2023年全国初中数学素养与创新能力竞赛(初二组)决赛试题(含答案)

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1、2023年全国初中生数学素养与创新能力竞赛(初二组)决赛试题一、 选择题(本题满分42分,每小题7分)1. 已知x2-x-1=0,则的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.-32小明使用图形计算器探究函数y=的图象,他输入了一组a,b的值,得到了下面的函数图象,由学习函数的经验,可以推断出小明输入的a,b的值满足()A a0,b0Ba0,b0Ca0,b0Da0,b03.已知线段(1x3),线段y=+a(1x3),当a的值由1增加到2时,该线段运动所经过的平面区域的面积为()2题图A6B8C9D109题图5题图4已知实数a、b、c满足abc,并且k,则直线ykx+k一定经过()A第一、三、四

2、象限B第一、二、四象限C第一、二、三象限D第二、三、四象限5如图,OAC和BAD都是等腰直角三角形,ACOADB90,反比例函数y=在第一象限的图象经过点B,则OAC与BAD的面积之差SOACSBAD为( )A3B12C6D366. 某校准备在运动会时购买A、B、C三种奖品,已知三种奖品的单价之和为22元,计划购买三种奖品的总数量不超过200个,其中C奖品的单价为10元,计划购买50个;计划购买A奖品 的数量不多于B奖品数量的一半,但至少购买20个.在做预算时,运动会的组委会将A和B的单价弄反了,结果在实际购买时,总费用比预算多了160元.若A、B、C的单价均为整数,则实际购买A、B、C三种奖

3、品的总费用最多需要( ) A.940元 B.1300元 C.1480元 D.1530元二、 填空题(本题满分28分,每小题7分)7. 已知A=,则A的值为 .8. 直线与x轴和y轴的交点分别为A和B,则线段AB上(包括端点A和B)横坐标和纵坐标都是整数的点有 个. 9.如图,A,B两点在反比例函数y=的图象上,C、D两点在反比例函数y=的图象上,ACx轴于点E,BDx轴于点F,AC2,BD3,EF=,则k2k110.已知实数a,b满足,则的最大值为 .三、 (本大题满分20分)11. 已知ax=by=cz=1,求的值.四、(本大题满分25分)12.)已知点A(a,ma+2)、B(b,mb+2)

4、是反比例函数y=图象上的两个点,且a0,b0,m0(1)求证:a+b=;(2)若OA2+OB22a2+2b2,求m的值;(3)若SOAB3SOCD,求km的值五、本大题满分25分13.如图,一次函数ykx+6的图象分别交y轴正半轴于点A,x轴正半轴于点B,且AOB的面积是24(1)求k的值;(2)作BAO的平分线交x轴于点P,将PA绕点P顺时针旋转45得到直线PC,线段PB沿着射线PC方向平移,得到线段PB,连结AB,PB,求直线PC的函数关系式;当APB是以AP为直角边的直角三角形时,求点B的坐标2023年全国初中生数学素养与创新能力竞赛(初二组)决赛试题四、 选择题(本题满分42分,每小题

5、7分)2. 已知x2-x-1=0,则的值为( B ) A.0 B.1 C.-1 D.-32小明使用图形计算器探究函数y=的图象,他输入了一组a,b的值,得到了下面的函数图象,由学习函数的经验,可以推断出小明输入的a,b的值满足(A)B a0,b0Ba0,b0Ca0,b0Da0,b03.已知线段(1x3),线段y=+a(1x3),当a的值由1增加到2时,该线段运动所经过的平面区域的面积为(A)2题图A6B8C9D109题图5题图4已知实数a、b、c满足abc,并且k,则直线ykx+k一定经过(A)A第一、三、四象限B第一、二、四象限C第一、二、三象限D第二、三、四象限5如图,OAC和BAD都是等

6、腰直角三角形,ACOADB90,反比例函数y=在第一象限的图象经过点B,则OAC与BAD的面积之差SOACSBAD为(A )A3B12C6D369. 某校准备在运动会时购买A、B、C三种奖品,已知三种奖品的单价之和为22元,计划购买三种奖品的总数量不超过200个,其中C奖品的单价为10元,计划购买50个;计划购买A奖品 的数量不多于B奖品数量的一半,但至少购买20个.在做预算时,运动会的组委会将A和B的单价弄反了,结果在实际购买时,总费用比预算多了160元.若A、B、C的单价均为整数,则实际购买A、B、C三种奖品的总费用最多需要( C ) A.940元 B.1300元 C.1480元 D.15

7、30元五、 填空题(本题满分28分,每小题7分)10. 已知A=,则A的值为 .11. 直线与x轴和y轴的交点分别为A和B,则线段AB上(包括端点A和B)横坐标和纵坐标都是整数的点有 5 个. 9.如图,A,B两点在反比例函数y=的图象上,C、D两点在反比例函数y=的图象上,ACx轴于点E,BDx轴于点F,AC2,BD3,EF=,则k2k1410.已知实数a,b满足,则的最大值为 72 .六、 (本大题满分20分)12. 已知ax=by=cz=1,求的值.解:axbycz1,a4x4b4y4c4z41,原式,1+1+1,3四、(本大题满分25分)12.)已知点A(a,ma+2)、B(b,mb+

8、2)是反比例函数y=图象上的两个点,且a0,b0,m0(1)求证:a+b=;(2)若OA2+OB22a2+2b2,求m的值;(3)若SOAB3SOCD,求km的值(1)证明:点A(a,ma+2)、B(b,mb+2)是反比例函数y=图象上的两个点;ka(ma+2)b(mb+2),整理得,m(ab)(a+b)2(ab),a0,b0,m0ab,a+b=(2)解:A(a,ma+2)、B(b,mb+2),OA2a2+(ma+2)2,OB2b2+(mb+2)2,OA2+OB2a2+(ma+2)2+b2+(mb+2)22a2+2b2,(ma+2)2+(mb+2)2a2+b2,由(1)知a+b=m,代入中得(

9、a+b)24,()24,m1,m0,m1(3)解:A(a,ma+2)、B(b,mb+2),直线AB的解析式为:ymx+2,C(0,2),D(,0),SOCDOCOD2,a+b=SOAB(ab)23,ab,a=,b=A(,4),B(,2)k=(2),km8五、本大题满分25分13.如图,一次函数ykx+6的图象分别交y轴正半轴于点A,x轴正半轴于点B,且AOB的面积是24(1)求k的值;(2)作BAO的平分线交x轴于点P,将PA绕点P顺时针旋转45得到直线PC,线段PB沿着射线PC方向平移,得到线段PB,连结AB,PB,求直线PC的函数关系式;当APB是以AP为直角边的直角三角形时,求点B的坐标

10、解:(1)在ykx+6中,令x0得y6,A(0,6),OA6,AOB的面积是24,6OB24,OB8,B(8,0),把B(8,0)代入ykx+6得:8k+60,解得:k,k的值为;(2)过P作PDAB于D,过A作AEPC于E,过E作EGx轴于G,过A作AFEG于F,如图:AP平分OAB,OAPDAP,AOPADP90,APAP,AOPADP(AAS),OAAD6,OPPD,AB10,BDABAD1064,设P(t,0),则OPPDt,PBOBOP8t,在RtBPD中,t2+42(8t)2,解得t3,P(3,0),APC45,APE是等腰直角三角形,AEPE,AEF90PEGEPG,AFEEGP

11、90,AEFEPG(AAS),AFEG,EFPG,设BFEGm,EFPGn,FGOA,m+n6(),OGPGOP3,mn3(),由()()得m4.5,n1.5,E(4.5,4.5),由P(3,0),E(4.5,4.5)可得直线PE解析式为y3x9,直线PC的函数关系式为y3x9;设P(p,3p9),P(3,0),B(8,0),PB5,线段PB沿着射线PC方向平移,得到线段PB,PBPB5,B(p+5,3p9),A(0,6),AP245,PB2(p+53)2+(3p9)2(p+2)2+(3p9)2,AB2(p+5)2+(3p96)2(p+5)2+(3p15)2,当PB为直角边时,AP2+PB2AB2,45+(p+2)2+(3p9)2(p+5)2+(3p15)2,解得p4,B(9,3);以AB为直角边时,AP2+AB2PB2,45+(p+5)2+(3p15)2(p+2)2+(3p9)2,解得p7,B(12,12);B的坐标为(9,3)或(12,12)

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