1、2023届北京市朝阳区高三二模数学试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，集合，则（A） （B） （C） （D）（2）若复数为纯虚数，则（A） （B） （C） （D） （3）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（A） （B） （C） （D）（4）已知数列的前项和是，则（A） （B） （C） （D）（5）已知，则（A） （B） （C） （D）（6）已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在中，,分别是,的中
2、点，若，则（A）（B） （C）（D） （8）设函数，若对任意的恒成立，则（A） （B） （C） （D）（9）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（A）存在点，使得（B）存在点，使得平面 （C）三棱锥的体积是定值（D）存在点，使得与所成的角为（10）已知函数是上的奇函数，当时，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为 （12）已知的展开式中所有项的二项式系数的和为，则 ，展开式中的系数为 （13）将函数的图象向左平
3、移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数的一个取值为 （14）已知圆，抛物线，则圆心到抛物线的准线的距离为 ；过圆心的直线与圆相交于,两点，与抛物线相交于,两点，若，则 （15）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用斐波那契数列满足，给出下列四个结论： 存在，使得，成等差数列； 存在，使得，成等比数列； 存在常数，使得对任意，都有，成等差数列； 存在正整数，且，使得.其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，（）求的面积；（）求及的值（17）（本小题13分）果酒由水果本
4、身的糖分被酵母菌发酵而成研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）：酵母菌类型该酯类化合物的含量A型X 27472688X X 28172679X26922721B型1151X 1308X 994XXX1002XC型2240XX 23402318X25192162XX根据发酵液中该酯类化合物的含量是否超过某一阈值来评定其品质，其标准如下：酵母菌类型品质高
5、品质普通A型B型C型假设用频率估计概率（）从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；（）设事件为“从样本含A型，B型，C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件发生的概率；（）设事件为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，试比较事件发生的概率与（）中事件发生的概率的大小（结论不要求证明） （18）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且， 是的中点，平面与线段交于点（）证明：为的中点；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值条件：三角形的面积为；条件：三棱锥的体积
6、为注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分（19）（本小题15分）已知点在椭圆上，且的离心率为（）求的方程；（）设为椭圆的右焦点，点是上的任意一点，直线与直线相交于点，求的值（20）（本小题15分）已知函数（）当时，（）求曲线在点处的切线方程；（）证明：；（）若函数的极大值大于，求的取值范围（21）（本小题15分）已知无穷数列满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数（）当时，写出的所有可能值；（）若数列中的项存在最大值，证明：为数列中的项；（）若，是否存在正实数，使得对任意的正整数，都有？如果存在，写出一个满足条件的；如果不存在，说明理由参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共4
7、0分）（1）B（2）C（3）C（4）B （5）D（6）A （7）A（8）D（9）B （10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12） （13） （答案不唯一）（14） （15）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（）因为在中，又， 所以所以 6分（）由余弦定理，得又，所以由正弦定理，得 13分（17）（本小题13分）解：（）设事件为“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”由题可知，未废弃的发酵液共瓶，其中品质高的有瓶，则 4分（）设事件为“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，事件为“从样本含B型酵母菌的未废弃的发
8、酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，事件为“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”由题可知， 则 10分（） 13分（18）（本小题14分）解：（）在矩形中， 又平面，平面， 所以平面又因为平面，且平面平面，所以故又因为是的中点，所以是的中点 5分（）选择条件：三角形的面积为 因为平面，所以又，且，所以平面又平面，所以因此所以，即故.因为平面，所以，又在矩形中，所以两两垂直如图建立空间直角坐标系，则所以平面的一个法向量为设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为 14分选择条件：三棱锥的体积为因为为的中点，所以，即，得下同选择条件（19）（本小题15分）解：（）由题
9、意得解得所以椭圆的方程为 5分（）因为点是椭圆上的任意一点，所以当时，点或当点为时，直线与直线相交于点此时当点为时，直线与直线相交于点此时当时，直线的方程为由得所以点所以所以综上， 15分（20）（本小题15分）解：（）（）当时，所以，则又所以曲线在点处的切线方程为：，即 4分（）设函数，定义域为，当时，所以当时，所以的单调递增区间为，当时，所以的单调递减区间为所以所以故 9分（） 当时，所以，与的极大值大于矛盾，不符合题意 当时，令，得，或（舍）设，则当时，所以的单调递增区间为，当时，所以的单调递减区间为所以为的极大值点，且，此时极大值，因为，所以，所以，符合题意综上，的取值范围为 15分（21）（本小题15分）解：（）的所有可能值为 4分（）因为，所以所以因为无穷数列中的项存在最大值，所以存在使得因为，所以故存在使得所以为数列中的项 9分（）不存在正实数，使得对任意的正整数，都有理由如下因为，所以设集合（1）若，则对任意，取（其中表示不超过的最大整数），则当时， （2）若，且为有限集，设，则对任意，取（其中表示不超过的最大整数），则当时， （3）若，且为无限集，设，若，则，又，矛盾所以记当时，因为，所以当时，因为，所以所以因为，所以所以，且对任意，取（其中表示不超过的最大整数），则当时， 综上，不存在正实数，使得对任意的正整数，都有 15分
