1、2.4空间向量的应用知识梳理1、如图，直线，取直线的方向向量，则称向量为平面为平面的法向量给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合2、求直线与平面所成的角（1）设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin |cosa，n|.（2）线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin|cosa，n|，不要误记为cos|cosa，n|3、求二面角的大小（1）如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，.（2）如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角
2、的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).（3）二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.4、设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理，得5、点P到平面的距离是在直线上的投影向量的长度：知识典例题型一法向量例 1已知平面的一个法向量是，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（ ）ABCD【答案】D【分析】两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项.【详解】平面的一个法向量是，设平面的法向量为，
3、则，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.巩固练习1、如图，在正方体ABCD中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )A(1，2，4)B(4,1，2)C(2，2，1)D(1，2，2)【答案】B【分析】由A、E、F的坐标算出=（0，2，1），=（1，0，2）设=（x，y，z）是平面ABC的一个法向量，利用垂直向量数量积为零的方法建立关于x、y、z的方程组，再取y=1即可得到向量的坐标，从而可得答案【详解】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），=（0，2，1），=（1，0，2）设向量=（x，
4、y，z）是平面AEF的一个法向量则，取y=1，得x=4，z=2=（4，1，2）是平面AEF的一个法向量因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量故选B2、在空间直角坐标系中，已知三点，若向量与平面垂直，且，则的坐标为_【答案】或【分析】先求得，设，利用列方程组，解方程组求得的坐标.【详解】由A，可得，设，根据题意可得，可得，解得或.所以或.故答案为：或.题型二线面角例 2在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）ABCD【答案】B【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为则
5、令可得，所以设直线与平面所成角为，故选：B巩固练习1、如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，是棱上的点，满足.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由已知证得，由线面垂直的判定定理可得证；（2）以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，根据线面角的向量求解方法可得答案.【详解】（1）三棱柱是直三棱柱，所以平面 ，又平面，所以，又， 分别为棱的中点，所以 ，所以，又，平面，平面，所以平面；（2）以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，由（1）得，又，所以，所以，所以，设面的法向量为，则，所以，令，得，所以，设直线与平面所成角为
6、，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.题型三点到面的距离例 3如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（ ） ABCD【答案】B【分析】如图建立空间直角坐标系，可证明平面，故平面的一个法向量为：，利用点到平面距离的向量公式即得解.【详解】 如图建立空间直角坐标系，则： 由于平面平面，又，平面故平面的一个法向量为：到平面的距离为：故选：B巩固练习1、已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ）AB1C D 【答案】A【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.【详解】A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0
7、），（1，0，0），（1，2，2），点A到直线BC的距离为：d1故选：A题型四二面角例 4如图，在三棱柱中，是棱的中点，侧棱底面求平面与平面所成二面角的正弦值【答案】（）；（）【分析】()以C为坐标原点建立空间直角坐标系，写出和的坐标，然后计算即可()先求出平面的法向量，是平面的法向量，然后计算出平面与平面所成二面角的正弦值即可【详解】（）是棱的中点， 由（），知，侧棱底面，是平面的法向量 设平面的法向量为，则即解之，得 故可取故平面与平面所成二面角的正弦值为巩固练习1、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB，CE1，CE平面ABCD（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值； （2）求
8、二面角ADFB的大小【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线DF与BE所成角的余弦值.(2)利用向量法求二面角ADFB的大小.详解：以 为正交基底，建立如图空间直角坐标系Cxyz，则D(，0，0)，F(，1)，E(0，0，1)，B(0，0)，C(0，0，0)，所以(0，1)，(0，1)，从而cos 所以直线DF与BE所成角的余弦值为(2)平面ADF的法向量为 (，0，0). 设面BDF的法向量为 = (x，y，z)又(，0，1)由0，0，得yz0， xz0取x1，则y1，z，所以= (1，1，)，所以cos又因为0，p，所以所以二面角A DF B的大小
9、为 题型五动点问题例 5 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，点为棱的中点（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由（2）当二面角D-FC-B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角巩固练习1、如图，在四棱锥中，平面底面，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，=2，EAEB（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）点满足时，有平面巩固提升1、如图，在三棱柱中，底面，则与平面所成角的大小为ABCD【答案】A取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，可得，
10、故，而，设平面的法向量为，根据，解得，.故与平面所成角的大小为，故选A2、两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 （ ）ABCD【答案】B【解析】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B.3、长方体中，（1）求异面直线与所成角的余弦值（2）求点到平面的距离（3）求二面角的余弦值【答案】（1）（2）；（3）解：以为原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,（1）设异面直线与所成角为，因为，所以，（2）设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，所以点到平面的距离，（3）设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，设二面角的大小为，则，4、在直三棱柱中，点是的中点（1）求异面直线，所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求异面直线与的距离【答案】（1）（2）（3）【详解】解：以，为，轴建立按直角坐标系，则各点的坐标为，如图：（1）所以，所以故异面直线和所成角的余弦值为（2），设平面的法向量为则即，取，得设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为（3）连接交于点，连接，易得，所以平面，故点到平面的距离即为所求异面直线距离记点到平面的距离为，则所以异面直线与的距离为
