1、有理数的运算有理数的运算 知识精要 有理数加法：有理数加法： 1、有理数加法法则： （1）同号两数相加： 把绝对值相加，符号和原来保持一样 。 （2）绝对值不相等的异号两数相加：用绝对值大的数的绝对值减去较小的绝对值，符号和绝对值大的保持一至 （3）互为相反数的两个数相加： 值为零 。 （4）一个数与零相加： 结果仍等于这个数 。 备注：利用法则计算时，一般步骤是： （1）先确定和的符号（2）进行绝对值相加或相减（3）得出最后结果（一观察，二确定，三求和一观察，二确定，三求和，即第一步观察两个数的符号式同号还是异号，有没有零；第二步确定用哪条法则；第三步求出结果） 2、有理数加法运算律 （1）
2、加法交换律： a+b=b+a 。 （2）加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。 运用运算律通常有下列规律： （1）互为相反数的两数可以先相加； （2）符号相同的数可以先相加； （3）分母相同的数可以先相加； （4）几个数相加能得到整数的可以先相加。 有理数减法：有理数减法： 1、有理数减法的法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。 2、有理数减法的运算： 把减法转化为加法，借助加法进行计算，注意两个变变字： （1）改变运算符号； （2）改变减数的性质符号（变为相反数） 。 牢记一个不变，被减数与减数的位置不能互换，也就是说，减法运算没有交换律。 有理数乘法：有理数乘法： 1、有理数
3、乘法法则： （1）两数相乘：同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。 （2）任何数与零相乘：都为零 备注： （1）此法则中的“同号得正，异号得负”是专指“两数相乘” （2）运算步骤为：确定符号；确定绝对值，计算结果 （3）在进行乘法计算时，带分数要化成假分数，以便于约分 （4）任何数同 1 相乘都得原数，任何数同-1 相乘得原数的相反数 （5）掌握乘法法则的关键是确定积的符号，“两数相乘，同号得正，异号得负”注意与加法的符号法则的区别 （6）当乘数中有负号时，必须加括号，第一个因数有负号时，可省略不写 （7）数字与字母，字母与字母，数字与括号之间可省略乘号 2、有理数乘法法则的推广 几个不为 0
4、的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。 备注： （1）在有理数乘法中，每一个乘数都叫因数 （2）几个不为 0 的有理数相乘，先根据负因数个数确定符号，然后把绝对值相乘 （3）几个数相乘，如果一个因数为 0，那么积就等于零，反之如果积为 0，那么至少有一个因数为零。 3、有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：ab=ba （2）乘法结合律： （ab）c=a（bc） （3）乘法对加法的分配律：a（b+c）=ab+ac 有理数除法有理数除法： 1、倒数的概念：乘积为 1 的两个数叫做互为倒数。零没有倒数。 2、有理数除法法则：除以一个数等于乘以这
5、个数的倒数； 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，零除以任何一个不等于零的数，都得零。 热身练习 一、计算： 1、 （-7）+（-3） 2、 （+4）+（-6） =-10 =-2 3、 （-2.6）+2.6 4、 （-3.2）+0 =0 =-3.2 5、 （+26）+（-14）+（-16）+（+18） =（26+18）+（-14）+（-16） =44+（-30） =14 6、114.1 ()()( 10.1)724 7、151( 1 )(2 )( 3 )264 = 114 =1312 8、 （-2） 3 4 （-1） 9、 （-5） （-6） 3 （-2） =24 =-180 二、填
6、空 1、已知 a0,b0,且ab，则 a+b_0； 2、已知 a0,b0, 则 a+b_0； 3、已知 a0, 且ab，则 a+b_0； 4、已知 a0,b0 时，原式=6 当 c0 时，原式=2 精解名题 例 1、134()( 3.5)( 6) ( 2.5)( 6)()1717 分析：同分母，互为相反数，同号的数应结合在一起。 解：原式= 134()( 3.5)( 6)( 2.5)( 6)()1717 = 134()()( 3.5)( 2.5)( 6)( 6)1717 = 0 例 2、用简便方法计算： （1）4899( 7)49 （2） （-0.125） 13 （-8） = 1(100) (
7、 7)49 =（0.125 8） 13 = 1100 ( 7)() ( 7)49 =1 13 = 66997 =13 例 3、已知 a0,b0,且ab，试判断 a-b 的符号。 解：a0,b0 又a-b=a+（-b） a 与-b 是异号两数相加 ab 即ab 取 a 的符号，而 a0 a-b 的符号为负号。 例 4、已知0abab，求abab的值。 解：0abab a，b 异号，即 ab0，即 a，b，c，d 同号或四个中有两两同号 （1）当 a，b，c，d 同正时，原式=4 （2）当 a，b，c，d 同负时，原式=-4 （3）当 a，b，c，d 两正两负时，不妨设 a，b 同负，原式=0 例
8、 4、化简：xxxx112。 分析：本题用“零点分段”的方法 解：令 2x+1=0，12x ；令 x-1=0，x=1；令 x=0 （1）当12x 时，原式= (21)(1)31xxxxx （2）当102x时，原式= (21)(1)1xxxxx （3）当01x时，原式= (21)(1)3xxxxx （4）当1x时，原式= (21)(1)31xxxxx 例 5、若1x与2y互为相反数，求200620081.13121yxyxyx的值。 解：1x+2y=0 x=-1，y=2 原式=11111 22 33 42007 2008 =1111111223320072008 =20072008 方法提炼方法
9、提炼 零点分段：1、先令绝对值里面的式子为 0，求出未知数的值（即零点） 2、在数轴上标出第一步中求出的零点，零点将数轴划分成若干区间 3、讨论在每个区间中，绝对值的值是大于零还是小于零，并用绝对值的性质去绝对值符号，并合并 巩固练习 1、21+（-15）+（-4）+（+33）+（-24） =11 2、2213( 5 )( 4 )( 1 )( 6 )3535 =4 3、2417( 13 )( 12)( 13 )( 14)315315 =12715 4、 （-2） （-2） （-2） （-2） = 16 5、 （-3） （-1） 2 （-6） 0 （-2） = 0 6、187443. 71811
10、13 =-25.43 课堂总结课堂总结 1、有理数的加减法法则，加法运算律 2、有理数乘除法法则，乘法运算律 自我测试 1、 871257125. 372. 3439 =15 2、322432114332 =12 3、25. 04375. 24181 =-1 4、已知3x，求131211.4321xxxxxxx的值。 解：原式= (1)(2)(3)(4)(11)(12)(13)3333333 =12341112133333333 =53 5、已知150 p，求1515pxxpx在15 xp时的最小值。 解：原式=x-p+15-x+p+15-x =30-x 当 x=15 时，原式的最小值为 15 6、yx、是有理数，求853yxx的最小值。 解：绝对值具有非负性，即30,50 xxy 当30,50 xxy时，原式取最小值 8。
