EAF=BAD，DAF+BAE=EAF，EAF=GAE，AEFAEG，EF=EG=EB+BG=EB+DF，故答案为：EF=BE+FD（2）结论成立，应为EF=BE+DF，在CD上截取DG=BE，（如图）BE=DG，AB=AD，B=ADG=90，ABEADG，BAE=DAG，AG=AE，EAF=BAD，EAF=FAG，AF=AF，AE=AG，AEFAFG（SAS），EF=FG=DF+DG=EB+DF【总结】本题主要考察了利用旋转思想做辅助线构造
15、全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系【例11】 请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE=45探究以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是什么三角形 小智的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABF，连结FD，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是什么三角形，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明=【难度】
16、【答案】（1）直角三角形； （2）不变【解析】（1）将AEC绕点C逆时针旋转90，使AC与AB重合，E至点E，连接ED，AECAEB，ABE =C=45=CBA，EBD是直角三角形，A E=AE，AD=AD，EAB+BAD=CAE+BAD=45=DAE，A EDAED，ED=ED，以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是直角三角形（2）结论：仍然成立证明：作FAD=BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，AFDABD，AF=AB，FD=DB，FAD=BAD，AFD=ABD，又AB=AC，AF=AC，FAE=FAD+DAE=FAD+45，EAC=BAC-BAE=90-（DAE-D
17、AB）=45+DAB，FAE=EAC，又AE=AE，AFEACE，FE=EC，AFE=ACE=45，AFD=ABD=180-ABC=135，DFE=AFD-AFE=135-45=90，以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是直角三角形【总结】本题主要考察了旋转的特点找出边角关系，构造全等三角形解决边的关系【例12】 如图，在形外作等腰和等腰，使，作于H，延长HA，交DE于M，求证：DM = MEABCDEMH【难度】【答案】略【解析】作DGAE交AM的延长线于点G，又GDA=BACABCDEMHGDGAE DGA=EAM，又AHBC，EAM+CAH=90=CAH+ACBDGA =AC
18、BAD=AB，DGAACB，DG=AC=AE，DGMEAM，DM=ME【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，包含等腰直角三角形的性质、两直线平行内错角相等，及同角的余角相等，说理时要认真分析，找到其中的联系【例13】 在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别由两点M，N，D为外一点，且，BD=CD探究：当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系（1）如图（1），当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_；此时(2)如图（2），当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想（1）问的两个结
19、论还成立吗?写出你的猜想并加以证明ABCD（1）MNABCD（2）MNCD（3）ABNM（3）如图（3），当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若，则Q=_(用含x、L的式子表示) 【难度】【答案】（1）BM+NC=MN；（2）成立，详见解析； （3）Q =2x+x【解析】（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN此时（2）猜想：结论仍然成立证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DEBD=CD，且BDC=120，DBC=DCB=30又ABC是等边三角形，MBD=NCD=90在MBD与ECD中：BM=CE，MBD=ECD，BD=DC，MBDECD（SAS）DM=DE，BDM=
20、CDEEDN=BDCMDN=60在MDN与EDN中：DM=DE，MDN=EDN，DN=DN，MDNEDN（SAS）MN=NE=NC+BMAMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+BM）=（AM+BM）+（AN+NC）=AB+AC=2AB而等边ABC的周长L=3AB；（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=2x+L（用x、L表示）【总结】本题主要考察了利用旋转思想做辅助线构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系【例14】 如图1，在正方形中，对角线与相交于点，平分，交于点（1）求证：；（2）点从点出发，沿着线段向点运动（不与点重合），同时点从点出
21、发，沿着的延长线运动，点与的运动速度相同，当动点停止运动时，另一动点也随之停止运动如图2，平分，交于点，过点作，垂足为，请猜想，与三者之间的数量关系，并证明你的猜想图1图2【难度】【答案】（1）略；（2）E1F1+A1C1=AB【解析】（1）如图1，过点F作FMAB于点M， 在正方形ABCD中，ACBD于点E，AE=AC，ABD=CBD=45AF平分BAC，EF=MF；又AF=AF，AMFAEF，AE=AM，MFB=ABF=45，MF=MB，MB=EF，EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB（2）三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB如图2，连接F1C1，过点F1作F1PA1B于点P于
22、点Q平分同理又同理AB【总结】本题主要考察了旋转后的图形的位置和角度之间的关系，构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系【例15】 如图，在等腰RtABC与等腰RtDBE中， BDE=ACB=90，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连结GF.（1）FG与DC的位置关系是，FG与DC的数量关系是；ABCDEFGACB（2）若将BDE绕B点逆时针旋转180，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.【难度】【答案】（1）FGCD ，FG=CD；（2）成立；详见解析【解析】ABCDEFGM（1）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、F
23、M四边形 BCMD是矩形，CM=BD又ABC和BDE都是等腰直角三角形，ED=BD=CM，E=A=45，AEM是等腰直角三角形又F是AE的中点，MFAE，EF=MF，E=FMC=45EFDMFCABCDEFGMFD=FC，EFD=MFC又EFDDFM=90MFCDFM=90，即CDF是等腰直角三角形又G是CD的中点，FG=CD，FGCD（2）如图，证明方法同上；先证明，EFDMFC，即可得到CDF是等腰直角三角形，得证【总结】旋转类问题，利用等腰三角形的性质找出边和角的关系，通过全等三角形的性质解决边的关系模块三：构造全等类知识精讲本节主要针对常规图形，添加合适的辅助线，如截长补短、倍长中线，
24、添加平行线等构造全等的三角形，该类型题目综合性较强，考察同学们全等三角形判定和性质的综合运用能力例题解析【例16】 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF=90，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗?如果正确，写出
25、证明过程；如果不正确，请说明理由；ABCDE图2FGABCDE图1FGABC图3DEFG（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由【难度】【答案】（1）成立，详见解析；（2）成立，详见解析【解析】解：（1）成立证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接MEBM=BE，BME=45，AME=135，CF是外角平分线，DCF=45，ECF=135，AME=ECF，AEB+BAE=90，AEB+CEF=90，BAE=CEF，AMEECF（ASA），MNAE=EF（2
26、）正确证明：在BA的延长线上取一点N使AN=CE，连接NEBN=BE，N=NEC=45，CF平分DCG，FCE=45，N=ECF，四边形ABCD是正方形，ADBE，DAE=BEA，即DAE+90=BEA+90，NAE=CEF，ANEECF（ASA）AE=EF【总结】本题主要考察了利用截长补短做辅助线构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系【例17】 已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边ADF，且DEAF，EFAD，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其
27、他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立?若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；ABCD图1EFABC图2DFECDAB图3（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系【难度】【答案】（1）详见解析；（2）AC=CF-CD，详见解析；（3）AC= CD-CF【解析】解：（1）证明：由题意得，AF=ADABC是等边三角形，AB=AC=BC，BAC=60=DAFBACDAC=DAFDAC，即BAD=CAF在BAD和CAF中，AB=AC，BAD=CAF，AD=AF，BADCAF（SAS）CF=BDCF+CD
28、=BD+CD=BC=AC即BD=CF，AC=CF+CD（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CFCD理由如下：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，BAC=DAF=60，BAC+DAC=DAF+DAC，即BAD=CAF在BAD和CAF中，AB=AC，BAD=CAF，AD=AF，BADCAF（SAS）BD=CFCFCD=BDCD=BC=AC，即AC=CFCD（3）补全图形如右：AC、CF、CD之间存在的数量关系为AC=CDCF【总结】本题主要考察了特殊三角形的性质，根据性质找出全等的三角形，再利用全等三角形的性质解决边的关系，综合性较强【例18】 已知如图1
29、，在ABC中，BC边在直线l上，ACBC，且AC=BCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AP与AB所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由【难度】【答案】（1）AP=AB，APBQ；（2）AP
30、=BQ，且AP与BQ垂直；（3）成立【解析】（1）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是APBQ，（2）AP=BQ，且AP与BQ垂直；理由如下：延长BQ交AP于G，由（1）知，EPF=45，ACP=90，PQC=45=QPC，CQ=CP，在BCQ和ACP中，BC=AC，BCQ=ACP，CQ=CPBCQACP（SAS），AP=BQ，CBQ=PAC，ACB=90，CBQ+BQC=90，CQB=AQG，AQG+PAC=90，AGQ=180-90=90，APBQ，（3）成立，理由如下：如图，EPF=45，CPQ=45，又ACBC，CQP=CPQ=45，CQ=CP，在RtBCQ和RtACP中
31、，BC=AC，BCQ=ACP，CQ=CP，RtBCQRtACP（SAS），BQ=AP，如图3，延长QB交AP于点N，则PBN=CBQ，RtBCQRtACP，BQC=APC，在RtBCQ中，BQC+CBQ=90，APC+PBN=90，PNB=90，QBAP【总结】本题主要考察了等腰三角形再平移的问题，通过全等三角形的性质解决边的关系，题目较复杂【例19】 直线CD经过BCA的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：图1，若BCA=90，=90，则EF_|BE-AF|（填“”，“”或“=”号）；如图
32、2，若0BCA180，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是_；ABCDEFABCDEFABCDEF图1图2图3（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，BCA=，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明【难度】【答案】（1）=；+BCA=180；（2）EF=BE+AF【解析】解：（1）=；所填的条件是：+BCA=180，证明：在BCE中，CBE+BCE=180-BEC=180-，BCA=180-，CBE+BCE=BCA，ACF+BCE=BCA，CBE=ACF又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS）BE=CF，CE=AF，又EF=CF-CE，EF=|BE-AF
33、|；（2）EF=BE+AF1+2+BCA=180，2+3+CFA=180BCA=CFA，1=3；又BEC=CFA=，CB=CA，BECCFA（AAS），BE=CF，EC=FA，EF=EC+CF=BE+AF【总结】本题主要考察了通过角度的转换，找出等量关系，构造全等三角形，通过全等的性质解决边的关系，题目较复杂随堂检测ABCDE【习题1】 在五边形ABCDE中，已知AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，连接AD求证：AD平分CDE【难度】【答案】详见解析【解析】证明：AB=AE，ABC+AED=180把ABC旋转BAE的度数后BC和EC重合，且ABC=AEC，BC=ECABCAE
34、C，AC=AC，又BC+DE=CD，BC=EC，CD=DC，在ACD和ADC中，AC=AC，AD=AD，CD=CD，ACDADC，CDA=ADC，AD平分CDE【总结】本题主要考察了全等三角形判定的条件，添加合适的辅线，证明相关问题【习题2】 用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转（1） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论?并证明你的结论；（2） 当三角尺的两边分别与菱
35、形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗?简要说明理由ABCDEFABFECD图1图2【难度】【答案】（1）BE=CF；（2）成立，详见解析【解析】（1）BE=CF证明：在ABE和ACF中，BAE+EAC=CAF+EAC=60，BAE=CAFAB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）BE=CF；（2）BE=CF仍然成立证明：在ACE和ADF中，CAE+EAD=FAD+DAE=60，CAE=DAF，BCA=ACD=60，FCE=60，ACE=120，ADC=60，ADF=120，在ACE和ADF中，ACEADF，CE=DF，BE=CF【总结】
36、本题主要考察了图形的旋转问题，结合特殊的三角形的性质，通过证明全等三角形解决边的关系【习题3】如图17(1)，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点 若EAF=45，求证：EF=BE+DF；若AEF绕A点旋转，保持EAF=45，问CEF的周长是否AEF位置的变化而变化?（2）如图17(2)，已知正方形ABCD的边长为1，BC、CD上各有一点E、F，如果CEF的周长为2，求EAF的度数（3）如图17(2)，已知正方形ABCD，F为BC中点，E为CD边上一点，且满足BAF=FAE ，图17（2）图17（1）求证：AE=BC+CE【难度】【答案】（1）不变，周长为定值是2倍边长； （2）EA
37、F=45；（3）详见解析【解析】（1）证明：延长CB到G，使GB=DF， 连接AG（如图）AB=AD，ABG=D=90，GB=DF，ABGADF（SAS），3=2，AG=AF，BAD=90，EAF=45，1+2=45，GAE=1+3=45=EAF，AE=AE，GAE=EAF，AG=AF，AGEAFE（SAS），GB+BE=EF，DF+BE=EF（2）辅助线如上图所示：CEF的周长为2，EF=BE+CF=BE+BG=EG，在AGE和AFE中，AGEAFE（SSS），1+3=EAF，又1+2+EAF =90，3=2，EAF=45（3）过F点作FGAE交AE于点G，G在ABF和AFG中，BAF=FA
38、E，AF=AF，ABF=AGF=90，ABFAFG，AF=FG=FC，又FE=FE，FGE=FCE=90，FGEFCE，CE=EG，AE=AG+GE=AB+EC【总结】根据角平分线作垂线，构造全等的三角形，结合全等三角形的性质解决边的关系【习题4】 已知：如图，MNPQ，垂足为O，点A、B分别在射线上OM、OP上，直线BE平分PBA与BAO的平分线相交于点C（1）若BAO=45，求ACB；ABCPEFMNOQ（2）若点A、B分别在射线上OM、OP上移动，试问ACB的大小是否会发生变化?如果保持不变，请说明理由；如果随点A、B的移动发生变化，请求出变化的范围【难度】【答案】（1）ACB=45；（2）不变，详见解析【解析】（1）MN
