1、3.3 抛物线知识梳理1、抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).2、抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px (p0)y2px(p0)x22py(p0)x2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点F F F F 离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下3、注意（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.（2）
2、抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径.知识典例题型一 抛物线的标准方程例1抛物线的准线方程是，则的值为（ ）ABC8D-8【答案】B巩固练习若抛物线的准线与椭圆相切，则a（ ）A4或4B4C8或8D8【答案】A【解析】【分析】先写出抛物线的准线方程，再利用已知条件得到，即可得出结果.【详解】因为抛物线的准线方程为，若抛物线的准线与椭圆相切，则，题型二 定义应用例 2已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）A4B3C2D1【答案】B【解析】【分析】过点作准线的垂线，由抛物线的定义和三角形相似、可知，进而可求
3、得结果。【详解】如图所示：过点作交于点，利用抛物线定义得到.设准线交x轴于点，因为，所以，又焦点到准线的距离为4，所以， 所以.故选B.巩固练习已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点到直线的距离为( )A2B4C8D16【答案】B【解析】【详解】【分析】如图所示：抛物线的焦点为,准线为,即，分别过作准线的垂线,垂足为,则有，过的中点作准线的垂线,垂足为,则为直角梯形中位线,则,即到准线的距离为.故选.题型三性质应用例 3已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A点的坐标为B若直线过点，则C若，则的最小值为D若，则线段的中点到轴的距离为【答案】BCD【
4、解析】【分析】由抛物线标准方程写出焦点坐标判断A，根据焦点弦性质判断B，由向量共线与焦点弦性质判断C，利用抛物线定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合中点坐标公式判断D【详解】解：易知点的坐标为，选项A错误；根据抛物线的性质知，过焦点时，选项B正确；若，则过点，则的最小值即抛物线通经的长，为，即，选项C正确，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，分别做准线的垂直线，垂足分别为，所以，.所以，所以线段所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确故选：BCD巩固练习抛物线y212x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于_.【答案】【解析】【分析】根据抛物线、双曲线的方程，写出抛物
5、线的准线方程、双曲线的渐近线方程，联立方程可求准线与两条渐近线的交点坐标，进而可求三角形的底边长和高，即可求三角形的面积。【详解】由抛物线的方程y212x可知准线方程为，由双曲线的方程可得两条渐近线的方程分别为，由，可得，同理可得，由图可知弦长AB，三角形的高为3，面积为S.题型四最值问题例 4已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、三点共线时，取最小值得解.【详解】如下图所示：过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，当且仅当、三点共线时，等号成立，因此，的最小
6、值为.故选：A.巩固练习已知抛物线方程为，点在此抛物线上运动，则点与点之间的距离的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由于点在抛物线上运动，所以设，则，然后整理配方可求得结果【详解】解：不妨设（），则.当时，取得最小值故答案为：题型五向量在抛物线中的应用例 5已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）A8B4C6D3【答案】D【解析】【分析】设点、，由，可计算出点的横坐标的值，再利用抛物线的定义可求出.【详解】设点、，易知点，解得，因此，故选D.巩固练习已知抛物线的焦点为，点满足.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程.【答案】（1
7、）（2）【解析】试题分析：（1）根据点在抛物线上及，即可求得得值，从而可求出抛物线的方程；（2）易知直线斜率必存在，设，由，可得，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，即可求出，从而可求出直线的方程.试题解析：（1）由条件易知在抛物线上， 故，即抛物线的方程为； （2）易知直线斜率必存在，设， ， 联立得即， 由得，且， ， 由得，即直线. 题型六直线与抛物线例 6已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合.（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析
8、】（1）设双曲线的方程为（，），根据双曲线C的离心率为和点在双曲线上，得到关于，的方程组解方程组可求双曲线的方程，则抛物线的焦点可求，其方程易解.（2）联立直线l和抛物线方程，得到两根之和，根据抛物线的焦半径公式易求线段的长度.【详解】解：（1）设双曲线的方程为（，），由题设所以，又点在双曲线上，所以由解得，故双曲线标准方程为；设双曲线的焦距为，因为，得，所以抛物线焦点为，即，所以抛物线的标准方程为.（2）设直线交抛物线于，联立，得，故，由抛物线定义知，所以.巩固练习设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的横坐标为，且（）求抛物线的标准方程；（）若直线（斜率存在）经过焦点，求
9、直线的方程【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（）设点、，由题意得出，再利用抛物线的定义可求出的值，由此可得出抛物线的方程；（）设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.【详解】（I）设点、，则线段中点横坐标为，又，解得.因此，抛物线的标准方程为；（II）由（I）知，抛物线的焦点为，故可设直线的方程为，联立方程组，消去，得，解得，因此，直线的方程为巩固提升1、若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_【答案】【解析】【分析】求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2=2x的准线的
10、距离即可【详解】设点M ，|MO|=y2=2或y2=-6（舍去），x=1M到抛物线y2=2x的准线x=-的距离d=1-（-）=点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离，点M到该抛物线焦点的距离为故答案为.2、斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，则线段的长为_【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的焦点坐标得出抛物线的标准方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可计算出线段的长.【详解】由于抛物线的焦点为，则，所以，抛物线的方程为，设点、，直线的方程为，联立，消去得，故答案为：.3、设、是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分
11、线为，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据线段的垂直平分线方程可得出直线的斜率，由此利用点差法可得出关于的等式，进而可求得实数的值.【详解】由题知，两式相减得，所以，由题知，所以，所以.故答案为：.4、已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_【答案】2【解析】【分析】利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.【详解】详解：设则所以所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,，因为M为AB中点，所以MM平行于x轴因为M(-1,1)所以，则即故答案为2.5、已知定点A(3,0)，B(3,0)，动点P在抛物线y22x上移动，则的最小值等于_.【答案】【解析
12、】【分析】设，将点坐标代入题目所给向量数量积的条件，利用抛物线方程进行化简，最后用二次函数的知识求得最小值.【详解】设，则，因为，所以，故当时，取得最小值为-.6、已知抛物线上的一点到焦点的距离等于3（1）求抛物线的方程；（2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义得出到准线的距离为3，列方程解出；（2）设方程为，与抛物线方程联立方程组得出，两点纵坐标的关系，得出的面积关于的函数，求出最小值即可【详解】（1）抛物线的准线方程为，到焦点的距离为，抛物线方程为（2）设的方程为联立方程组，得设，则，时，取得最小值【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题7、已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.（1）求抛物线C的方程；（2）若，求k的值.【答案】（1）；（2）1或.【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB【详解】（1）抛物线C：的准线为，由得：，得.所以抛物线的方程为.（2）设，由，直线l经过抛物线C的焦点F，解得：，所以k的值为1或.
