1、2.2空间向量基本定理知识梳理1、空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，其中，a，b，c叫做空间的一个基底.知识典例题型一 空间向量基本定理例 1已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则_.【答案】-1【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论【详解】2x3y4z，2x3y4z，O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面2x3y4z12x+3y+4z1故答案为1巩固练习在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_【答案】【分析】根据
2、底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求得的结果.【详解】解：=(+)= +)= +=故答案为：.题型二 线线平行例 2已知，分别是空间四边形的边，的中点.（1）求证：，四点共面；（2）求证：平面；（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解【分析】(1)根据向量的加法几何应用得，由共面向量定理的推论可证，四点共面；(2)利用中位线证，根据线面平行的判定定理可证平面；(3)根据向量的几何应用可得、即可证【详解】（1）如图，连接则由共面向量定理的推论，知，四点共面（2）ABD中，分别是边，的中点，即E
3、H为中位线 ，又面，面平面（3）由（2）知，同理，即四边形是平行四边形对角线，交于一点且为它们的中点，又，分别是，的中点空间中任取一点，并连接，如图所示故，在OEG中在AOB中；在COD中；.巩固练习已知、为空间的9个点（如图所示），并且，求证：（1）、四点共面，、四点共面；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据共面向量的基本定理，由，可证明结论.（2）运用向量共线定理求证得到线平行.【详解】由，由共面向量的基本定理可得：为共面向量且有公共点 为共面向量且有公共点所以、C、四点共面，、四点共面（2）因为，又，所以题型三 线线垂直 例 3在所有棱长均为2的三棱柱中，
4、求证：（1）；（2）平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）通过计算来证得.（2）通过证明、来证得平面.【详解】（1）依题意可知三角形是等边三角形，所以，则.所以.（2）依题意四边形为菱形，所以.因为，所以，又，所以平面.巩固练习如图，在正方体中，分别是，的中点，求证：平面.【答案】证明见解析.【分析】设，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可.【详解】设，则.则，.，即.同理.，平面.题型四 线线夹角例 4已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由题，选定空间中三个不共面的
5、向量为基向量，只需证明即可；（2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.【详解】设，由题可知：两两之间的夹角均为，且，（1）由所以即证.（2）由，又所以，又则又异面直线夹角范围为所以异面直线夹角的余弦值为.巩固练习如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，用向量，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】（1），因为，同理可得，所以（2）因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为巩固提升1、若是空间
6、的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )A，B，C，D，【答案】C【分析】验证各组向量是不是共面，共面的不能作为基底，不共面的可作为基底。【详解】是空间的一个基底，中三个向量是共面的，不能作为基底，其它三个选项中的三个向量都是不共面的，都可作为基底。故选：C。2、如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）ABCD【答案】C【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值.【详解】依题意，所以.故选：C.3、下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有；是、共线的充要条件；对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C，若，（，y，zR），
7、则P、A、B、C四点共面其中不正确命题的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】D【分析】由向量的运算法则，可判断真假；两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，判断真假；利用空间向量的基本定理判断真假；【详解】解：根据向量的运算法则知，等号的左边为，而右边为0，故不正确；|2-2|+|2=|2+2+|2cos=-1，即与反向，是、共线的充分不必要条件，故不正确；由空间向量基本定理知，空间任意一个向量可以用不共面的三个向量、线性表示，所以P、A、B、C四点一定不共面，故不正确；故选：D4、已知空间向量，设，与垂直，则_【答案】【分析】根据与垂直，求得，再由条件可求出，根据即可得出结果.【详解】，化简得，又，故答案为：.5、已知空间向量，则（ ）ABCD【答案】D【分析】由两边平方结合条件可得，再由夹角公式可得解.【详解】，故选：D.6、如图，在三棱柱中，D，E分别是的中点.求证：（1）平面；（2）平面.(用向量方法证明)【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设，利用空间向量定理表示向量，论证，共线即可.（2）设，利用空间向量定理表示向量，根据，得到，然后再论证，即可.【详解】设.（1），又平面平面，平面.（2）易知，即两式相加，整理得，.，.又，.又，平面.
