1、第2课时 分解素因数知识精要一、公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。2、如果2个整数只有公因数1，那么这两个数互素。两数互素是指两个数的最大公因数是1这样一种关系。它和素数、素因数是不同的概念，不要混淆。判断：只有2个数都是素数才能互素，对吗？ 错。比如：4和9。两数互素，这两个数一般有以下四种情况；（1）素数和素数（19和23）； （2）素数和合数（13和14）；（3）合数和合数（21和22）； （4）1和任何正整数（1和100）3、求两个数最大公因数的常用方法有：列举法、分解素因数法、短除法。运用规律法：规律：两个整数中，如
2、果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么他们的最大公因数就是1.如果两个数满足上面的规律，便可直接运用规律求出它们的最大公因数。辗转相除法：求36和84的最大公因数3 36 84 2 36 72 0 12上面式子的意思是：84除以36，商是2（写在右边），362=72（写在被除数84下方），余数是12，再用36除以12，商是3（写在左边），123=36（写在被除数36下方），余数是0，这样，最后的除数12就是36和84的最大公因数。像上面这种求两个数的最大公因数的方法就是辗转相除法。求：280和160的最大公因数。1 280 160 1 160 12
3、0 3 120 40 120 0 所以，280和160的最大公因数是40.求三个数的最大公因数：用一个数去除18、24、60都能整除，这个数最大是多少？你能用几种方法求解？你觉得哪种方法更快捷呢？用短除法求解可得：18、24、60的最大公因数是23=6，所以这个数最大是6.4、求几个正整数的最大公因数，只要把它们所有的公有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。上题还有分解素因数法：大家试试求解一下。二、公倍数与最小公倍数10、几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。判断下列说法是否正确：（1）两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数。（ ）（2）两个数的公倍数
4、的个数是有限的。（ ）（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。（ ）（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大。（ ）如果将“不相同的”去掉，这句话还对嘛？11、求两个整数最小公倍数的方法有：列举法、分解素因数法、短除法。运用规律法12、如果两个整数中某一个是另一个的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数。13、如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。14、大数倍数法：将两个数中的较大数依次乘以、，所得的积最先是较小这个数的倍数时，那么这个积就是这两个数的最小公倍数。注：两个数之间的关系有三种情况：（1）互素关
5、系；（2）倍数关系；（3）一般关系；如果两个数是第1、第2种关系，则用“运用规律法”求他们的最小公倍数更快捷；如果是第3种关系，通常用短除法更快捷（用短除法求最小公倍数时，可用较大公因数去除，使计算更加快捷，除数不一定非是素数）。热身练习一、填空1、两个连续奇数的和是16，那么这两个奇数的最小公倍数是_63_，最大公因数是_1_。2、如果整数m除以整数n的商是8，那么这两个数的最小公倍数是_m_，最大公因数是_n_。3、2、5、8、9四个数，任选两个数组成一对，一共可以组成_5_对互素数。2，5；2，9；5，8；5，9；8，9。4、一个数除85余1，除65余2，符合条件的数中最大的这个数是_2
6、1_。本题求84和63的最大公因数。5、一张长方形纸片，长96厘米，宽60厘米，把它裁成同样大小且边长为整数厘米的正方形而无剩余，至少可裁成_40_张。本题求96和60的最大公因数。6、一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，每相邻两棵树的距离相等，最少种_10_棵数。本题求120和30的最大公因数及植树问题。二、选择7、8是32和48的 (C) A.最大公因数 B. 素因数 C. 公因数 D. 互素数本题考查这四个概念的区别。8、既是24的因数，又是36的因数有 (C)A.4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个本题考查公因数的概念，它们的公因数分别是1、2、3、4、
7、6、12。9、如果自然数a和b的最大公约数是1，那么a和b的最小公倍数是(A)A. ab B. a C. b D. 无法确定本题考查互素的概念和互素的两个数的最小公倍数如何求解的问题。10、有一堆桃子，三个三个的数余2个，四个四个的数仍余2个，这堆桃子最少有（B）A.12个 B. 14个 C. 16个 D. 18个精解名题例题1三个素数的和为50，请写出一组这样的素数。2、31、17或2、11、37或2、7、41偶数+奇数+奇数=偶数，所以一定要有素偶数2.例题2甲数=2357，乙数=2311，它们的最大公约数是6，最小公倍数是2310.最大公因数=公有的素因数的乘积；最小公倍数=公有的素因数
8、的乘积其余各数的乘积；例题3如果正整数n能使得也是正整数，那么这样的正整数n有多少个？8个。=1+,也就是求24的因数，即n=1，2，3，4，6，8，12，24.例题4(1)3和5的最小公倍数是15，最大公因数是1；（互素关系）(2)18和36的最小公倍数是36，最大公因数是18；（倍数关系）(3)8和9的最小公倍数是72，最大公因数是1；（互素关系）(4)6和15的最小公倍数是30；最大公因数是3. （一般关系）备选例题1、有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有(C)对.A.1 B. 2 C. 3 D. 4210=2357，将2、3、5、7两两组合相乘，便可以得到10和21
9、，6和35，14和15。2、自然数a、b，如果数a除以数b的商是2，那么两数的最大公约数是(B)A.a B. b C. 1 D. 2a和b是倍数关系，所以它们的最大公约数是b。3、三个数的和是63，甲数比乙数少3，丙数是甲数的2倍，这三个数的最大公约数是3，最小公倍数是90.先求出甲、乙、丙三个数分别是15、18、30，然后再求最大公约数和最小公倍数。4、求一个最小的自然数，使它除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数是58.先求出3、4、5、6的公倍数是60、120、180，所以符合条件的是60-2=58.这就是我们上次课备选例题第二题215=41的延伸，既是被除数至少增加4时
10、没有余数。本题就是所要求的“最小的自然数”+2=60.巩固练习一、选择1、几个素数的乘积一定是 (B)A、素数 B、合数 C、偶数 D、奇数2、一个合数的因数的个数至少为 (C)A、1 B、2 C、3 D、43、甲数=335，它的因数的个数为 (D)A、3 B、4 C、5 D、6本题考查如何通过素因数求解因数：将素因数组合相乘即得到因数，但是别忘了1和它本身。4、几个数的最大公因数是12，这些数的全部公因数是 (D)A、1,2,3,12 B、2,3,4,6 C、2,3,4,6,12 D、1,2,3,4,6,12全部公因数一定是最大公因数的因数，即求12的因数有哪些。5、下列说法中，正确的有 (
11、D) 2是4和16的一个公因数； 12是24和36的最大公因数； 如果两个数互素，那么这两个数一定都是素数； 1和任何正数互素。A.0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个正确的有：（1）、（2）、（4）。（3）两个数互素有四种情况，知识精要讲过的。二、填空1、1、2、6、7、9中合数是 6、9，素数是2、7，既非合数又非素数的是1。2、a是合数，且1a2)3、分解素因数二、公因数与最大公因数1、概念 2、求法 3、互素三、公倍数与最小公倍数1、概念 2、求法自我测试一、选择1、100以内的正整数中，最大的素数和最小的合数的和是 (B)A.103 B.101 C.99 D.972、下列说法正确
12、的是 (C)A.所有正整数至少有两个因数B.偶数一定不是素数C.奇数也有可能是合数（比如9）D.一个奇数和一个偶数一定不会有相同的因数3、下列说法中，错误的是 (C)A.4是最小的合数 B.2既是素数又是偶数C.能够整除2的数是合数 D.能被5整除的整数个位不是0就是54、36和48的最大公因数和最小公倍数分别是 (B)A、6和196 B、12和144 C、6和144 D、12和965、下列各组数中，最小公倍数不是36的是 (C)A、4和9 B、3和12和36 C、2和18 D、6和9和126、100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是 (B)A、35 B、75 C、85 D、907、要使两位
13、数1和6互素，方框中的数字可以是 (D)A、0,2,6 B、0,5,7 C、4,8,9 D、1,3,78、20、70、105这3个数有一个共同的素因数，这个数是 (C)A、10 B、7 C、5 D、39、a和b都是正整数，并且ab=8，那么a和b的最大公因数是 (B)A、a B、b C、8 D、1二、判断：1、两个互素的整数一定都是素数。（ ）2、两个数的公因数分别是两个数的素因数。（ ）3、两个互素的整数可能都是合数。（ ）4、两个数的公因数中，一定含有两数的素因数。（ ）5、两个互素的整数不可能有相同的素因数。（ ）6、两个互素的整数不可能都是偶数。（ ）7、共有的素因数一定是两数的公因数。（ ）8、两数的公因数不可能与其中一个数的素因数完全相同。（ ）9、任意两个素数互素。（ ）10、100以内，除了2以外，其余的素数都是奇数。（ ）课后记：本堂课主要讲了素数、合数与分解素因数，以及最大公因数与最小公倍数的计算。本节最大公因数与最小公倍数的判断是本节课的重点也是难点。本次题目中等偏难，学生基本上能够对所学内容掌握，但是还需要进一步加强巩固练习。8
