浙江省湖州、衢州、丽水三地市2023届高三4月教学质量检测(二模)数学试卷(含答案)

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资源描述

1、湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.若集合,则( )A.B.C.D.2.已知(其中i为虚数单位),若是的共轭复数,则( )A.B.1C.D.i3.设是平行四边形的对角线的交点,则( )A.B.C.D.4.甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯,假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是( )A.B.C.D.5.已知函数,若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.6.喜来登月亮酒店

2、是浙江省湖州市地标性建筑,某学生为测量其高度,在远处选取了与该建筑物的底端在同一水平面内的两个测量基点与,现测得,米,在点处测得酒店顶端的仰角,则酒店的高度约是( )(参考数据:,)A.91米B.101米C.111米D.121米7.已知是圆上一点,是圆的直径,弦的中点为.若点在第一象限,直线、的斜率之和为0,则直线的斜率是( )A.B.C.D.8.人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”,经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线,则该双曲线的离心率是( )A.B.C.D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共

3、20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知,为两个平面,为两条直线,平面,平面,则下列命题正确的是( )A.若,则B.若,为异面直线,则与相交C.若与相交,则,相交D.若,则10.若实数,满足且,则( )A.的最小值是B.的最大值是99C.的最小值是D.的最大值是20011.已知正方形中,是平面外一点.设直线与平面所成角为,设三棱锥的体积为,则下列命题正确的是( )A.若,则的最大值是B.若,则的最大值是C.若,则的最大值是D.若,则的最大值是12.抛物线的焦点为,准线交轴于点,点为准线上异于的一点,直线上的两点,

4、满足(为坐标原点),分别过,作轴平行线交抛物线于,两点,则( )A.B.C.直线过定点D.五边形的周长三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中的系数是_.14.定义在R上的非常数函数满足:,且.请写出符合条件的一个函数的解析式_.15.已知数列1,1,3,1,3,5,1,3,5,7,1,3,5,7,9,其中第一项是1,接下来的两项是1,3,再接下来的三项是1,3,5,依此类推.将该数列前项的和记为,则使得成立的最小正整数的值是_.16.已知椭圆离心率为,为椭圆的右焦点,是椭圆上的两点,且.若,则实数的取值范围是_.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、

5、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)已知数列满足:,且对任意的,(1)求,的值,并证明数列是等比数列;(2)设,求数列的前项和.18.(本题满分12分)如图,在三棱柱中,底面平面,是正三角形,是棱上一点,且,.(1)求证:;(2)若且二面角的余弦值为,求点到侧面的距离.19.(本题满分12分)在锐角中,内角,所对的边分别为,满足,且.(1)求证:;(2)已知是的平分线,若,求线段长度的取值范围.20.(本题满分12分)为提升学生的人文素养,培养学生的文学学习兴趣,某学校举办诗词竞答大赛.该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成,必答题双方都需给出答案,答对得1分答错不得分;抢答题由抢到的一方

6、作答,答对得2分答错扣1分.两个环节结束后,累计总分高者获胜.由于学生普遍反映该赛制的公平性不足,所以学校将进行赛制改革:调整为必答题4道,抢答题2道,且每题的分值不变.(1)为测试新赛制对选手成绩的影响,该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练,并统计双方的胜负情况.请根据已知信息补全以下列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关?旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020(2)学生丙擅长抢答,已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6,答对每道抢答题的概率为0.8,答对每道必答题的概率为,且每道题的作答情况相互独立.()记丙在一道抢答题中的得分为,求的分布列与数学期望

7、;()已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1分,求的取值范围.附:,其中.0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.02421.(本题满分12分)已知双曲线,点是双曲线的左顶点,点坐标为.(1)过点作的两条渐近线的平行线分别交双曲线于,两点.求直线的方程;(2)过点作直线与椭圆交于点,直线,与双曲线的另一个交点分别是点,.试问:直线是否过定点,若是,请求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.22.(本题满分12分)已知函数.(1)当时,函数在上有极小值,求实数的取值范围;(2)当时,设是函数的极值点,证明:.(其中是自然对数的底数)参考答案一

8、、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案CDACBBCD二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.题号9101112答案ABDBCACABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.2014.(本题为开放题,只要满足图象中点为其对称中心,轴为其对称轴,且周期为4的函数都可以)15.5916.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解(1),.2分由题意得,又,所以数列是等比数列.5分(若用数列

9、前3项说明是公比为3的等比数列,但没有严格证明的只得3分)(2)由(1)知.7分运用分组求和,可得.10分18.解;(1)取的中点,的中点,连接,.因为,在三棱柱可得,四边形为梯形,且,.因为,且,所以.2分因为,所以.又平面平面,平面平面所以平面,所以.4分因为,所以平面,所以.又,所以.6分(2)由(1)知平面,所以,又,所以是二面角的平面角.9分所以.作,由(1)知平面,设,则,在中,在平行四边形中,又在等腰三角形中,解得,所以.12分19.解:(1)由题意得,即.由正弦定理得,2分又由余弦定理得,4分所以,故,故,整理得,又为锐角三角形,所以,因此.6分(2)在中,由正弦定理得,所以.

10、8分所以,因为为锐角三角形,且,所以,解得.10分故,所以.因此线段长度的取值范围.12分20.解:(1)根据所给数据,可得下面的列联表:旧赛制新赛制合计甲获胜6915乙获胜415合计101020根据列联表得,又;故没有95%的把握认为获胜方与赛制有关.4分(2)()由题意知丙的作答情况共有三类:抢答且答错,未抢答成功,抢答且答对,丙在一道抢答题中的得分可能为,0,2.,故可列出的分布列如下:020.120.40.48因此.8分()在旧赛制下,丙的期望得分为;在新赛制下,丙的期望得分为.由题意得,解得的取值范围为.12分21.解:(1)由题意得,渐近线的斜率为.1分可得直线的方程为,由解得,同

11、理.3分所以直线的方程为.4分(2)直线过定点.5分设直线,的直线方程分别为和.由得,解得,则.同理,则.7分又,三点共线,而,故,解得.9分设,直线的方程,所以.即(*)由,整理得,故代入(*)化简解得,即,故或.11分当时,经过点,不合题意,当时,经过点,满足题意.因此直线过定点.12分22.解:(1)由题意知在上有极小值,则在有解,2分故,设,显然在单调递增,又,所以.4分当时,在单调递增,又,由零点存在定理可知,且,此时当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,故在上有极小值点.因此实数的取值范围.6分(2)由题意知,故.8分.10分设,则,当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以.因此成立.12分

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