1、2023年山东省济南市莱芜区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 72. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 圆柱3. 年月日，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心发射，月日名航天员进驻中国空间站，会师神舟十四乘组，两个航天员乘组首次实现“太空会师”，神舟十五号飞船远地点高度约，近地点高度约，将数字用科学记数法并保留三位有效数字表示为（）A. B. C. D. 4. 如图，点在上，平分，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 5. 我国新能源汽车发展迅猛，下列
2、新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 6. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）A. B. C. D. 7. 某学校成立了、三个志愿者小组，在“学雷锋活动月”，利用周末时间到“残障儿童服务站”举行献爱心活动，如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（）A. B. C. D. 8. 如果，那么代数式的值是（）A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于，交于，连接为上一动点，过作，垂足为，连接，则的最小值为（ ）A. B. C. D.
3、10. 已知、在抛物线的对称轴的同侧，当时，则的取值范围是（）A B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 因式分解：_12. 如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，则它最终停留在阴影区域的概率是_ 13. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的对角线共有_条14. 代数式的值比代数式的值大，则 _ 15. 已知正方形，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点的对应点为点，若是以为底的等腰三角形，则的度数为_ 16. 对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：比如指数式可以转化为，对数式，可以转化为我们根据对数的定义可得
4、到对数的一个性质：理由如下：设，则，由对数的定义得，又，类似还可以证明对数的另一个性质：请利用以上内容计算 _ 三、解答题（本大题共10小题，共86.0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 计算：18. 解不等式组：，并写出它所有的整数解19. 在中，点在对角线上，且求证：20. 读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：、，整理如下：下面是家庭成年人阅读时间在小时内的数据：
5、，家庭成年人阅读时间统计表：等级阅读时间（小时）频数合计请结合以上信息回答下列问题：（1）统计表中_，_；（2）组数据众数是_，中位数是_；（3）扇形统计图中组对应扇形的圆心角为_度，_；（4）该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率21. 某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为（1）求坡顶到地面的距离；（2）求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）（参考数据：，）22.
6、 如图，在中，以为直径的与相交于点，是的切线，于（1）求证：；（2）若的半径为，求的长23. “五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进，两种纪念品，购进种纪念品件，种纪念品件，共需元；购进种纪念品件，种纪念品件，共需元（1）求购进，两种纪念品每件各需多少元？（2）若购买两种纪念品共件，并且购买种纪念品的数量不大于种纪念品数量的倍种纪念品每件获利元，种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进，两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？24. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过、两点，为直角三角形，轴，轴，（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；（2）点是
7、轴正半轴上的动点，连接、；求的最小值；点是反比例函数的图象上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标25. 如图，是等腰直角三角形，点在的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、（1）判断线段与的数量关系并给出证明；（2）如图，当、三点在同一条直线上时，写出线段、的数量关系为_ ；（3）如图，若，点为线段中点，当、三点在同一条直线上时，连接，求的长度26. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧（1）求，的值；（2）如图，连接、，交点为，连接，若，求点坐标；（3）如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将
8、线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，求的最小值2023年山东省济南市莱芜区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 7【答案】A【解析】【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数【详解】解:，的倒数是故选择A【点睛】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 圆柱【答案】A【解析】【分析】结合长方体的三视图特征判断即可；【详解】解：长方体的三视图都是长方形；三棱柱的三视图中有三角形；圆锥和圆柱的三视图中有圆；该几何体符合长方体的三视图特
9、征，故选： A【点睛】本题考查了三视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常见几何体的三视图特征是解题关键3. 年月日，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心发射，月日名航天员进驻中国空间站，会师神舟十四乘组，两个航天员乘组首次实现“太空会师”，神舟十五号飞船远地点高度约，近地点高度约，将数字用科学记数法并保留三位有效数字表示为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法就是将一个数字表示成的形式，其中，表示整数为整数位数减，即
10、从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以的次幂用科学记数法是正整数表示的数的有效数字应该由首数来确定，首数中的数字就是有效数字【详解】解：故选：C【点睛】本题考查了科学记数法和有效数字，掌握科学记数法和有效数字的概念是解题的关键4. 如图，点在上，平分，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的定义得出的度数，进而利用邻补角得出的度数，利用平行线的性质解答即可【详解】解：平分，故选：【点睛】本题考查的是平行线的性质和角平分线的定义等知识，灵活运用考点知识是解题的关键5. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图
11、形的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意故选：C【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴
12、对称图形6. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据点在数轴上的位置得出，再根据不等式的基本性质和有理数加减法和除法法则，绝对值的意义，逐项进行判断即可【详解】解：根据图示，可得，A，故选项A正确；B， ，故选项B错误；C，故选项C错误；D，故选项D错误故选：【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大7. 某学校成立了、三个志愿者小组，在“学雷锋活动月”，利用周末时间到“残障儿童服务站”举行献爱心活动，如果小明和小刚每人随机选择参
13、加其中一个小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及他们恰好选到同一个小组的结果数，再利用概率公式可得出答案【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中他们恰好选到同一个小组的结果有种，他们恰好选到同一个小组的概率为故选：C【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键8. 如果，那么代数式的值是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简所求的式子，再根据，可以得到，然后代入化简后的式子即可【详解】解： ，原式，故选：【点睛】本题考查了分式的化简
14、求值，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键9. 如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于，交于，连接为上一动点，过作，垂足为，连接，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过点G作于点P，过作于，先求出，再由作图得垂直平分，可得，从而得到平分，再由角平分线的性质定理，可得，再根据两点之间线段最短和垂线段最短确定最小值，最后根据三角函数求解【详解】解：过点G作于点P，过作于， ，由作图得：垂直平分，平分，根据两点之间线段最短和垂线段最短得：，即是的最小值，在中，即的最小值为故选：B【点睛】本题考查了基本作图，解直角三角形，角平分
15、线的性质定理，理解两点之间线段最短和垂线段最短是解题的关键10. 已知、在抛物线的对称轴的同侧，当时，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将抛物线的解析式变形为顶点式，由此可得出抛物线的对称轴为直线，利用二次函数图象上点的坐标特征，结合，可得出，分及两种情况，可求出的取值范围，此题得解【详解】解：，抛物线的对称轴为直线点，在抛物线上，当时，又，；同理：当时，的取值范围是故选：【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及不等式的性质，利用二次函数图象上点的坐标特征及，找出是解题的关键第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 因式分解
16、：_【答案】【解析】【分析】首先提出公因式，然后进一步利用完全平方公式进行因式分解即可【详解】解：原式故答案为： 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键12. 如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，则它最终停留在阴影区域的概率是_ 【答案】#【解析】【分析】根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值【详解】解：总面积为个小正方形的面积，其中阴影部分面积为个小正方形的面积，小球最终停留在阴影区域的概率是故答案为：【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算
17、阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率13. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的对角线共有_条【答案】9【解析】【分析】根据多边形的外角和360外角的度数求出多边形的边数，然后根据多边形的对角线条数公式即可解答【详解】解：多边形的边数：360606，对角线条数：9故答案为：9【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，多边形的对角线的条数等知识点，掌握对角线总条数的计算公式是解答本题的关键14. 代数式的值比代数式的值大，则 _ 【答案】2【解析】【分析】根据题意可得：，然后按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答【详解】解：由题意得：，去分母得：，解得：，检验：当时，是原方
18、程的根，故答案为：【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验15. 已知正方形，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点的对应点为点，若是以为底的等腰三角形，则的度数为_ 【答案】15【解析】【分析】先连接，即可，进而得到，进而得出是等边三角形，结合折叠的性质即可得到的度数【详解】解：如图所示，连接，又，又，又，是等边三角形，又，故答案为：【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论16. 对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：比如指
19、数式可以转化为，对数式，可以转化为我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：理由如下：设，则，由对数的定义得，又，类似还可以证明对数的另一个性质：请利用以上内容计算 _ 【答案】2【解析】【分析】根据所给的运算的法则进行求解即可【详解】解： 故答案为：【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握三、解答题（本大题共10小题，共86.0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 计算：【答案】2【解析】【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可【详解】解： 【点睛】此题主要考查了实数的运算，
20、解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行18. 解不等式组：，并写出它所有的整数解【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解为、【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，即可求出不等式组的整数解【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，则不等式组的解集为，所以不等式组的整数解为、【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键19. 在中，点在对角线上，且求证：【答案】详见解析.【解析】【
21、分析】利用平行四边形的性质得到ABFCDE的条件，进而得到【详解】证明：四边形是平行四边形，在和中【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，难度一般，关键是能够运用其性质解决一些简单的证明问题20. 读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：、，整理如下：下面是家庭成年人阅读时间在小时内的数据：，家庭成年人阅读时间统计表：等级阅读时间（小时）频数合计请结合以上信息回答下
22、列问题：（1）统计表中的_，_；（2）组数据的众数是_，中位数是_；（3）扇形统计图中组对应扇形的圆心角为_度，_；（4）该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率【答案】（1）； （2）； （3）； （4）【解析】【分析】（1）由家庭成年人阅读时间在小时内的数据可得答案；（2）根据众数和中位数的定义可得答案；（3）用乘以等级的人数所占的百分比，即可求出组对应扇形的圆心角的度数；求出等级的人数所占的百分比即可得出答案；（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“男女”的结果数，再利用概率公式可得出答案【小问1详解】解：
23、由家庭成年人阅读时间在小时内的数据可知，故答案为：；【小问2详解】解：小时内的数据中，出现的次数最多，组数据的众数是将小时内的数据按从小到大排列，排在第个的是，组数据的中位数是故答案为：；【小问3详解】解：扇形统计图中组对应扇形的圆心角为，故答案为：；【小问4详解】解：设名男生记为，名女生记为，画树状图如下：共有种等可能的结果，其中恰好选中“男女”的结果有：，共种，恰好选中“男女”的概率为【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、众数、中位数，能够理解频数（率）分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及众数和中位数的定义是解答本题的关键21. 某数学兴趣小组要测量山
24、坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为（1）求坡顶到地面的距离；（2）求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）（参考数据：，）【答案】（1）10米 （2）25米【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）延长交于点，根据题意可得：米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答【小问1详解】解：过点作
25、，垂足为， 斜坡的坡度为：，设米，则米，在中，（米），米，米，米，坡顶到地面的距离为米；【小问2详解】解：延长交于点， 由题意得：米，设米，则米，在中，（米），米，在中，解得：，（米），联通信号发射塔的高度约为米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键22. 如图，在中，以为直径的与相交于点，是的切线，于（1）求证：；（2）若半径为，求的长【答案】（1）见解析 （2）2【解析】【分析】（1）连接、，利用切线性质可得，结合，可得，再运用平行线性质和等腰三角形的判定和性质即可证得结论；（2）连接，由是的直径，可得，利用等
26、腰三角形性质可得，推出，再根据直角三角形性质得出【小问1详解】证明：如图，连接、， 是的切线，；【小问2详解】解：如图，连接， 的半径为，是的直径，由（1）知，【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的边角关系，掌握切线的性质是解决问题的关键23. “五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进，两种纪念品，购进种纪念品件，种纪念品件，共需元；购进种纪念品件，种纪念品件，共需元（1）求购进，两种纪念品每件各需多少元？（2）若购买两种纪念品共件，并且购买种纪念品的数量不大于种纪念品数量的倍种纪念品每件获利元，种纪念品每件获利是进价的八
27、折，请设计一个方案：怎样购进，两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）种纪念品每件需元，种纪念品每件需元 （2）当购进种纪念品件，种纪念品件时，获得的总利润最大，最大总利润为元【解析】【分析】（1）设购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，由题意得：，计算求解即可；（2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意得：，解得：设购进的件纪念品全部售出后获得的总利润为元，则，整理得，然后根据一次函数的图象与性质求解即可【小问1详解】解：设购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，由题意得：，解得：答：购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元；【小问2详解】解：设购进种纪念品件，则购进种纪
28、念品件，根据题意得：，解得：设购进的件纪念品全部售出后获得的总利润为元，则，整理得，随的增大而减小，当时，取得最大值，最大值，当购进种纪念品件，种纪念品件时，获得的总利润最大，最大总利润为元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式24. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过、两点，为直角三角形，轴，轴，（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；（2）点是轴正半轴上的动点，连接、；求的最小值；点是反比例函数的图象上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标【答案】（1），的坐标为 （2）；的坐标为
29、或【解析】【分析】求出，用待定系数法可得反比例函数的表达式为，令得的坐标为；作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，由，可得，即可得到答案；设，分两种情况：当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，由的等腰直角三角形，证明，可得，即可解得；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，解得【小问1详解】解：，将代入得：，解得，反比例函数的表达式为，在中，令得，的坐标为；【小问2详解】作关于轴对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称，当，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，由（1）知，的最小值是；设，当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形，解得，；当为直角顶点时
30、，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，解得或舍去，；综上所述，的坐标为或【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度25. 如图，是等腰直角三角形，点在的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、（1）判断线段与数量关系并给出证明；（2）如图，当、三点在同一条直线上时，写出线段、的数量关系为_ ；（3）如图，若，点为线段中点，当、三点在同一条直线上时，连接，求的长度【答案】（1）相等，见解析 （2） （3）1.6【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出，进而推出，结合等腰直角三角
31、形的性质利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可；（3）连接，根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质推出、四点共圆，、四点共圆，结合三角形内角和定理求出，根据勾股定理求解即可【小问1详解】，理由如下：根据旋转的性质得，在和中，；【小问2详解】在中，故答案为：；【小问3详解】如图，连接， 、是等腰直角三角形，、四点共圆，、四点共圆，点为线段中点，【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理并作出合理
32、的辅助线是解题的关键26. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧（1）求，的值；（2）如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标；（3）如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，求的最小值【答案】（1）， （2） （3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，求得的解析式，设，则，利用相似三角形的判定与性质可得答案；（3）在轴上取一点，使得，连接，由相似三角形的判定与性质可得，可得，即可解答【小问1详解】解：将代入，得，抛物线的解析式为，令，则，令，则，即；【小问2详解】过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于， 设：，将，代入得，：，设，则，将代入，舍，；【小问3详解】在轴上取一点，使得，连接， ，当B、F三点共线时，此时最小=，最小值：【点睛】此题考查的是二次函数的综合题意，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、待定系数法求解析式等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键
