1、上海市嘉定区2023届高三下学期4月质量调研（二模）数学试卷一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，前六题每题得4分，后六题每题得5分.1.已知复数，其中是虚数单位，则 . 2.双曲线的离心率为 .3.已知,，则 .4. 函数的最小正周期为 .5.是边长为的等边三角形，点为边的中点，则 .6. 已知函数，定义域为，则该函数的最小值为 .7. 已知，若，则 .8.已知数列的通项公式为前项和为，则 . 9.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为. 若点在圆柱的一个底面圆周上，点在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为 10.已知某产品的一类部件由供应商和提供，占比分别为和，供应商提供的部
2、件的良品率为. 若该部件的总体良品率为，则供应商提供的部件的良品率为 .11. 如图，线段的长为，点在线段上，. 点为线段上任意一点，点绕着点顺时针旋转，点绕着点逆时针旋转. 若它们恰重合于点，则的面积的最大值为_.12.若关于的函数在上存在极小值（为自然对数的底数），则实数的取值范围为 .二选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.设，则“”是“”的（ ）充分非必要条件； 必要非充分条件 ； 充要条件； 既非充分也非必要条件.14.函数是（ ）奇函数； 偶函数； 奇函数也是偶函数； 非奇非偶函数15.
3、已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为,与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（ ）； ； .16.有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为万.该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为、.据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为 则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好（ ）存银行； 房产投资； 商业投资； 房产投资和商业投资均可.三解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，
4、第2小题8分如图，正四棱柱中，点分别是棱和的中点.（1）判断直线与的关系，并说明理由；（2）若直线与底面所成角为，求四棱柱的全面积. 18(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分已知向量，.（1）求函数的最大值及相应的值；（2）在中，角为锐角，且，求边的长 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共个记录：上班时间 下班时间988736788896544332221104001333344554
5、22156147（1）求出这个通勤记录的中位数，并完成下列列联表：超过不超过上班时间下班时间（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由.附：，20（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点. 已知抛物线和，其中. 与在第一象限内的交点为. 和在点处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线、的夹角.（1）求点的坐标；（2）若、的夹角为，求的值；（3）若直线既是也是的切线，切点分别为、，当为直角三角形时，求出相应的的值.21（本题满分18分
6、）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分已知，等差数列的前项和为，记.（1）求证：函数的图像关于点中心对称；（2）若是某三角形的三个内角，求的取值范围；（3）若，求证：. 反之是否成立？并请说明理由.参考答案一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.二选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.B 14.B 15.C 16.C
7、三解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤17.(1)解：连结、,因为点是中点，所以且，因为正四棱柱，所以四边形是矩形，则且于是且,则四边形是梯形，所以直线与是相交直线.(2)解：连结，因为，点是中点，所以在直角三角形中，因为正四棱柱，所以面，则是直线与底面 所成角，所以，于是.所以全面积为.18（1）解：， 所以函数的最大值为，此时.（2）解：因为，所以，又角为锐角，则， 因为，所以. 由正弦定理，则，即.19.解： ，填表超过不超过上班时间812下班时间713（2）解：假设上下班的通勤时间没有显著差异，由，则，不能拒绝原假设，所以，上下班的通勤时间没有显著差
8、异.20（1）解：设点，联立方程，解得即.（2）解：设和的斜率分别为和，因为在第一象限内，对于考虑函数，求导，代入点横坐标，得，对于，考虑函数，求导，代入点横坐标，得，因为、的夹角为，所以和的夹角为，由夹角公式得：，化简为，即，得.（3）因为显然不与坐标轴平行，所以其方程设为，因为和只有一个公共点，所以方程组有两个相同的解，所以的判别式，即，.同理方程组有两个相同的解，所以的判别式，即，.联立方程，解得，又点纵坐标为、点横坐标为，所以、.设，则，若为直角，则，;若为直角，则，;若为直角，则，无解，综上，或为所求.21（1）证：在函数的图像上任取一点，点关于点的对称点为，而，所以点在函数图像上，所以函数的图像关于点中心对称.（2）解：若是某三角形的三个内角，则，又为等差数列，则，不妨设，则，于是，所以.（3）证：若，又，则，因为为等差数列且，所以当时，于是.故，所以，得证.若,则, 反之不成立.考虑存在等差数列，满足，则,于是与关于对称，所以.下面证明，存在可以使得且.不妨设，又，所以.，考虑函数，,其中因为，所以存在使得，所以存在，使得即，但是.所以反之不成立.注：反例不唯一
