1、2023年山东省济南市槐荫区中考一模数学试卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.)16的平方根是()A6B6CD2从正面看如图所示的正三棱柱得到的形状图为()ABCD3“白日不到处,青春恰自来苔花如米小,也学牡丹开”这是清朝袁枚的一首诗苔若苔花的花粉直径约为0.0000084m,用科学记数法表示0.00000848.410n,则n为()A5B6C5D64如图,PNOB于点N,且PMOB,OPM30,则OPN的度数为()A70B60C50D455下列几种著名的数学曲线中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A笛卡尔爱心曲线B蝴蝶曲线C费马螺线曲线D科赫曲线6化简的结果是()A
2、Ba3Ca+3D7“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶,被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票,他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同),让小乐从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一张,则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是()ABCD8一辆经营长途运输的货车在高速公路某加油站加满油后匀速行驶,下表记录了该货车加满油之后油箱内剩余油量y(升)与行驶时间x(小时)之间的相关对应数据,则y与x满足的函数关系是()行驶时间x(小时)0122.5剩余油量y(升)100806
3、050A正比例函数关系B一次函数关系C反比例函数关系D二次函数关系9如图,两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上,扇形CFD的圆心C是弧AB的中点,且扇形CFD绕着点C旋转,半径AE、CF交于点G,半径BE、CD交于点H,则图中阴影面积等于()ABC1D210在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2,按如图的方式放置点A1、A2、A3An在直线yx1,点C1、C2、C3n在x轴上抛物线L1过点A1、B1,且顶点在直线yx1上,抛物线L2过点A2、B2,且顶点在直线yx1上,按此规律,抛物线Ln过点An、Bn,且顶点也在直线yx1上抛物线Ln的顶点
4、坐标为()A(32n11,32n1)B(32n11,32n2)C(32n21,32n1)D(32n21,32n2)二、填空题(本大题共6个小题.每小题4分,共24分.把答案填在答题卡的横线上.)11分解因式:x21 12如图,一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形,任意旋转这个转盘1次,则当转盘停止转动时,指针指向阴影部分的概率是 13分式方程的解是 14如图,在平面直角坐标系中,ABC与ABC关于点P成位似图形,则该位似中心点P的坐标是 15若菱形的两条对角线长是方程x27x+120的两个根,则该菱形的周长等于 三、解答题(本大题共10个小题,共86分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
5、)17(6分)计算:18(6分)解不等式组:19(6分)已知:如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,并且AECF求证:BEDF20(8分)为培养学生的阅读习惯,某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动为了有效了解学生课外阅读情况,现随机调查了部分学生每周课外阅读的总时间t(单位:小时),将它分为A、B、C、D四个等级,并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图(图1,图2)等级时间/小时A0t2B2t4C4t6D6t8请你根据以上统计图表提供的信息,解决下列问题:(1)本次共调查了 名学生,请补全条形统计图;(2)在扇形统计图中,等级D所对应的扇形的圆心角
6、为 度;(3)若该校有2000名学生,则每周课外阅读总时间不少于4小时的学生大约有多少名?21(8分)圭表(如图1)是我国古代度量日影长度的天文仪器,它包括一根直立的杆(称为“表”)和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺(称为“圭”)当正午的阳光照射在“表”上时,“表”的影子便会投射在“圭”上我国古代历法将一年中白昼最短的那一天(当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长)定为冬至;白昼最长的那一天(当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短)定为夏至某地发现一个圭表遗迹(如图2),但由于“表”已损坏,仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离(即AB的长)为11.3米现已知该地冬至正午
7、太阳高度角(即CBD)为3534,夏至正午太阳高度角(即CAD)为8226,请通过计算推测损坏的“表”原来的高度(即CD的长)约为多少米?(参考数据:sin35340.58;cos35340.81;tan35340.72;sin82260.99;cos82260.13;tan82267.5)22(8分)如图,点E是O中弦AB的中点,过点E作O的直径CD,点P是O上一点,过点P作O的切线,与AB的延长线交于点F,与CD的延长线交于点G,连接CP与AB交于点M(1)求证:FMFP;(2)若cosF,O半径长为3,求DG长23(10分)某班学生计划在社区内开展图书义卖活动,并将所得善款捐给希望工程,
8、拟购进A、B两种畅销书,经调查,购进4本A种图书所需费用与购进5本B种图书所需费用相同,若购进100本A种图书与200本B种图书共需费用6500元(1)求A、B两种图书的进价分别是多少元?(2)若义卖活动中,A种图书的定价为30元/本,B种图书的定价为28元/本,本班研究决定需要采购两种图书共500本,且A种图书的数量不低于B种图书数量的2倍,为能获得最大利润,请问本班需要采购A、B两种图书各多少本?24(10分)如图1,一次函数yx+1的图象与反比例函数y(x0)的图象交于点A(a,3),与y轴交于点B(1)求a,k的值;(2)直线CD过点A,与反比例函数图象交于点C,与x轴交于点D,与y轴
9、交于点E,ACAD,连接CB求ABC的面积;(3)如图2,以线段AB为对角线作正方形AFBG,H是线段BF(不与点B、F重合)上的一动点,M是HG的中点,MNGH交AB于点N,当点H在BF上运动时,请直接写出线段MN长度的取值范围25(12分)小辰有如图1所示,含30,60角的三角板各两个,其中大小三角板的最短边分别为12cm和6cm,现小辰将同样大小的两个三角板等长的两边重合,进行如下组合和旋转操作(1)当小辰把四个三角板如图2拼接组合,ADE绕A点逆时针旋转,连接BD、CE在旋转过程中,线段BD、CE的数量关系是 ,这两条线段的夹角中,锐角的度数是 度;(2)当小辰把四个三角板如图3拼接组
10、合,ADE绕A点逆时针旋转,连接BD、CE在旋转过程中,线段BD、CE的数量关系是 ,请说明理由;(3)当小辰把四个三角板如图4拼接组合,ADE绕A点逆时针旋转,连接CD,取CD中点N,连结GN、FN,求GN+FN的最小值26(12分)抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(1,0),与y轴交于点C(1)求抛物线解析式;(2)如图,连接AC,点P在线段AC上,作直线PQx轴,与抛物线交于点Q以线段PQ为边构造矩形PQMN,边MN在y轴上当矩形PQMN周长最大时,求点P坐标在的条件下,点T在第四象限内,作射线AT,当TAQ3PAN时,求tanTAO的值参考答案一、选择题(本大题共10
11、个小题,每小题4分,共40分.)16的平方根是()A6B6CD【解答】解:6的平方根为故选:D2从正面看如图所示的正三棱柱得到的形状图为()ABCD【解答】解:从正面看有1个长方形,中间有1条棱,即这个几何体的主视图为:故选:C3“白日不到处,青春恰自来苔花如米小,也学牡丹开”这是清朝袁枚的一首诗苔若苔花的花粉直径约为0.0000084m,用科学记数法表示0.00000848.410n,则n为()A5B6C5D6【解答】解:0.00000848.4106,则n为6故选:B4如图,PNOB于点N,且PMOB,OPM30,则OPN的度数为()A70B60C50D45【解答】解:PMOB,OPM30
12、,BOCOPM30,PNOB于点N,ONP90,OPN+BOC90,OPN60故选:B5下列几种著名的数学曲线中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A笛卡尔爱心曲线B蝴蝶曲线C费马螺线曲线D科赫曲线【解答】解:A是轴对称图形,不是中心对称的图形,故本选项不符合题意;B是轴对称图形,不是中心对称的图形,故本选项不符合题;C不是轴对称图形,是中心对称的图形,故本选项不符合题意;D既是轴对称图形,又是中心对称的图形,故本选项符合题意意故选:D6化简的结果是()ABa3Ca+3D【解答】解:,故选:A7“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶,被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四
13、节气”主题邮票,他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同),让小乐从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一张,则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是()ABCD【解答】解:设立春用A表示,立夏用B表示,秋分用C表示,大寒用D表示,树状图如下,由上可得,一共有12种可能性,其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种,小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是,故选:C8一辆经营长途运输的货车在高速公路某加油站加满油后匀速行驶,下表记录了该货车加满油之后油箱内剩余油量y(升)与行驶时
14、间x(小时)之间的相关对应数据,则y与x满足的函数关系是()行驶时间x(小时)0122.5剩余油量y(升)100806050A正比例函数关系B一次函数关系C反比例函数关系D二次函数关系【解答】解:从表格可看出,货车每行驶一小时,耗油量为20升,即余油量y与行驶时间x成一次函数关系故选:B9如图,两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上,扇形CFD的圆心C是弧AB的中点,且扇形CFD绕着点C旋转,半径AE、CF交于点G,半径BE、CD交于点H,则图中阴影面积等于()ABC1D2【解答】解:两扇形的面积和为:,过点C作CMAE,作CNBE,垂足分别为M、N,则四边形EMCN是矩形,点C是
15、弧AB的中点,EC平分AEB,CMCN,矩形EMCN是正方形,MCG+FCN90,NCH+FCN90,MCGNCH,在CMG与CNH中,CMGCNH(ASA),中间空白区域面积相当于对角线是1的正方形面积,空白区域的面积为:11,图中阴影部分的面积两个扇形面积和2个空白区域面积的和1故选:C10在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2,按如图的方式放置点A1、A2、A3An在直线yx1,点C1、C2、C3n在x轴上抛物线L1过点A1、B1,且顶点在直线yx1上,抛物线L2过点A2、B2,且顶点在直线yx1上,按此规律,抛物线Ln过点An、Bn,且顶点也在直线
16、yx1上抛物线Ln的顶点坐标为()A(32n11,32n1)B(32n11,32n2)C(32n21,32n1)D(32n21,32n2)【解答】解:对于直线yx1,设x0,可得y1,A1(0,1),四边形A1B1C1O是正方形,C1(1,0),又点A2在直线yx1上,A2(1,2),又B2(3,2),抛物线L2的对称轴为直线x2,抛物线L2的顶点为(2,3),设抛物线L2的解析式为:ya(x2)23,L2过点B2(3,2),2a(32)23,解得a1,抛物线L2的解析式为y(x2)23;将x3代入yx1中,y4,A3(3,4),四边形A3B3C3C2是正方形,A3B34,B3(7,4),抛物
17、线L3的对称轴为直线x5,把x5代入yx1,得y6,抛物线L3的顶点为(5,6),设抛物线L3的解析式为ya(x5)26,将点B3(7,4)代入,可得a,抛物线L3的解析式为y(x5)26;抛物线L1的顶点为(,),抛物线L2的顶点为(2,3),抛物线L3的顶点为(5,6),抛物线Ln的顶点坐标为(32n21,32n2)故选:D二、填空题(本大题共6个小题.每小题4分,共24分.把答案填在答题卡的横线上.)11分解因式:x21(x+1)(x1)【解答】解:x21(x+1)(x1)故答案为:(x+1)(x1)12如图,一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形,任意旋转这个转盘1次,则当转盘停止转动时
18、,指针指向阴影部分的概率是 【解答】解:当转盘停止转动时,指针指向阴影部分的概率是故答案为:13分式方程的解是 x【解答】解:去分母得:5x4(x3),解得:x,检验:把x代入得:x30,分式方程的解为x故答案为:x14如图,在平面直角坐标系中,ABC与ABC关于点P成位似图形,则该位似中心点P的坐标是 (12,0)【解答】解:如图所示:位似中心点P的坐标是(12,0)故答案为:(12,0)15若菱形的两条对角线长是方程x27x+120的两个根,则该菱形的周长等于10【解答】解:x27x+120(x3)(x4)0x3或x4,菱形的两条对角线长是方程x27x+120的两个根,菱形的两条对角线长为
19、3,4,菱形的边长为:2.5,菱形的周长为:42.510,故答案为:10三、解答题(本大题共10个小题,共86分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17(6分)计算:【解答】解:原式2+1+27+(3)3+27+(3)3032718(6分)解不等式组:【解答】解:,由得,x0,由得,x1,所以,不等式组的解集是x119(6分)已知:如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,并且AECF求证:BEDF【解答】证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ABCDBAEDCF在ABE和CDF中,ABECDF(SAS),BEDF20(8分)为培养学生的阅读习惯,某中学利用学生课
20、外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动为了有效了解学生课外阅读情况,现随机调查了部分学生每周课外阅读的总时间t(单位:小时),将它分为A、B、C、D四个等级,并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图(图1,图2)等级时间/小时A0t2B2t4C4t6D6t8请你根据以上统计图表提供的信息,解决下列问题:(1)本次共调查了 50名学生,请补全条形统计图;(2)在扇形统计图中,等级D所对应的扇形的圆心角为 108度;(3)若该校有2000名学生,则每周课外阅读总时间不少于4小时的学生大约有多少名?【解答】解:(1)本次共调查学生1326%50(名),C等级人数为50(4+13+15)18(名
21、),补全统计图如下:故答案为:50(2)360108故答案为:108(3)20001320(名)答:每周课外阅读总时间不少于4小时的学生大约有1320名21(8分)圭表(如图1)是我国古代度量日影长度的天文仪器,它包括一根直立的杆(称为“表”)和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺(称为“圭”)当正午的阳光照射在“表”上时,“表”的影子便会投射在“圭”上我国古代历法将一年中白昼最短的那一天(当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长)定为冬至;白昼最长的那一天(当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短)定为夏至某地发现一个圭表遗迹(如图2),但由于“表”已损坏,仅能测得“圭”上记录的夏至
22、线与冬至线间的距离(即AB的长)为11.3米现已知该地冬至正午太阳高度角(即CBD)为3534,夏至正午太阳高度角(即CAD)为8226,请通过计算推测损坏的“表”原来的高度(即CD的长)约为多少米?(参考数据:sin35340.58;cos35340.81;tan35340.72;sin82260.99;cos82260.13;tan82267.5)【解答】解:设ADx米,AB11.3米,BDAD+AB(x+11.3)米,在RtADC中,CAD8226,CDADtan82267.5x(米),在RtCDB中,CBD3534,tan35340.72,解得:x1.2,经检验:x1.2是原方程的根,
23、CD7.5x9(米),损坏的“表”原来的高度约为9米22(8分)如图,点E是O中弦AB的中点,过点E作O的直径CD,点P是O上一点,过点P作O的切线,与AB的延长线交于点F,与CD的延长线交于点G,连接CP与AB交于点M(1)求证:FMFP;(2)若cosF,O半径长为3,求DG长【解答】(1)证明:连接OP,OB,OA,OAOB,E是AB中点,OEAB,FG与圆相切于P,半径POFG,OCOP,COPC,EMC+CFPM+OPC90,FPMEMC,FMPEMC,FMPFPM,FMFP;(2)解:cosF,F60,OEB90,G90F30,OPG90,OPOG,O半径长为3,OG236,DGO
24、GOD63323(10分)某班学生计划在社区内开展图书义卖活动,并将所得善款捐给希望工程,拟购进A、B两种畅销书,经调查,购进4本A种图书所需费用与购进5本B种图书所需费用相同,若购进100本A种图书与200本B种图书共需费用6500元(1)求A、B两种图书的进价分别是多少元?(2)若义卖活动中,A种图书的定价为30元/本,B种图书的定价为28元/本,本班研究决定需要采购两种图书共500本,且A种图书的数量不低于B种图书数量的2倍,为能获得最大利润,请问本班需要采购A、B两种图书各多少本?【解答】解:(1)设A种图书的进价是x元,B种图书的进价是y元,根据题意得:,解得:答:A种图书的进价是2
25、5元,B种图书的进价是20元;(2)设本班采购了m本A种图书,则采购了(500m)本B种图书,根据题意得:m2(500m),解得:m设购进的两种图书全部售出后获得的总利润为w元,则w(3025)m+(2820)(500m)3m+4000,30,w随m的增大而减小,又m,且m为正整数,当m334时,w取得最大值,此时500m500334166答:本班需要采购334本A种图书,166本B种图书24(10分)如图1,一次函数yx+1的图象与反比例函数y(x0)的图象交于点A(a,3),与y轴交于点B(1)求a,k的值;(2)直线CD过点A,与反比例函数图象交于点C,与x轴交于点D,与y轴交于点E,A
26、CAD,连接CB求ABC的面积;(3)如图2,以线段AB为对角线作正方形AFBG,H是线段BF(不与点B、F重合)上的一动点,M是HG的中点,MNGH交AB于点N,当点H在BF上运动时,请直接写出线段MN长度的取值范围【解答】解:(1)将A(a,3)代入,a+13,解得a4,A(4,3),将A(4,3)代入,k12; (2)过点C作CGx轴交于点G,连接BD,ACAD,A点是CD的中点,A(4,3),D点在x轴上,C点的纵坐标是6,C点在反比例函数y上,C(2,6),D(6,0),直线yx+1与y轴的交点为B(0,1),SBCDS梯形BOGC+SDCGSBOD(1+6)2+466116,SAB
27、CSBCD8;(3)过点A作ALx轴交于点L,连接NF,NG,NE,四边形AEBF是正方形,AEBE,AEB90,AEL+BEO90,AEL+EAL90,BEOEAL,BEOEAL(AAS),ALBE,BOEL,OB1,AL3,E(3,0),AFAE,FANNAE45,ANAN,AFNAEN(SAS),FNNE,M是GE的中点,MNGE,GNNE,FNGN,FGN45+BNG,FNG902BNG,FNB90BNG,FNBENB,GNEBNG+90BNG90,GNE是等腰直角三角形,MNGE,过点F作FKy轴交于点F,同理可证BKFEOB(SAS),BK3,KF1,F(1,4),BE,EF2,M
28、N25(12分)小辰有如图1所示,含30,60角的三角板各两个,其中大小三角板的最短边分别为12cm和6cm,现小辰将同样大小的两个三角板等长的两边重合,进行如下组合和旋转操作(1)当小辰把四个三角板如图2拼接组合,ADE绕A点逆时针旋转,连接BD、CE在旋转过程中,线段BD、CE的数量关系是 CEBD,这两条线段的夹角中,锐角的度数是 60度;(2)当小辰把四个三角板如图3拼接组合,ADE绕A点逆时针旋转,连接BD、CE在旋转过程中,线段BD、CE的数量关系是 BDAC,请说明理由;(3)当小辰把四个三角板如图4拼接组合,ADE绕A点逆时针旋转,连接CD,取CD中点N,连结GN、FN,求GN
29、+FN的最小值【解答】解:(1)如图2中,设BD交AC于点O,EC交AD于点J由题意ADE,ABC都是等边三角形,AEAD,ACAB,EADCAB60,EACDAB,EACDAB(SAS),ECBD,AECADB,AJEDJO,DOJEAJ60故答案为:ECBD,60;(2)如图3中,由题意,AEED,CACB,AEDACB120,EADCAB30,ACAE,ABAC,EACDAB,EACDAB,BDEC故答案为:BDEC;(3)如图4中,连接BD,ECDAEBAC120,DABEAC,ADAE,ABAC,DABEAC(SAS),BDCE,DGEG,DNCN,GNEC,CNND,CFFB,FN
30、BD,GN+FN(EC+BD)EC,AE2AG12,AC2AF24,ECACAE12,GN+FN12,GN+FN的最小值为1226(12分)抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(1,0),与y轴交于点C(1)求抛物线解析式;(2)如图,连接AC,点P在线段AC上,作直线PQx轴,与抛物线交于点Q以线段PQ为边构造矩形PQMN,边MN在y轴上当矩形PQMN周长最大时,求点P坐标在的条件下,点T在第四象限内,作射线AT,当TAQ3PAN时,求tanTAO的值【解答】解:(1)由题意得,抛物线的表达式为:y(x3)(x+1)(x22x3)x2+2x+3;(2)由点A、C的坐标得,直线A
31、C的表达式为:yx+3,设点P(x,x+3),则点Q(x,x2+2x+3),则PQ(x2+2x+3)(x+3)x2+3x,则矩形PQMN的周长2(PQ+PN)2(x2+3x+x)2(x24x),20,故矩形PQMN的周长有最大值,此时x2,即点P(2,1);由知,点P的坐标为(2,1),则NP2,当x2时,PQx2+3x2,故PQPQ2PN,故矩形PQMN为正方形,如下图,连接AQ、AN、NQ,设CP交AQ于点M,由正方形轴对称性知,AQAN,QACNAC,TAQ3PAN,TANPAN,设AT交y轴与点H,即HANPAN,在等腰RtMNP中,PN2,则MNMP,由点P、A的坐标得,PA,则tanPANtanNAH,过点H作HKAN于点K,在RtONA中,tanONA,设HK3t,则NKt,在RtAHK中,tanNAH,HK3t,则AK6t,则ANNK+AKt+6t,则t,则HNt,则OHHNON1,则tanTAO