1、2023年山西省大同市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）1在有理数0，2，3，4中，其中最小的是（）A0B2C3D42由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（）A7个B6个C5个D4个3为深入实施全民科学素质行动规划纲要（20222035年），山西省全民科学素质行动规划纲要实施方案（20212025年），某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：决赛成绩/分100959085人数/名1423则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（）A92.5，95B95
2、，95C92.5，93D92.5，1004党的二十大报告中指出：国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位数据114万亿元用科学记数法表示为（）A1141012元B1.141014元C1.141013元D1.141012元5下列运算正确的是（）A6a22a24B（ab2）3a3b5C（ 2ab）24a2b2D（2m3）2（2m）2m46如图，直线ab，将一个含30角的三角尺按如图所示的位置放置，若136，则2的度数为（）A126B136C144D1567在滑轮的牵引下，一个滑块沿坡角为18的斜坡向上移动了1
3、5m，此时滑块上升的高度是（）（单位：m）A15B15sin18C15cos18D15tan188杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”他所著田亩比类乘除算法（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）问阔及长各几步”若设阔为x步，则可列方程（）Ax（x+12）864Bx（x12）864Cx（x+6）864Dx（x6）8649如图是硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度（克）与温度（）之间的对应关系，观察该图可知（）A硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而
4、减小B硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度大于20C当温度为10时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度D当温度为40时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度10如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且ADBO，ABO60，AB8，过点D作DCBE于点C，则阴影部分的面积是（）ABCD二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而增大”；乙：“函数图象经过点（0，5）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是 12如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是（
5、4，2），“帅”的坐标是（0，1）、则“馬”的坐标是 13投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼，由于庭院不够宽阔，不足以张侯置鹄；或者由于宾客众多，不足以备弓比耦；或者有的宾客的确不会射箭，故而以投壶代替弯弓，以乐嘉宾，以习礼仪春节期间，小宇体验传统民俗，投壶5次，每次有八支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：5，2，4，3，6，这组数据的方差是 14如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线AB绕点A逆时针旋转30交x轴于点C则点C的坐标为 15在RtABC中，将ABC沿BC翻折到DBC，BC的垂直平分线与AB相交于点E，则DE的长为 三、解答题（本大题
6、共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（1）计算：；（2）化简：17如图，矩形ABCD中，AE平分BAC，CF平分ACD求证：ABECDF18如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+4的图象与反比例函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B（1）求点A的坐标和反比例函数的表达式；（2）点C是反比例函数图象上一点，且纵坐标是1，连接AC，BC，求ACB的面积19随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图根据
7、所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率20某校服厂承接了2.7万套校服的生产任务，计划安排甲、乙两个组的共50名工人，合作生产20天完成已知甲、乙两个组工人的工作效率为：甲组每人每天生产25件，乙组每人每天生产30件（1）求甲、乙两个组各有多少名工人参与生产；（2）为了提前完成生产任务，该服装厂设计了两种方案：方案一，甲组
8、租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙组维持不变方案二，乙组再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲组维持不变设计的这两种方案，完成该生产任务的时间相同，求乙组需临时招聘的工人数21阅读与思考下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务“三点共线模型”及其应用背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边知识拓展：如图，在同一平面内，已知点A和B为定点，点C为动点，且BC为定长（令BCAB），可得线段AB的长度为定值我们探究AC和两条定长线段AB，BC的数量关系
9、及其最大值和最小值：当动点C不在直线AB上时，如图1，由背景知识，可得结论AB+BCAC，ABBCAC当动点C在直线AB上时，出现图2和图3两种情况在图2中，线段AC取最小值为ABBC；在图3中，线段AC取最大值为AB+BC模型建立：在同一平面内，点A和B为定点，点C为动点，且AB，BC为定长（BCAB），则有结论AB+BCAC，ABBCAC当且仅当点B运动至A，C，B三点共线时等成立我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题任务：（1）上面小论文中的知识拓展部分主要运用的数学思想有 ；（填选项）A方程思想B统计思想C分类讨论D函数思想（2）已知线段AB10cm，
10、点C为任意一点，那么线段AC和BC的长度的和的最小是 cm；（3）已知O的直径为2cm，点A为O上一点，点B为平面内任意一点，且OB1cm，则AB的最大值是 cm；（4）如图4，MON90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在ON边上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变其中AB2，BC1运动过程中，求点D到点O的最大距离22综合与实践：操作发现：如图1在ABC纸片中，BAC45，ADBC于点D第一步：将一张与其全等的纸片，沿AD剪开；第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和ABC拼在一起如图2所示，这两个三角形分别记为ABE和ACF；第三步：分别延长EB和
11、FC相交于点G（1）求证：四边形AEGF是正方形；拓广探索：（2）如图3，连接EF分别交AB、AC于点M，N将AEM绕点A逆时针旋转，使AE与AF重合，得到AFH，试判断线段MN、NF，FH之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BD6，DC4，求MN的长23综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时点D的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以
12、AC为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1在有理数0，2，3，4中，其中最小的是（）A0B2C3D4【分析】在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论解：如图，由图可知，3204故选：C【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键2由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（）A7个B6个C5个D4个【分析】在俯视图中写出小正方体的最少情形时的个数，可得结论解
13、：组成这个几何体的小正方体的个数最少有1+1+1+36（个）故选：B【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型3为深入实施全民科学素质行动规划纲要（20222035年），山西省全民科学素质行动规划纲要实施方案（20212025年），某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：决赛成绩/分100959085人数/名1423则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（）A92.5，95B95，95C92.5，93D92.5，100【分析】根据众数，中位数的定义计算选择即可解：中位数是第5个，第6个数据的平均数即92.5，95
14、出现的次数最多，4次，众数为95故选：A【点评】本题考查了中位数和众数，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据4党的二十大报告中指出：国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位数据114万亿元用科学记数法表示为（）A1141012元B1.141014元C1.141013元D1.141012元【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了
15、多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数解：114万亿1140000000000001.141014故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值5下列运算正确的是（）A6a22a24B（ab2）3a3b5C（ 2ab）24a2b2D（2m3）2（2m）2m4【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法法则分别判断即可解：6a22a24a2，故A不符合题意；（ab2）3a3b6，故B不符合题意；（2ab）24a
16、24ab+b2，故C不符合题意；（2m3）2（2m）2m4，故D符合题意，故选：D【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握这些知识是解题的关键6如图，直线ab，将一个含30角的三角尺按如图所示的位置放置，若136，则2的度数为（）A126B136C144D156【分析】根据平行线的判定与性质求解，解：如图，作ca，三角尺是含30角的三角尺，3+460，ac，1336，4603624，ac，ab，bc，218024156故选：D【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是利用两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等求解7在滑轮的牵引下，
17、一个滑块沿坡角为18的斜坡向上移动了15m，此时滑块上升的高度是（）（单位：m）A15B15sin18C15cos18D15tan18【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin18，进而得出答案解：过点B作BCAC于点C，由题意可得：sin18，则BC15sin18故选：B【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键8杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”他所著田亩比类乘除算法（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）问阔及
18、长各几步”若设阔为x步，则可列方程（）Ax（x+12）864Bx（x12）864Cx（x+6）864Dx（x6）864【分析】根据矩形长与宽之间的关系，可得出长为（x+12）步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解解：宽比长少一十二步，且阔（宽）为x步，长为（x+12）步，又直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），根据题意可列出方程x（x+12）864故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键9如图是硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度（克）与温度（）之间的对应关系，观察该图可知（）A硝酸钾
19、和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而减小B硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度大于20C当温度为10时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度D当温度为40时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度【分析】根据函数图象解答即可解：由图象可知，硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而增大，故选项A不符合题意；硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度小于20，故选项B不符合题意；当温度为10时，硝酸钾的溶解度小于氯化氨的溶解度，故选项C不符合题意；当温度为40时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度，说法正确，故选项D符合题意故选：D【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
20、解答10如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且ADBO，ABO60，AB8，过点D作DCBE于点C，则阴影部分的面积是（）ABCD【分析】连接OA、OD，根据已知条件可得AOD60，OAB是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积求解即可解：如图，连接OA，ABO60，OAOB，AOB是等边三角形，OAOBAB8，ADBO，OADAOB60，OAOD，AOD是等边三角形，AOD60，OAD与ABD与AOB是等底等高的三角形，S阴影S扇形AOB故选：B【点评】本题考查了扇形面积的计算，判断出AOD与ABD与AOB是等底等高的三角形，且AOB是等边三角形，利用扇形的
21、面积公式求解是解题关键二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而增大”；乙：“函数图象经过点（0，5）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是 yx+5（答案不唯一）【分析】根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数为一次函数，再利用一次函数的性质，可得出k0，b5，取k1即可得出结论解：函数值y随自变量x增大而增大，且该函数图象经过点（0，5），该函数为一次函数，设一次函数的表达式为ykx+b（k0），则k0，b5取k1，此时一次函数的表达式为yx+5故答案为：yx+5（答案不唯一）【点评】
22、本题考查了一次函数的性质，牢记“k0，y随x的增大而增大；k0，y随x的增大而减小”是解题的关键12如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是（4，2），“帅”的坐标是（0，1）、则“馬”的坐标是 （2，2）【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案解：如图所示：“馬”的坐标是（2，2）故答案为：（2，2）【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键13投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼，由于庭院不够宽阔，不足以张侯置鹄；或者由于宾客众多，不足以备弓比耦；或者有的宾客的确不会射箭，故而以投壶代替弯弓，以乐嘉
23、宾，以习礼仪春节期间，小宇体验传统民俗，投壶5次，每次有八支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：5，2，4，3，6，这组数据的方差是 2【分析】先计算平均数，然后根据方差的公式计算即可解：平均数为4，这组数据的方差为：（54）2+（24）2+（44）2+（34）2+（64）22故答案为：2【点评】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好14如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线AB绕点A逆时针旋转30交x轴于点C则点C的坐标为 （3，0）【分析】根据一次函数表达式求出点A和点
24、B坐标，可求出OAB30，根据旋转之后又可得出ACO30，然后根据特殊三角函数值即可求出解：一次次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，令x0，则y3，令y0，则x，A（0，3），B（，0），OA3，OB，tanOAB，OAB30，将AB逆时针旋转30后，则OAB60，ACO30，tanACO，OC3，C（3，0）【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题关键是求出A，B两点坐标，得出OAB3015在RtABC中，将ABC沿BC翻折到DBC，BC的垂直平分线与AB相交于点E，则DE的长为 【分析】设BC的垂直平分线与BD交于点F，连接CE、CF，由垂直平分线的性质得CEBE，CFBF，设
25、CEBEx，则AEABBE4x，在RtCAE中，由勾股定理列出方程求得CEBE3，由折叠的性质可得ACCD，ACBBCD，ABCDBC，以此进而得到FCBABCBCE，则ACEDCF，由内错角相等，两直线平行得CFAB，因此ECDACF90，最后根据勾股定理即可求解解：设BC的垂直平分线与BD交于点F，连接CE、CF，EF垂直平分BC，CEBE，设CEBEx，则AEABBE4x，在RtCAE中，由勾股定理得AC2+AE2CE2，即，解得：x3，CEBE3，由折叠可知，ACCD，ACBBCD，ABCDBC，EF垂直平分BC，CFBF，FCBFBC，FCBABCBCE，CFAB，ACEDCF，AC
26、F180A90，ECDBCE+FCB+DCFBCE+FCB+ACEACF90，在RtECD中，由勾股定理得故答案为：【点评】本题主要考查折叠的性质、垂直平分线的性质、平行线的判定与性质、勾股定理，根据题意，正确作出辅助线，构造合适的直角三角形解决问题是解题关键三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（1）计算：；（2）化简：【分析】（1）先算负整数指数幂和括号内的式子，然后计算括号外的乘除法，再算加减法即可；（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可解：（1）133（）49+7；（2）【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则
27、是解答本题的关键17如图，矩形ABCD中，AE平分BAC，CF平分ACD求证：ABECDF【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定和性质得BAEDCF，再根据“SAS“证明即可【解答】证明：矩形ABCD中，ABCD，ABCD，BD90，BACDCA，AE平分BAC，EACBAC，CF平分ACD，ACFACD，BAEDCF，在ABE和CDF中，ABECDF（ASA）【点评】本题主要考查了矩形的性质及全等三角形的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键18如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+4的图象与反比例函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B（1）求点A的坐标和反比例函数的表达式；（2）点
28、C是反比例函数图象上一点，且纵坐标是1，连接AC，BC，求ACB的面积【分析】（1）由一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）作BDx轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，利用函数解析式求得B、D的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得解：（1）一次函数yx+4的图象过点A（1，m），m1+45，A（1，5），点A在反比例函数y（x0）的图象上，k155，反比例函数的解析式为y；（2）点C是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，C（5，1），作BDx轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，代入yx+4得，1x+4，解得x3，D（3，1），CD3+58，
29、SABC5820【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，本题具有一定的代表性，是一道不错的题目，数形结合思想的运用19随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图根据所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了 200人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为 90；（2）将条形统计图补充完整；（3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想
30、从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率【分析】（1）用支付宝、微信和其它支付的人数除以它们所占的百分比的和得到调查的总人数，然后用360乘以喜欢用微信的人数的百分比得到“微信”支付的扇形圆心角的度数；（2）先计算出用公交卡和现金支付的人数，然后补全条形统计图；（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一种支付方式的结果数，然后根据概率公式求解解：（1）（45+50+15）（130%15%）200（人），所以这次活动共调查了200人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度
31、数36090；故答案为：200，90；（2）用公交卡支付的人数为20030%60（人），用现金支付的人数为20015%30（人），条形统计图补充为：（3）小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果，所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率20某校服厂承接了2.7万套校服的生产任务，
32、计划安排甲、乙两个组的共50名工人，合作生产20天完成已知甲、乙两个组工人的工作效率为：甲组每人每天生产25件，乙组每人每天生产30件（1）求甲、乙两个组各有多少名工人参与生产；（2）为了提前完成生产任务，该服装厂设计了两种方案：方案一，甲组租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙组维持不变方案二，乙组再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲组维持不变设计的这两种方案，完成该生产任务的时间相同，求乙组需临时招聘的工人数【分析】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意得关于x和y的方程组，求解即可（2）设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意，以企业完
33、成生产任务的时间为等量关系，列出关于m的分式方程，求解并检验即可解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，根据题意得，解得答：甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产；（2）设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据题意得，解得m5经检验，m5是原方程的解，且符合题意答：乙车间需临时招聘5名工人【点评】本题考查了二元一次方程组和分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键21阅读与思考下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务“三点共线模型”及其应用背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短根据这个事实，我们证明了：三角形
34、两边的和大于第三边根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边知识拓展：如图，在同一平面内，已知点A和B为定点，点C为动点，且BC为定长（令BCAB），可得线段AB的长度为定值我们探究AC和两条定长线段AB，BC的数量关系及其最大值和最小值：当动点C不在直线AB上时，如图1，由背景知识，可得结论AB+BCAC，ABBCAC当动点C在直线AB上时，出现图2和图3两种情况在图2中，线段AC取最小值为ABBC；在图3中，线段AC取最大值为AB+BC模型建立：在同一平面内，点A和B为定点，点C为动点，且AB，BC为定长（BCAB），则有结论AB+BCAC，ABBCAC当且仅当点B运动至A，C，B三
35、点共线时等成立我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题任务：（1）上面小论文中的知识拓展部分主要运用的数学思想有 C；（填选项）A方程思想B统计思想C分类讨论D函数思想（2）已知线段AB10cm，点C为任意一点，那么线段AC和BC的长度的和的最小是 10cm；（3）已知O的直径为2cm，点A为O上一点，点B为平面内任意一点，且OB1cm，则AB的最大值是 2cm；（4）如图4，MON90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在ON边上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变其中AB2，BC1运动过程中，求点D到点O的最大距离【分析】（
36、1）根据上面小论文中的分析过程，体现了分类讨论思想；（2）根据两点之间线段最短可得出答案；（3）由点和圆的位置关系可知点B在圆上，由直径的定义可得出答案；（4）取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OEAB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大解：（1）上面小论文中的知识拓展部分主要运用的数学思想有分类讨论思想，故答案为：C；（2）如图所示：线段AC与BC的和最小是10cm故答案为：10；（3）O的直径为2cm，OB1cm，点B在圆上，点A为O上一点，AB直径时，AB有最大值，即AB2cm，故答案为：2；
37、（4）如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，MON90，AB2，OEAEAB1，BC1，四边形ABCD是矩形，ADBC1，DE，根据三角形的三边关系，ODOE+DE，当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为+1【点评】本题考查了三角形三边关系，点和圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键22综合与实践：操作发现：如图1在ABC纸片中，BAC45，ADBC于点D第一步：将一张与其全等的纸片，沿AD剪开；第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和ABC拼在一起如图2所示，这两个三角形分别记为ABE和ACF；第三步：分别延长EB和FC相交于点G（
38、1）求证：四边形AEGF是正方形；拓广探索：（2）如图3，连接EF分别交AB、AC于点M，N将AEM绕点A逆时针旋转，使AE与AF重合，得到AFH，试判断线段MN、NF，FH之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BD6，DC4，求MN的长【分析】（1）根据翻折的性质和正方形的判定解答即可；（2）根据旋转的性质和正方形的性质以及全等三角形的判定和性质解答即可；（3）过点M作MM1AE，作MM2EB，根据正方形的性质和勾股定理得出方程解答即可【解答】（1）证明：AEB由ADB翻折得到，AFC由ADC翻折得到，ADAE，AEBADB90，EABDAB，AFAD，AFCADC90，DA
39、CFAC，AEAFAD，AEBAFC90，EAF2（BAD+CAD）2BAC90，四边形AEGF为矩形，AEAF，矩形AEGF为正方形；（2）解：AFH由AEM旋转得到，AFHAEM，AMAH，EAMFAH，EMFH，由（1）可知，四边形ABCD是正方形，AEMAFE45，HFNHFA+AFEAEM+AFE45+4590，HANHAF+CAFEAM+CAFMAN45，在MAN与HAN中，MANHAN（SAS），MNNH，在RtNFH中，NH2NF2+FH2，MN2NF2+FH2；（3）解：由翻折可知，BMBD6，CFDC4，设ADx，则AEEGGFx，BGx6，CGx4，在RtBGC中，BG2
40、+GC2BC2，（x6）2+（x4）2（6+4）2，解得：x112，x22（不符合题意，舍去），正方形AEGF的边长为12，EF12，过点M作MM1AE，作MM2EB，如图3：AEMBEM45，MM1MM2，四边形MM1EM2为正方形，设MM1MM2a，则AM1MAEB，即，解得：a4，EM，设MNx，则NHx，则NFEFEMMN，由（2）可知，FHEM4，且MN2NF2+FH2，解得：x5，MN5【点评】此题是四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，关键是根据正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答23综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B
41、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时点D的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）在中，分别令x0，y0可解得A的坐标为（3，0），B的坐标为（1，0），C的坐标为（0，4）；（2）连接OD，设D（m，m2+m4），可得SAOD3（m2m+4）2m2+4m+6，SCOD4（m）2m，SBOC412，故S2m2+2m+82（m+）2+，由二次函数性质可得答案；（3）由yx2+x4可得抛物线对称轴为直线x1，设P（1，t），Q（p，q），以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，则AC的中点与PQ的中点重合，且APCP，故，即可解得答案解：（1）在中，令x0得y4，C（0，4），在中，令y0得x1或x3，A（3，0），B（1，0），A的坐标为（3，0），B的坐标为（1，0），C的坐标为（0，4）；（2）连接OD，如图：设D（m，m2+m4），SAOD3（m2m+4）2m2+4m+6，SCOD4（m）2m，SBOC412，S2m2+4m+62m+2
