1、平面直角坐标系内容分析本节主要针对点的移动和对称性两个模块进行练习，一方面探讨了点与图形的平移引起的点或图形顶点坐标的变化规律，另一方面探讨点或图形的有规律的变化而引起的点或图像的平移进一步研究了平面内的点组合成的图形的面积，重点考察学生数形结合的能力知识结构模块一：直角平面内点的移动知识精讲在平面直角坐标系中：（1）将点向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（或）；（2）将点向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点其中，例题解析【例1】 （1）在直角坐标平面内，点沿x轴左方向平移4个单位，得到点B的坐标为_；把点A向下平移4个单位，得到点C的坐标为_； （2）在直角坐标平面内，点沿
2、x轴右方向平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的点D的坐标为 _【难度】【答案】（1），；（2）【解析】点坐标的平移规律为：向左平移为减，向右平移为加；向上平移为加；向下平移为 减，左右平移对应横坐标，上下平移对应纵坐标【总结】考察点坐标平移的规律【例2】 （1）在直角坐标平面内，点向 平移 个单位后会落在y轴上；向_平移_个单位后会落在x轴上； （2）把点M（a-3，）向上平移5个单位后落在x轴上，则a的值是_【难度】【答案】（1）右；3；下；2（2）10【解析】（2）有题意可得：，解得：【总结】考察点坐标平移的规律【例3】 将点A（-9，12）向_平移_单位，得到点B的坐标是（-4，12
3、），再将点B向_平移_个单位，得到点C的坐标是（-4，15）【难度】【答案】右，5；上；3【解析】点坐标的平移规律为：向左平移为减，向右平移为加；向上平移为加；向下平移为 减，左右平移对应横坐标，上下平移对应纵坐标【总结】考察点坐标平移的规律【例4】 在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或都减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向_（或向_）平移_个单位长度【难度】【答案】右，左，a【解析】点坐标的平移规律为：向左平移为减，向右平移为加【总结】考察点坐标平移的规律，注意左右平移时横坐标发生变化【例5】 已知ABC，A（-3，2），B（1，1），C（-1，2），现将ABC
4、平移，使点A到点（1，-2）的位置上，则B、C的坐标分别为_【难度】【答案】B（5，-3），C（3，-2）【解析】要使A（-3，2）到点（1，-2）的位置上，则需要往右移4个单位，向下移4个单 位，则B、C的坐标也发生了一样的运动为B（5，-3），C（3，-2）【总结】考察点坐标平移的规律的综合运用【例6】 若点N（m，n）向右平移2个单位到M（2，3+），则（）Am=0，n=3+Bm=0，n=1+Cm=4，n=3+Dm=4，n=1+【难度】【答案】A【解析】点坐标的平移规律为：向左平移为减，向右平移为加；向上平移为加；向下平移为 减，左右平移对应横坐标，上下平移对应纵坐标【总结】考察点坐标平
5、移的规律的运用【例7】 已知在直角坐标平面内两点A（-2，-3）、B（3，-3），将点B向上平移5个单位到达点C，求：（1）A、B两点间的距离；（2）写出点C的坐标；（3）四边形OABC的面积【难度】【答案】（1）；（2）C（3，2）；（3）15【解析】（3）设交轴于点D， 则【总结】考察点坐标对称的特点和面积的求法【例8】 在直角坐标系内，已知点A、B、C的坐标分别是（3，0）、（-3，1）、（-1，0），若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，求顶点D的坐标D3【难度】【答案】顶点D的坐标为（1，1）或（5，1）或（7，1）【解析】如图所示即可得答案【总结】考察点坐标的对称性，
6、 注意对平行四边形的性质的运用【例9】 在直角坐标平面内，已点A（3，0）、B（5，3）， 将点A向左平移6个单位到达C点，将点B向下平移6个单位到达D点 （1）写出C点、D点的坐标： C_， D_； （2）把这些点按ABCDA顺 次联结起来， 这个图形的面积是_【难度】【答案】（1）C（3，0）、D（5，3）； （2）18【解析】（2）【总结】考察面积的求法，注意不规则图形可用割补法求面积【例10】 在直角坐标平面内，作出点A（6，0）、点B（0，6），在坐标轴上找点C，使ABC成等腰三角形，求所有符合条件的点C的坐标【难度】【答案】或（0，6）或或（6，0）或（0，）或（0，） 或（0，0
7、）【解析】A（6，0）、B（0，6），当等腰三角形以线段AB为腰，以点A为圆心，AB为半径的圆与坐标轴有三个交点，分别为或（0，6）或；点B为圆心，AB为半径的圆与坐标轴有三个交点，分别为（6，0）或（0，）或（0，）； 当等腰三角形以线段AB为底边时，作线段AB的垂直平分线与坐标轴有1个交点， 为原点 综上所述，所有符合条件的点C的坐标为或（0，6）或或 （6，0）或（0，）或（0，）或（0，0）【总结】考察等腰三角形的分类，注意从多个角度分析xyO1BCA-1-11【例11】 如图，在ABC中，已知AB = AC = 2，点A的坐标是，点B、C在y轴上试判断在x轴上是否存在点P，使PAB、
8、PAC和PBC都是等腰三角形如果存在这样的点P有几个?写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【难度】【答案】2个，（3，0）或（1，0）【解析】AB = AC = 2，取A关于y轴的对称点P（1，0），则，PAB、PAC和PBC都是等腰三角形同理可得（3，0）也符合题意【总结】考察等腰三角形的性质与点的坐标的综合运用【例12】 如图1，在平面内取一点O，过点O作两条夹角为60的数轴，使它们以点O为公共原点且具有相同的单位长度，这样在平面内建立的坐标系称为斜坐标系，我们把水平放置的数轴称为横轴（记作a轴），将斜向放置的数轴称为斜轴（记作b轴）类似于直角坐标系，对于斜坐标平面内的任意一点P，过点P
9、分别作b轴、a轴的平行线交a轴、b轴于点M、N，若点M、N分别在a轴、b轴上所对应的实数为m与n，则称有序实数对（m，n）之间是相互唯一确定的（1）请写出图2中（其中虚线均平行于a轴或b轴）点P的坐标，并在图中标出点Q（2，3）；（2）如图3（其中虚线均平行于a轴或b轴），在斜坐标系中点A（1，4）、B（1，1）、C（6，1）试判断ABC的形状，并简述理由；如果点D在边BC上，且其坐标为（2.5，1），试问：在边BC上是否存在点E使 ACE与ABD全等?如有，请写出点E的坐标，并说明它们全等的理由；如没有，ABCD图3abO-1abMNabOPOP-111图2图1请说明理由【难度】【答案】见解
10、析【解析】（2）ABC为等边三角形ABb轴，BCa轴， ABC是等边三角形 存在B（1，1）、D（2.5，1）， ， 要使，则 存在点，使得【总结】本题综合性较强，需要用到等边三角形的性质以及全等的判定，教师选择性的讲解模块二：直角平面内点的对称知识精讲具有特殊位置关系的两点之间的坐标关系；（1）关于坐标轴或原点对称的两点，根据对称的性质，有 点P（a，b）关于x轴对称点坐标为； 点P（a，b）关于y轴对称点坐标为； 点P（a，b）关于原点对称点坐标为（）（2）连线平行于坐标轴的两点：连线平行于x轴的两点的纵坐标相同，连线平行于y轴的两点的横坐标相同例题解析【例13】 （1）如果A（a-1，2
11、）与B（-2，2b+4）是不同的两点，当a=_，b=_时，点A和点B关于y轴对称；（2）如果点A（x+3，2）与点B（-2，y-2）关于x轴对称，则=_【难度】【答案】（1），；（2）1【解析】（1）且，则，；（2） 且，则，所以【总结】考察关于坐标轴对称的两个点的坐标之间的关系，注意对零次方的理解【例14】 （1）已知ABx轴，A点的坐标是（3，2），并且AB=5，则B的坐标为_，点B关于x轴对称的点的坐标为_；（2）点A（2，-3）关于_对称的点的坐标是（-2，3）；点B（3，-2）关于_对称的点的坐标是（-3，-2）【难度】【答案】（1）（8，2）或（-2，2）；（8，-2）或（-2，-
12、2）；（2）原点；y轴【解析】（1）B的坐标为（8，2）或（-2，2），其关于x轴对称的点的坐标为（8，-2） 或（-2，-2）【总结】考察关于坐标轴对称的两个点的坐标之间的关系，注意分析【例15】 （1）已知A（a，b）在第一象限，则点B（-a，a+b）关于原点对称的点在第_象限；（2）若点A到x轴正半轴的距离是2，到y轴负半轴的距离是4，则点A关于y轴对称的点的坐标是_【难度】【答案】（1）三；（2）（4，2）【解析】（1）A（a，b）在第一象限，而点B（-a，a+b）关于原点对称 的点坐标为（a，-a-b）， 该点在第三象限； （2）由题意可知：点A在第二象限，坐标为（-4，2），则点A
13、关于y轴对称的点的坐 标是（4，2）【总结】考察关于坐标轴对称的两个点的坐标之间的关系，注意分析题意【例16】 已知点M（m，-2）关于原点的对称点为N（-1，n），则（）Am=1，n=2Bm=-1，n=-2Cm=1，n=-2Dm=-1，n=-2【难度】【答案】A【解析】关于原点对称的两点横纵坐标都要改变符号【总结】考察关于原点对称的两点坐标之间的关系【例17】 已知点A关于x轴的对称点B的坐标是（2，-5），则点A关于y轴的对称点C的坐标是（）A（2，5）B（-2，-5）C（-2，5）D（5，-2）【难度】【答案】C【解析】有题意可得：A（2，5），则点A关于y轴的对称点C的坐标是（-2，5
14、）【总结】考察关于y轴对称的两个点坐标之间的关系【例18】 已知点A（a+1，3）在第二、四象限的角平分线上，点A绕原点O逆时针旋转90后的点B的坐标是_【难度】【答案】（3，3）【解析】在第二、四象限的角平分线上的点坐标的特点是横纵坐标互为相反数 则， 即因为点A绕原点O逆时针旋转90后可构造全等三角形， 所以点A绕原点O逆时针旋转90后的点B的坐标是（3，3）【总结】本题一方面考查二、四象限的角平分线的坐标特征，另一方面考查旋转后点的坐标特征【例19】 已知点A（3，1），点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点对称（1）在平面直角坐标各分别画出点A、B、C；（2）点B的坐标是_；点C的
15、坐标是_；（3）如果ACD中，且D点在平行于x轴的直线上，那么能满足以上条件的点D的坐标是_【难度】【答案】（1）如图；（2）B（3，-1），C（-3，-1）；（3）（-9，1）或（9，-1）【解析】（2）B（3，-1），C（-3，-1）；（3）过C作CEAD，则DE=AEA（3，1），C（-3，-1），D（9，1）；同理当D点在x轴下方时，可得D点坐标为（9，-1）综上，满足条件的点D的坐标是（-9，1）或（9，-1）【总结】考察等腰三角形三线合一性质的运用，注意分类讨论【例20】 已知ABC的顶点坐标是A（-2，5）、B（-2，-4）、C（3，2）BAC654321O1-623456xy-
16、5-4-3-2-1-1-2-3-4-5-6（1）分别写出与点A、B、C关于y轴对称的点 、的坐标；_，_，_；（2）在坐标平面内画出；（3）的面积的值等于_【难度】【答案】（1）A（2，5）、B（2，-4）、 C（-3，2）；（2） 如图；（3） 【解析】（3）【总结】考察几何图形面积的求法【例21】 在平面直角坐标系中，点A（a-2，4）关于y轴对称的点的坐标是B（6，3-2b），求a，b的值，并求出点C（b，-a）关于x轴的对称的点D的坐标【难度】【答案】（，-4）【解析】由题意有：且，则且 则C（，4），故关于x轴的对称的点D的坐标为（，-4）【总结】考察点坐标对称的特征【例22】 如图
17、，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（5，0），（1） 图中B点的坐标是 ；（2） 点B关于原点对称的点C的坐标是 ； 点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；（3） ABC的面积是 （4） 在直角坐标平面上找一点E，能满足的点E有 个；（5） 在y轴上找一点F，使，那么点F的所有可能位置是_（用坐标表示，并在图中画出）【难度】【答案】（1）（3，4）；（2） （3，4）；（5，0）；（3） 20；（4） 无数个；（5） （0，4）或（0，4）【解析】（3）；（4）要使，只要满足ADE与ABC的一条边的边长，和这条边上的高都相等，则这样的点E有无数个；（5），点F的所有可能位置是（0，4）或（0，4）
18、【总结】本题主要考查点的对称的运用及同底等高的两个三角形面积相等的运用【例23】 如图，在一张破旧的地图上已知两个小岛的位置：岛A和岛B的坐标分别是（-3，2）、（-3，-2），宝藏在点C（4，2）位置上，根据条件建立直角坐标系，并确定宝藏的位置【难度】【答案】如图【解析】因为岛A和岛B的坐标分别是（-3，2）、（-3，-2），则可知A、B两点关于x轴对 称，则AB的中垂线为x轴，进而确定直角坐标系原点的位置【总结】考察直角坐标系中点坐标的特点及根据坐标建立平面直角坐标系【例24】 如图，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“
19、马”的位置在图中的点P（1） 写出下一步“马”可能到达的点的坐标_；（2） 顺次连接（1）中的所有点，得到的图形是_图形（填“中心对称”或“轴对称”、“旋转对称”）；P（3） 指出（1）中关于点P成中心对称的点_【难度】【答案】（1）（0，0），（0，2），（1，3）， （3，3），（4，2），（4，0） （2）轴对称图形； （3）（0，0）和（4，2）； （0，2）和（4，0）【解析】马走日，就是说在平面直角坐标系中 要走到与P相邻正方形的对角位置【总结】考察点坐标的对称性及对题意的理解模块三：综合问题知识精讲本模块主要讲解在平面直角坐标系内面积相关的问题例题解析【例25】 已知平面直角坐标
20、系中点A（4，0）、B（3，0）、C（4，4），求ABC的面积【难度】【答案】2【解析】（其中为C点的纵坐标）【总结】考察面积的求法：利用面积公式直接求面积【例26】 已知点A（a，0）和B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，求a的值【难度】【答案】【解析】，则【总结】考察面积的求法：利用面积公式直接求面积注意点坐标转化为线段长度要注意正负【例27】 在图所示的平面直角坐标系中描出下面各点或写出所标点的坐标：A（3，5），B（ ），C（3，5） ，D（ ），并解答：（1）点A在第几象限?（2）将点A向轴的负方向平移6个单位， 它与点 重合（3）连结AC，则直线AC与轴
21、是什么关系?（4）求ADC的面积【难度】【答案】（1）B（2，0），D（3，5），四；（2） D；（3）平行；（4）30【解析】（4）【总结】考察平面直角坐标系中点的坐标特征及几何图形面积的求法【例28】 已知A（3，0）B（3，4）：（1）在x轴找一点C，使之满足=16，求点C的坐标；（2）在直角坐标平面内找一点C，且=16的C有多少个?这些点有什么特征?【难度】【答案】（1）或（5，0）；（2）无数个，这些点的横坐标为11或者5【解析】（1），解得：或5， 点C的坐标为或（5，0）；（2） A（3，0）B（3，4），ABy轴，则C点的横坐标为11或者5所以满足题意的点有无数个，这些点的横坐
22、标为11或者5【总结】考察面积的求法，注意寻找点的特征【例29】 已知M（3m-2，4-m）到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍，你能求出M的坐标吗?如果作MAx轴，点A是垂足，请求出MOA的面积（其中O是坐标原点）【难度】【答案】或，相对应的面积为4或【解析】有题意可得：，解得： 当时，； 当时，【总结】考察点坐标的计算和面积的求法，注意两种情况的确定【例30】 已知点A（2，4），O为坐标原点点A关于y轴的对称点为点B，线段OA绕O点顺时针方向旋转90，到达OC的位置（1）试在坐标平面内画出点B、点C的位置，并写出它们的坐标； （2）求BOC的面积【难度】【答案】（1）如图；（2）6【解析
23、】（2） 【总结】考察面积的求法正规图形不能用直接法 求面积时，则用割补法求面积随堂检测【习题1】 （1）已知点P（，2）与点Q（1，2）关于轴对称，那么=_； （2）已知点P（，n）与点Q（1，2）关于x轴对称，那么=_n=_【难度】【答案】（1）0；（2），【解析】（1）有题意可得：，解得：；（2） 有题意可得：且，解得：，【总结】考察点坐标对称性的特点【习题2】 （1）在平面直角坐标系内，把点P（5，2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是_；（2）在平面直角坐标系中，将点A（1，5）向下平移4个单位所对应的点的坐标是_【难度】【答案】（1）（7，2）；（2）
24、（1，1）【解析】点坐标的平移规律为：向左平移为减，向右平移为加；向上平移为加；向下平移为 减【总结】考察点坐标平移的规律，注意左右平移针对横坐标，上下平移针对纵坐标【习题3】 已知点A（2，2），如果点A关于x轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么C点的坐标是（）A（2，2）B（2，2） C（1，1） D（2，2）【难度】【答案】A【解析】由题意可得：B（2，2），则C（2，2）【总结】考察点坐标的对称性的运用【习题4】 在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案（1）的平移得到的是（ ）(1)ABCD 【难度】【答案】C【解析】平移不改变图形的形状和大小【总结】考察平移的规律【习题5】
25、 已知，如果，那么点 （ ）A关于原点对称 B关于轴对称 C关于轴对称 D关于过点（0，0）、（1，1）的直线对称【难度】【答案】A【解析】关于原点对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数【总结】考察点坐标对称性【习题6】 （1）在平面直角坐标系中，已知A（-8，0），B（0，6），O是原点，那么AOB的面积是_； （2）在平面直角坐标系中，已知M（0，7），N（-5，0），P（0，-2），那么MNP的面积是_【难度】【答案】（1）24；（2）【解析】（1）；（2）【总结】考察三角形面积的求法，注意根据点的坐标特征确定三角形的底和高【习题7】 在第二象限内，且，则点关于轴对称的坐标为 【难
26、度】【答案】【解析】在第二象限内，且， 则点关于轴对称的坐标为【总结】考察点坐标的写法和对称性ABCDxy11O【习题8】 如图，求图中四边形ABCD的面积【难度】【答案】24【解析】由图中可知：A（2，3），B（-2，0）， D（6，0），C（2，3）， 【总结】考察面积的求法，不规则图形的面积可以用割补法进行求解【习题9】 如图，长方形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，AB=6，AD=8，点P从点A出发做匀速运动，沿长方形ABCD的边经过点B到达点C，用了14sABCODxyP（1） 当点P坐标是（8，4）时，点P运动了几秒?（2） 当P运动到达第8s时，求点P的坐标【难度】【答
27、案】（1）4秒；（2）（6，6）【解析】点P从A跑到C的路程为14，则速度为1414=1，（1） 当点P坐标是（8，4）时，则AP=4，则时间为41=4秒；（2） 当P运动到达第8s时，P点经过的路程为81=8， AB=6，BP=2，CP=6，P点坐标是（6，6）【总结】考查动点与平面直角坐标系的结合，注意动点的运动过程，综合性较强【习题10】 直角坐标平面内，ABC的位置如图所示（1） 画出ABC关于x轴对称的图形，并写出各点的坐标；（2） 画出ABC关于原点对称的图形，并写出各点的坐标；（3） 把ABC各点的横坐标减3，纵坐标加1，再把所得的点依次连接起来，所得到的图形与原来的图形相比有什
28、么变化?（4） 把ABC各点的横坐标不变，纵坐标乘以-2，再把所得的点依次连接起来，所得到的图形与原来的图形相比面积有什么变化?【难度】【答案】（1）如图；（2）如图；（3）形状和 大小都不改变；（4）不改变【解析】（4）把ABC各点的横坐标不变，纵 坐标乘以-2，可得：A（3，2）B（2，0） C（1，0），面积为3，而原来的面积为 3，面积没有改变【总结】考察对称的点坐标的特点，注意进行观察课后作业【作业1】 （1）已知平面直角坐标系中点P（-1，4），将它沿y轴方向向上平移3个单位所得点的坐标为_；（2）已知平面直角坐标系中点P，将它沿y轴方向向上平移3个单位所得点的坐标为（3，-2），
29、那么点P的坐标为_【难度】【答案】（1）（-1，7）；（2）（3，-5）【解析】点坐标的平移规律为：向左平移为减，向右平移为加；向上平移为加；向下平移为 减【总结】考察点坐标平移的规律【作业2】 （1）在直角坐标平面内，点向 平移 个单位后会落在y轴上； （2）点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为_【难度】【答案】（1）右；（2）（2，0）【解析】（1）y轴上的点坐标的特点为横坐标为0；（2） x轴上的点坐标的特点为纵坐标为0，则，解得：，则其坐标为（2，0）【总结】点坐标的平移规律为：向左平移为减，向右平移为加；向上平移为加；向下平移为减【作业3】 在直角坐标平面内有点A（0，），B（-，
30、0），C（0，-），D（，0），那么四边形的面积是（） A1B2C4D2【难度】【答案】C【解析】【总结】考察平面直角坐标系中几何图形面积的求法【作业4】 如图，所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为yABCMN轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，那么这时C点的坐标是（ ）A （1，3）； B（2，0）； C（2，1）； D（3，1）【难度】【答案】B【解析】使A点与B点关于原点对称，则AB的中点 为坐标原点则点C在x轴上，且坐标为（2，0）【总结】考察直角坐标系中点坐标的确定【作业5】 若点P（，）在第四象限的角平分线上，则点（
31、，）关于轴的对称点坐标是_【难度】【答案】（1，1）【解析】因为点P（，）在第四象限的角平分线上， ，则，解得： 则点（，）为（1，1），则其关于轴的对称点坐标是（1，1）【总结】考察完全平方公式与点坐标对称的综合运用【作业6】 点，点，点在轴上，如果ABC的面积为15，求点的坐标【难度】【答案】C（30，0）或（30，0）【解析】， 点在轴上，C（30，0）或（30，0）【总结】考察几何图形面积的求法及x轴上点的坐标的特征【作业7】 如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（2，8），（11，6），（14，0），（0，0）（1）求这个四边形的面积（2）如果把原来四边形ABCD中顶点A的横、纵
32、坐标都增加2，所得的四边形面积又是多少?【难度】【答案】（1）80；（2）97【解析】（1）；（2） 由题可知，A点坐标变化后为（0，10）， 则此时【总结】考察面积的求法，不规则图形利用割补法进行求解【作业8】 在直角坐标平面内，已知点A（0，5）和点B（2，4）， BC= 4， 且BC/轴在图中画点C的位置，并写出点C的坐标；联结AB、AC、BC，判断ABC的形状，并求出它的面积【难度】【答案】C（2，4）或（6，4），见解析【解析】当C（2，4）时，ABC为等腰三角形， 此时； 当C（6，4）时，ABC为钝角三角形， 此时【总结】考察三角形面积的求法，注意进行分类讨论【作业9】 如图，画出ABC绕点O逆时针旋转90后得到的图形DEF，并写出各点的坐标【难度】【答案】如图【解析】可在直角坐标系中画出图形即可 得答案【总结】考察图形旋转的画法【作业10】 已知点A的坐标是（3，0），点B的坐标是（1，0），ABC是等腰三角形，且一边上的高为4，写出所有满足条件的点C的坐标【难度】【答案】见解析 故点C的坐标为（1，4）或（1，4）或（1，4）或（1，4）或（3，4） 或（3，4）【总结】本题综合性较强，考察等腰三角形的性质的运用，注意进行分类讨论
