1、浙江省绍兴市2023届高三下学期4月高考适应性考试(二模)数学试题一选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知，则（ ）A. B.0 C. D.13.下列函数在区间上单调递增的是（ ）A. B.C. D.4.已知非零向量满足，则（ ）A. B.1 C. D.25.绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为（ ）（参考数据：）A.0
2、.58米 B.0.87米 C.1.17米 D.1.73米6.已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为（ ）A.18.2 B.19.6 C.19.8 D.21.47.已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为（ ）A. B. C. D.8.设，则（ ）A. B.C. D.二多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数是的
3、导函数，则（ ）A.与的周期相同B.与的值域相同C.可能是奇函数D.的最大值是10.已知抛物线的焦点分别为.若分别为上的点，且线段平行于轴，则（ ）A.当时，是直角三角形B.当时，是等腰三角形C.四边形可能是菱形D.四边形可能是矩形11.某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，设棱锥高为，体积为，现将容器以棱为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过，其中分别为棱的中点，则（ ）A.水的体积为B.水的体积为C.图甲中的水面高度为D.图甲中
4、的水面高度为12.“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（ ）A.当时，B.当时，C.当为奇数时，D.当为偶数时，是递增数列三填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.的值为_.14.已知圆，若被两坐标轴截得的弦长相等，则_.15.与曲线和都相切的直线方程为_.16.已知椭圆的左右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则_.四解答题（共70分.解答应写出文字说明证明过程和演算步骤
5、）17.（10分）记为正项数列的前项积，且.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.18.（12分）记的内角的对边分别为，已知.（1）若，求；（2）若，求.19.（12分）如图，在多面体中，平面为等边三角形，点是的中点.（1）若点是的重心，证明；点在平面内；（2）求二面角的正弦值.20.（12分）2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆，绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7家超市，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）数
6、据如下：超市ABCDEFG广告支出1246101320销售额19324440525354（1）建立关于的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）若将超市的销售额与广告支出的比值称为该超市的广告效率值，当时，称该超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市，记这4家超市中“好广告”的超市数为，求的分布列与期望.附注：参考数据，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.21.（12分）已知双曲线的左右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.（1）求的方程；（2）过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.22.（12分）设函数
7、.（1）证明：当时，；（2）记，若有且仅有2个零点，求的值.参考答案及评分标准一选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.C 7.D 8.B二多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.AC 10.ABD 11.AC 12.ACD三填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16.四解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分）解：（1）由可得，即，又因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以.（2）.所以.18.（本题满分12分）解法1：（1）代入，得（2）所以解法2：（1）由正弦定理可得：代
8、入化简，解彶；由余弦定理可得：代入化简得.解得（2）因为，所以代入化简：，解得所以19.（本题满分12分）（1）证明：取A中点N，连接，MN.因为点G是的重心，故G一定在中线上，因为MN是梯形的中位线所以.且所以四边形是平行四边形，因为平面.（2）解法1：因为平面.所以平面，因为四边形是平行四边形，所以四边形是矩形所以二面角的平面角可转化为平面与平面的锐二面角易证BM平面，进一步可证所以就是所求二面角的平面角.解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，A所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则.设平面与平面的法向量分别为，则，不妨取.则，不妨取，所以，故二面角的正弦值为.2
9、0.（本题满分12分）解：（1）由数据可得；，.（2）由题知，7家超市中有3家超市的广告是“好广告”，X的可能取值是0，1，2，3.所以的分布列为0123所以.21.（本题满分12分）解：（1）根据题意可知C的一条渐近线方程为，设到浙近线的距离为，所以，所以的方程为.（2）解法1：充分利用三点共线（设点视角）过作，并且交直线B于而由上面3个式子联立可得：令，进一步化简：化简整理，证毕解法2：设C的左顶点为A，则.故直线为线段的垂直平分线.所以可设PA，的斜率分别为k，-k，故直线AP的方程为.与C的方程联立有，设B），则当轴时，B是等腰直角三角形，且易知当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故因为，
10、所以所以因为所以所以为定值，所以点Q在以为四心且半径为4的定圆上22.（本题满分12分）解：（1）当时，有，单调递增.又，则可知，使得所以f（x）在(0,)单调递减.在单调递增.又，则可知（2）由（1）可知时，g（x）有两个零点当时，若，有，且，有又，由（1）可知又，则所以g（x）在（-，0）有1个零点：若，有若，有可知g（x）在（0，+）有1个零点.符合题意：若，有（x）在（1，2）单调递增.（i）若，则当，有（ii）若，又，则可知，使得；由（i）（ii），则可知有g（x）在（1，）单调递减，所以又有，所以g（x）在至少有1个零点，则可知在至少有2个零点，不符合题意；若，有在（0，1）单调递增，又，则可知，使得，所以g（x）在（，1）单调递增，则有，又有，所以g（x）在（0，1）至少有1个零点，则可知g（x）在（0，+）至少有2个零点，不符合题意；当时，由记，由可知，有且仅有满足题意，即时，满足题意；综上可知，实数a的值为-1，0，1
