1、2023年江西省抚州市南城县中考一模数学试卷一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 的相反数是（）A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 下面由北京冬奥会比赛项目图标组成四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）A. 代表B. 代表C. 代表D. 代表5. 我国古代数学古典名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条
2、还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（）A. B. C. D. 6. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是（ ）A. 当时，B. I与R的函数关系式是C. 当时，D. 当时，I的取值范围是二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅，这个数用科学记数法表示为_8. 因式分解：_9. 设，是关于x一元二次方程 两个实数根，且，则_10. 如图，一条公路（公路
3、的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为_ 11. 如图，中，D、E分别为的中点，P为上一点，且满足，则_12. 在长为2，宽为x（）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为_三、解答题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算： （2）解不等式组：14. 先化简，再求值：，选择一个你喜欢x值代入求值15. 如图，点A，D，C，F在同一条直线上，ABDE，BCEF有下
4、列三个条件：ACDF，ABCDEF，ACBDFE（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得ABCDEF你选取的条件为（填写序号）_（只需选一个条件，多选不得分），你判定ABCDEF的依据是_（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论ABCDEF求证：ABDE16. 在中，、分别为边、的中点请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）（1）在图1中画一个以点、点为顶点的菱形；（2）在图2中画一个以点、点为顶点的矩形17. 有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为，现将这五个纸箱随机摆放（1）若从这五个纸箱中随
5、机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为的概率是 ；（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的概率四、解答题（共3小题，每题8分，共24分）18. 某校依据教育部印发的大中小学劳动教育指导纲要（试行）指导学生积极参加劳动教育该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对七年级学生一周参加家庭劳动次数情况，开展了一次调查研究，请将下面过程补全A：收集数据兴趣小组计划抽取该校七年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是 A从该校七年级1班中随机抽取20名学生B从该校七年级女生中随机抽取20名学生C从该校七年级学生中随机抽取男，女各10名学
6、生通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动次数，数据如下：3 1 2 2 4 3 3 2 3 4 3 4 0 5 5 2 6 4 6 3B：整理、描述数据整理数据，结果如下：分组频数21062C：分析数据 平均数中位数众数3253根据以上信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）填空： ； （3）该校七年级现有400名学生，请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数；（4）根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论19. 每年11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习如图1，架在消防车
7、上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m（1）若ABD=53，求此时云梯AB的长（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由（参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3）20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点（1）求k与m的值；（2）为x轴上的一动点，当APB的面积为时，求a的值五、解答题（共2小题，每题9分，共18分）21. 如图，内接于，是
8、的直径，是延长线上一点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长22. 【情境呈现】如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中若固定，将绕着点旋转【初步探究】（1）如图2，当绕点旋转，点恰好落在边上若点恰好落在边的中点时，求此时旋转角的度数；若旋转角为，则的度数为_（用含的式子表示）【拓展提升】（2）当绕点旋转到如图3所示的位置时，求证：六、（本小题满分l2分） 23. 如图，抛物线与x轴交于A（2，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DEOA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长
9、度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由2023年江西省抚州市南城县中考一模数学试卷一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 的相反数是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可【详解】解：的相反数是故选：B【点睛】本题考查了相反数的意义，掌握相反数的定义是关键2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项判断即可得【详解】A、与不是同
10、类项，不可合并，此项错误；B、，此项正确；C、，此项错误；D、，此项错误；故选：B【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关键3. 下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【详解】解：A不是轴对称图形，故本选项不合题意；B不是轴对称图形，故本选项不合题意；C不是轴对称图形，故本选项不合题意；D是轴对称图形，故本选项符合题意故选：D【点睛】此题主要考查了轴对
11、称图形，关键是正确确定对称轴位置4. 一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）A. 代表B. 代表C. 代表D. 代表【答案】A【解析】【分析】根据正方体展开图的对面，逐项判断即可【详解】解：由正方体展开图可知，的对面点数是1；的对面点数是2；的对面点数是4；骰子相对两面的点数之和为7，代表，故选：A【点睛】本题考查了正方体展开图，解题关键是明确正方体展开图中相对面间隔一个正方形，判断哪两个面相对5. 我国古代数学古典名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺
12、；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（）A. B. C D. 【答案】A【解析】【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条，据此列出二元一次方程组即可【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：，故选：A【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组6. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现如图所示的是该台灯的电流与电阻的
13、关系图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是（ ）A. 当时，B. I与R的函数关系式是C. 当时，D. 当时，I的取值范围是【答案】D【解析】【分析】设I与R的函数关系式是，利用待定系数法求出，然后求出当时， ，再由，得到随增大而减小，由此对各选项逐一判断即可【详解】解：设I与R的函数关系式是，该图象经过点，I与R的函数关系式是，故B不符合题意；当时， ，随增大而减小，当时，当时，当时，I的取值范围是，故A、C不符合题意，D符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 石墨烯目
14、前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅，这个数用科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可【详解】解：故答案为：【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题的关键是要确定a的值及n的值8. 因式分解：_【答案】【解析】【分析】根据平方差公式进行因式分解即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了因式分解运用公式法，熟悉平方差公式是解题的关键9. 设，是关于x的一元二次方程 两个实数根，且，则_【答案】6【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接列式求解即可得到答案；【详解】解：，解得：，故答案为：6
15、；【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握10. 如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为_ 【答案】【解析】【分析】根据弧长公式进行求解即可【详解】解：由题意得，这段弯路的长度为，故答案为：【点睛】本题主要考查了求弧长，熟知弧长公式是解题的关键11. 如图，中，D、E分别为的中点，P为上一点，且满足，则_【答案】1【解析】【分析】先由勾股定理求出，证明是的中位线，得到，再证明，则，即可求出【详解】解：中，D、E分别为的中点，是的中位线，故答案为：1【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，
16、直角三角形斜边上的中线的性质，求出的长是解题的关键12. 在长为2，宽为x（）矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为_【答案】 或【解析】【分析】分析题意，根据x的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x值即可【详解】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为 和 ， ，又， ， ，则第一次操作后，剩下矩形的宽为，所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为 ，另一边为： ，第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，第二次操作后剩下矩形的长是
17、宽的2倍，分以下两种情况进行讨论：当 ，即时 ，第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，则由题意可知： ，解得： ；当 ，即时，第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，由题意得： ，解得： ， 或者 故答案为： 或 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键三、解答题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算： （2）解不等式组：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂和二次根式的性质进行求解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出两个不等式解集的公共部分即可【详
18、解】解：（1）原式；（2）解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为【点睛】本题主要考查了化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键14. 先化简，再求值：，选择一个你喜欢的x值代入求值【答案】；x取0，原式的值为3（答案不唯一）【解析】【分析】括号外分式的分子分母先分解因式，括号内通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的除法运算，最后代入使分式有意义的值进行计算即可【详解】，当时，原式（x取除了1，3以外的数，答案不唯一）【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键15. 如图，点A，D，C，F在同一条直线上，
19、ABDE，BCEF有下列三个条件：ACDF，ABCDEF，ACBDFE（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得ABCDEF你选取的条件为（填写序号）_（只需选一个条件，多选不得分），你判定ABCDEF的依据是_（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论ABCDEF求证：ABDE【答案】（1），SSS （2）见解析【解析】【分析】(1)根据SSS即可证明ABCDEF，即可解决问题；(2)根据全等三角形的性质可得可得A=EDF，再根据平行线的判定即可解决问题【小问1详解】解：在ABC和DEF中， ABCDEF（SSS），在上述三个条件中选取一个条件，使得ABCD
20、EF，选取的条件为，判定ABCDEF的依据是SSS（注意：只需选一个条件，多选不得分）故答案为：，SSS；【小问2详解】证明：ABCDEFAEDF，ABDE【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键16. 在中，、分别为边、的中点请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）（1）在图1中画一个以点、点为顶点的菱形；（2）在图2中画一个以点、点为顶点的矩形【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AF、CE，根据菱形的判定定理即可得出四边形为菱形；（2）连接AF并延长交DC的延长线于点G，连接AC、BG，根据矩
21、形的判定定理可得四边形为矩形【详解】（1）连接AF、CE， 在中，BC=AD=2AB，AB=CD，B=D=60、分别为边、的中点BC=2CF=2BF，AD=2DE=2AEBF= CF=AB=AE=DE=DCABF和CDE都是等边三角形AF=BF=CF=DE=CE=AE四边形为菱形如图，菱形为所求；（2）连接AF并延长交DC的延长线于点G，连接AC、BG，由（1）可知ABF为等边三角形AFB=60，AF=BF=FCCFG=AFB=60ADBCBCG=D=60CGF=180BCGCFG=60CFG为等边三角形CF=FG=BF=AF四边形为平行四边形，BC=AG四边形为矩形如图，矩形为所求【点睛】此
22、题考查的是菱形的判定和矩形的判定，掌握菱形的判定定理和矩形的判定定理是解决此题的关键17. 有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为，现将这五个纸箱随机摆放（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为的概率是 ；（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求得；（2）首先画出树状图，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于所占的结果数，再根据概率公式计算【小问1详解】解：一共有5个箱子，每个箱子被选取的概率相同
23、，而西瓜重量为的箱子有2个，这五个纸箱中随机选1个，所选纸箱里西瓜的重量为的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的结果有6种，所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的概率为【点睛】本题考查了求概率公式，利用画树状图求概率，熟练掌握和运用求概率的方法是解决本题的关键四、解答题（共3小题，每题8分，共24分）18. 某校依据教育部印发的大中小学劳动教育指导纲要（试行）指导学生积极参加劳动教育该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对七年级学生一周参加家庭劳动次数情况，开展了一次调查研究，请将下面过程补全A：收集数据兴趣小组计划
24、抽取该校七年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是 A从该校七年级1班中随机抽取20名学生B从该校七年级女生中随机抽取20名学生C从该校七年级学生中随机抽取男，女各10名学生通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：3 1 2 2 4 3 3 2 3 4 3 4 0 5 5 2 6 4 6 3B：整理、描述数据整理数据，结果如下：分组频数21062C：分析数据 平均数中位数众数3253根据以上信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）填空： ； （3）该校七年级现有400名学生，请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及
25、以上的学生人数；（4）根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论【答案】C；（1）见解析；（2）3；（3）160人；（4）答案不唯一，见解析【解析】【分析】题干：根据抽样调查要有随机性，代表性进行求解即可；（1）根据频数分布表的数据补全统计图即可；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）用乘以样本中参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数占比即可得到答案；（4）根据调查数据可知七年级学生参加家庭劳动的次数比较少，由此阐述即可【详解】解：题干：兴趣小组计划抽取该校七年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是从该校七年级学生中随机抽取男，女各10名学生，故答案为：C； （1）补全频数
26、分布直方图如下：（2）将被抽取的20名学生每人一周参加家庭劳动的次数从小到大排列，排在最中间的两个数分别为3、3，故中位数，故答案为：3； （3）由题意可知，被抽取的20名学生中达到平均水平及以上的学生人数有8人，（人， 答：估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生有160人；（4）根据以上数据可知，七年级一周参加家庭劳动的次数偏少，故学校应该加强学生的劳动教育【点睛】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，抽样调查的可靠性等等，灵活运用所学知识是解题的关键19. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某
27、消防大队进行了消防演习如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m（1）若ABD=53，求此时云梯AB的长（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由（参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3）【答案】（1）15m （2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析【解析】【分析】（1）在RtABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；（2）根
28、据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在RtABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答【小问1详解】解：在RtABD中，ABD=53，BD=9m，AB=15（m），此时云梯AB的长为15m；【小问2详解】解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：DE=BC=2m，AE=19m，AD=AE-DE=19-2=17（m），在RtABD中，BD=9m，AB= （m），m20m，在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图
29、像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点（1）求k与m的值；（2）为x轴上的一动点，当APB的面积为时，求a的值【答案】（1）k的值为，的值为6 （2）或【解析】【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；（2）先求解由为x轴上的一动点，可得由，建立方程求解即可【小问1详解】解：把代入，得把代入，得把代入，得k的值为，的值为6【小问2详解】当时，为x轴上的一动点，或【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键五、解答题（共2小题，每题9分，共18分）21. 如图，内接于，
30、是的直径，是延长线上一点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长【答案】（1）见解析 （2）4【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90，得出，根据圆周角定理得到，推出，即可得出结论；（2）根据得出，再根据勾股定理得出CE即可【小问1详解】证明：是的直径，又，为的半径，是的切线；【小问2详解】由（1）知，在和中，即，在中，解得【点睛】本题主要考查圆综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键22. 【情境呈现】如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中若固定，将绕着点旋转【初步探究】（1）如图2，当绕点旋转，点恰好落在边上若点恰好落在边的中点时，求此时
31、旋转角的度数；若旋转角为，则的度数为_（用含的式子表示）【拓展提升】（2）当绕点旋转到如图3所示的位置时，求证：【答案】（1）旋转角为； ；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到：，得到为等边三角形，即可得解；利用旋转的性质，得到，利用三角形的内角和定理，求出，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出，即可得解；（2）如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，证明，利用旋转的性质和全等三角形的性质，得到两个三角形等底等高，即可得证【详解】解：（1）由旋转可知：，是的中点， 是等边三角形， ，旋转角为 由旋转可知：，故答案为：；（2）证明：如图
32、，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，由旋转可得：，在和中， ，【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的内角和定理综合性较强，熟练掌握旋转的性质：对应边相等，对应角相等，是解题的关键六、（本小题满分l2分） 23. 如图，抛物线与x轴交于A（2，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DEOA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为
33、顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）D(1，2)；（3）存在，或【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）求点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，设点D的横坐标为m，则点D(，)，则点F（，），则，根据二次函数性质求解即可；（3）点D(，)()，则，以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似，分两种情况：当时两三角形相似；当时两三角形相似，求解即可【详解】解：（1）因为过点A（2，0）、B（-1，0），则，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）对于，令，则，故点C(0，2)，设直线AC的解析式为，由直线过点A、C的坐标得，解得直线AC的表达式为：，设点D的横坐标为m，则点D(，)，则点F（，），则，故DF有最大值，此时，点D(1，2)；（3）存在，理由：点D(，)()，则，以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似，当时两三角形相似，即则解得：或（舍去）经检验，是原分式方程的解，当时两三角形相似，即则解得：或（舍去）经检验，是分式方程的解，故或【点睛】本题考查了二次函数综合问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质并正确计算是解题的关键
