1、 2023年中考数学高频压轴题训练：二次函数与特殊的三角形1如图，抛物线交x轴于点两点，交y轴于点B(1)求二次函数表达式和点B的坐标(2)在直线AB上方的抛物线上有一动点E，作轴交x轴于点G，交于点M，作于点F，若点M的横坐标为m，求线段的最大值(3)抛物线对称轴上是否存在点P使得为直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由2如图，抛物线经过点与点(1)求抛物线对应的函数解析式，并写出抛物线与x轴的交点B的坐标；(2)点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，直线PQ交x轴于点M，连接CQ，OP，如果，求PM的长；(3)探究抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以
2、点E，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由3抛物线 经过点，现将一块等腰直角三角板按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点、坐标分别为、点在抛物线图象上(1)求点的坐标：(2)求抛物的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点点除外，使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由4如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点为和，与轴的交点为，顶点为点(1)求、的值；(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点的坐标；(3)若点使得是以为斜边的直角三角形，其中，求此时的值5如图，已知抛物线过点，
3、其顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上的一个点，是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由6如图1，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上位于对称轴右侧一动点(1)求抛物线的解析式；(2)当点的横坐标为6时，求四边形的面积；(3)如图2，对称轴分别与轴交于点，与直线交于点，过点作于点，连接在抛物线上是否存在点，使为直角三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由7已知
4、：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点(1)求抛物线的解析式(2)当的面积最大时，求点的坐标(3)过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点，连接，请问是否存在点使为等腰直角三角形？请直接写出点的坐标8如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为(1)求该抛物线的解析式；(2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由9如图，抛物线过点、两点，点、关于抛物
5、线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点的坐标，并求出的面积；(3)点是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点的坐标；(4)已知点在直线上运动，点在轴上运动，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时的面积10如图所示，抛物线经过点，点，与轴交于点，连接，点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交抛物线于点，交于点(1)求抛物线的表达式；(2)过点作，垂足为点设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？(3)试探究是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点的坐标；若不
6、存在，请说明理由11已知二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为(1)原抛物线的函数解析式是 (2)如图，点P是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图，点Q是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点M，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由12如图，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)点在下方的抛物线上，且，求点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形
7、？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由13如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点，直线与抛物线的另一个交点为(1)求抛物线的解析式；(2)连接、，判断是什么特殊三角形，并说明理由；(3)在坐标轴上是否存在一点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由14如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上(1)求的值；(2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，求关于的函数关系式；(3)当是直角三角形时，求点的坐标15如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为A，与x轴分别交于点B和点
8、C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE如果，求四边形的面积；如果点E在直线上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点Q的坐标16综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点(1)求抛物线的解析式；(2)已知点在抛物线上，当时，直接写n的取值范围；(3)连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标；(4)在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N
9、的坐标，若不存在，请说明理由17综合与探究如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过、两点，与x轴交于另一点B(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上求一点M，使得最大，并求出此时点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使的点P的坐标(4)在对称轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以B、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由18如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点M，使最大，求出点M的坐标
10、；(3)在x轴上是否存在点P，使得为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由(4)若点Q是以为直径的圆上一动点，当三角形面积最大时，请直接写出点Q的坐标参考答案1(1)，(2)(3)存在，点P的坐标为或或或【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而求出点B的坐标；（2）先求出直线的解析式，设，然后用含m的代数式表示出，易得，然后利用即可得到关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出结果；（3）先求出抛物线的对称轴是直线，所以可设点P的坐标为，然后根据两点间的距离表示出，再分三种情况列出方程求解即可【解析】（1）解：将两点代入，得：，解得所以抛物线的解析式是，
11、将代入得，所以点；（2）解：直线的表达式为，将代入得：，解得，所以直线的解析式为， 设， ，且，当时，的最大值是；（3）因为抛物线的对称轴是直线，所以可设点P的坐标为，由于为直角三角形，当时，即，解得：，此时点P坐标为；当时，即，解得：，此时点P坐标为；当时，即，解得：，此时点P坐标为或；综上，在抛物线的对称轴上存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或或或【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、利用二次函数的性质求最值、三角函数以及勾股定理等知识，具有一定综合性，熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键2(1)，(2)1(3)存在，点或或或或【
12、分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）设点P的横坐标为m，则，用待定系数法求出直线的解析式，从而得出点P坐标，根据，列出关于m的方程，解方程即可；（3）由得抛物线的对称轴为，设点E的坐标为，利用勾股定理得出的长，分三种情况根据等腰三角形的性质即可求解【解析】（1）把，代入得，解得抛物线的函数解析式为令解得，点B坐标为（2），直线AC的解析式为设线段AC上的点，则点，点，解得，（不合题意，舍去）（3）存在抛物线的对称轴为，设点E为，当时，有，解得当时，有，解得，当时，有，解得，综上所述，抛物线上存在点或或或或，使是等腰三角形【点评】本题是二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，二次函
13、数图象和性质，待定系数法求函数解析式，用点的坐标表示线段长度，等腰三角形的性质等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用以及分类思想的运用3(1)点的坐标为(2)抛物线的解析式为(3)存在，点的坐标为【分析】（1）根据题意，过点作轴，垂足为；根据角的互余的关系，易得到、轴的距离，即的坐标；（2）根据抛物线过点的坐标，可得的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分、是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案【解析】（1）解：(1)过点作轴，垂足为，又，点的坐标为；（2）抛物线经过点，点，则，解得，所以抛物线的解析式为；（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：若以点为
14、直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，；若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，同理可证，点，以为直角顶点的等腰的顶点有两种情况即过点作直线，在直线上截取时，点可能在轴右侧，即现在解答情况的点；点也可能在轴左侧，即还有第种情况的点因此，然后过作轴于，同理：，为；经检验，点与在抛物线上，点，点都不在抛物线上综上，存在，点的坐标为【点评】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，能力要求极高解题的关键是利用分类讨论，数形结合的数学思想方法4(1)(2)(3)或【分析】（
15、1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，设，根据勾股定理得出，进而解方程即可求解；（3）设点为的中点，则，如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，根据勾股定理即可求解【解析】（1）解：将和代入得，解得：抛物线解析式为，（2）由，令，解得：，顶点坐标为，对称轴为直线，点为该抛物线对称轴上的一个动点，设，解得：点的坐标为；（3）解：，点，其中，使得是以为斜边的直角三角形，设点为的中点，则，如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，即，解得：或【点评】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，线段问题，特殊三角形问题，直径所对的圆周角是直角，掌握以上知识是解题的关键5(1)(2)存在，点的坐
16、标为或(3)能，点的坐标为或或【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）先求出的垂直平分线的表达式，再联立线段垂直平分线和抛物线的表达式，得到关于的方程，进而求出点的坐标（3）设出点的坐标，分情况讨论，当点在线段上时，点在点上方，当点在线段（或）延长线上时，点在点下方，根据平行四边形的性质，可由得关于的方程，进而求出点的坐标【解析】（1）解：将A、B、C点的坐标代入解析式，得，解得，抛物线的解析式为（2）解：存在，点的坐标为或如图，设为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，直线与抛物线必有两个交点，且都是满足条件的点，点的坐标为，设的解析式为，将点代入得，即直线的解析式为，联立，得，解得或，
17、点的坐标为或（3）能，点的坐标为或或将配方，得，顶点D的坐标为，由，得对称轴为，直线的方程为，联立，得，点在直线上，设，当点在线段上时，点在点上方，则，解得或（舍），点的坐标为；当点在线段（或）延长线上时，点在点下方，则，解得或，点的坐标为或，综上所述：满足条件的点坐标为或或【点评】本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用线段垂直平分线的性质；解（3）的关键是平行四边形的性质得出关于的方程，要分类讨论，以防遗漏6(1)抛物线的解析式为(2)四边形的面积为16(3)当点的坐标为或时，为直角三角形【分析】（1）用待定系数法将点，代入抛物线得，求出的值即可得到答案
18、；（2）先根据抛物线解析式求出点的坐标，再根据计算即可得出答案；（3）先用待定系数法求出直线的解析式，从而得到点的坐标，设点的坐标为，则点的坐标为，根据两点间的距离公式得出、，再分当时，当时，当时三种情况分别讨论，利用勾股定理即可求得答案【解析】（1）解：将点，代入抛物线得，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：令，解得：，点的坐标为，当时，点坐标为，；（3）解：抛物线的解析式为，对称轴为，直线为，点的坐标为，设直线的解析式为，将点代入得，解得：，直线的解析式为，当时，点的坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为， 点，为直角三角形，当时，此时点与点重合，解得：或，点是抛物线上位于对称轴右侧一动点点的
19、坐标为，当时，则,即，化简得：，此时方程无解，当时，则，即，解得： ，点是抛物线上位于对称轴右侧一动点点的坐标为，综上所述，当点的坐标为或时，为直角三角形【点评】本题考查了待定系数法求解析式，求三角形的面积，勾股定理解三角形，采用分类讨论的思想以及数形结合的思想是解题的关键7(1)(2)(3)存在，点的坐标为，【分析】（1）根据题意,由待定系数法即可求出答案；（2）过点作轴的垂线，交线段于点，由，即可得到答案；（3）由题意可知，若是等腰直角三角形，则，进而求解【解析】（1）解：抛物线与坐标轴分别交于点，解得，抛物线的表达式为；（2）解：，设直线的表达式为，则，解得，直线的表达式为：，点的横坐标
20、为，则，过点作轴的垂线，交线段于点，如图所示：，抛物线开口向下，有最大值，当时，的值取最大，此时；（3）解：存在，理由如下：由题意可知，若是等腰直角三角形，则，由（1）可得，轴，解得（舍，（舍，当是等腰直角三角形时，点的坐标为，【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，综合运用相关知识点是解题的关键8(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）根据，求出的长，进而得到A，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标；（3）分两种情况，和时，分别求得
21、点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值【解析】（1）解：，把A，代入得：，解得：，抛物线解析式为；（2）直线经过点，设直线的解析式为：把A，代入代入得：解得：，直线的解析式为：过点作轴的垂线交抛物线于点，设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)，点，点横坐标为，点在抛物线上，点，据图知：点在点上方，开口向下，有最大值，当时，的最大值为9，点，点；（3）存在当时，点的纵坐标为3，即，解得：，；当，点的纵坐标为，即，解得，（舍去）点，综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握
22、二次函数的性质和分类讨论思想9(1)；(2)；(3)点坐标为；(4)或【分析】（1）把点，代入抛物线中，利用待定系数法即可求出抛物线表达式；（2）根据抛物线关系式得到对称轴，再根据轴对称的性质，即可得到点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求出的面积；（3）过点作交延长线于点，设点，利用差表示的面积，列式计算求出的值，即可得到点P的坐标；（4）分两种情况讨论：以点M为直角顶点且M在轴上方时，利用“”易证，得到，利用勾股定理得到，即可求出的面积；以点M为直角顶点且M在轴下方时，构建和，同理可证，得到，利用勾股定理得到，即可求出的面积【解析】（1）解：把点，代入抛物线中，得：，解得：，抛物线的表达式
23、为：；（2）解：，抛物线的对称轴为直线，点、关于抛物线的对称轴对称，点的坐标为，；（3）解：如图1，过点作交延长线于点，设点，根据题意，得：，整理得：，解得：（舍去），点坐标为；（4）解：若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，分两种情况讨论：以点M为直角顶点且M在轴上方时，如图2，是等腰直角三角形，在和中，由勾股定理得：，；以点M为直角顶点且M在轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：和，同理可证，由勾股定理得：，；综上可知，的面积为或【点评】本题是二次函数综合题，题目较难，考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图像和性质，轴对称的性质全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的
24、性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质以及二次函数的图像和性质是解题关键10(1)(2)，当时，有最大值为(3)存在，点的坐标为或或【分析】（1），分别代入，待定系数法求解析式即可求解；（2）由抛物线的表达式得，由，得直线BC的表达式为，设，则，得出，根据二次函数的性质即可求解；（3）根据题意分类讨论当时，当时，当时，根据勾股定理建立方程解方程即可求解【解析】（1）解： ，分别代入，得，解得：，抛物线的表达式为：；（2）由抛物线的表达式得，由，得直线BC的表达式为，设，则，又轴，又，当时，有最大值为；（3）存在理由如下：，过点作轴于点，如图，当时，在中，由勾股定理得，即，解得：，（舍去），当时，
25、则，连结，如图，在中，由勾股定理得，即，解得：，（舍去），当时，则，即，解得：，综上所述，点的坐标为或或【点评】本题考查了二次函数综合问题，线段最值问题，等腰三角形的的性质，分类讨论是解题的关键11(1)(2)，(3)存在，或【分析】（1）由题意求出二次函数顶点左边，然后写出顶点式，变形即可；（2）如图，过P作交于M，结合（1）求出直线解析式为：，设则，根据带入计算，化为顶点式即可求出面积最大值是的值，从而求解；（3）如图，为等腰直角三角形，为直角三角形，可得，即是中的可求解；如图，为等腰三角形，为直角三角形，设根据即可求解【解析】（1）解：由题意可知，二次函数图像的顶点坐标为：二次函数解析式
26、为：即，故答案为：；（2）如图，过P作交于M，二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，当时，解得，当时，直线解析式为：设，则当时面积的最大值为，；（3）存在，理由如下：由（2）可知，如图，为等腰直角三角形，为直角三角形，即，是的中点，如图，为等腰三角形，为直角三角形，即，设解得：或（不合题意，舍去）综上所述：或【点评】本题考查了二次函数、一次函数的综合应用，勾股定理；根据点在函数图像上巧设点的坐标，运用勾股定理建立等量关系是解题的关键12(1)(2)点D的坐标为或(3)存在，P点的坐标为或或或【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）过点D作轴，交于点E，利用面积公
27、式求出，根据，列式计算即可；（3）分，和三种情况讨论，利用勾股定理求解即可【解析】（1）解：抛物线的对称轴为，抛物线与x轴交于点，解得：，抛物线的解析式为：；（2）由（1）可得：，设直线的解析式为：，则：，解得：；直线的解析式为：，设点D的坐标为，过点D作轴，交于点E，则点，解得：，点D的坐标为或；（3）存在，设点P的坐标为，是直角三角形需分三种情况分析：当时，即，解得：，此时点P的坐标为；当时，即，解得：，此时点P的坐标为或；当时，即，解得：，此时点P的坐标为；综上所述，存在满足条件的P点的坐标为或或或【点评】本题考查二次函数的综合应用正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
28、解，是解题的关键13(1)(2)是直角三角形，理由见解析(3)存在，点的坐标为，或【分析】（1）由题意可设抛物线顶点式为，然后将点代入求解即可；（2）先求出直线的解析式，然后联立直线的解析式和抛物线的解析式得出点的坐标，最后利用勾股定理证明即可；（3）分两种情况讨论：当点在轴上时，当点在轴上时，根据勾股定理进行求解即可【解析】（1）抛物线的顶点坐标为，可设抛物线顶点式为，将点代入顶点式得，解得，；（2）是直角三角形，理由如下：直线过点，设直线的解析式为，点是对称轴与轴的交点，把点代入，并解得，直线的解析式为，联立，并解得，是直角三角形；（3）存在，点的坐标为，或当点在轴上时，设，若为斜边，则有
29、，解得，若为斜边，则有，解得，；当点在轴上时，设，若为斜边，则有，解得，若为斜边，则有，解得（与点重合舍去），综上所述，点的坐标为，或【点评】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，能够利用勾股定理证明直角三角形是解题的关键14(1)(2)(3)点的坐标为或或【分析】（1）将代入即可；（2）由题意可得B的坐标是，设直线的解析式为，利用待定系数法求得，由题意表示出点P的坐标是，点E的坐标是，进而得关于的函数关系式；（3）分三种情况：当时，当时，当时，进行讨论即可【解析】（1）抛物线与轴的一个交点是（2）如图当时，点B的坐标是设直线的解析式为过点，直线的解析式为当时，点E的坐标是
30、当时，点P的坐标是；（3）当时，直线交轴于，如图，则为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即：，设直线解析式为，代入，得：，解得：，直线解析式为，联立：，解得：或，；当时，直线交轴于，如图，同理可得为等腰直角三角形，即：，设直线解析式为，代入，得：，解得：，直线解析式为，联立：，解得：或，；当时，此时点在上方，设点横坐标为，且，过点作轴，如图，轴，即：，亦即：，解得：，（经检验是方程的解），则： ，综上，点的坐标为或或【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，等腰三角形的直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，讨论直角的位置，利用相似三角形的性质列比例式是解决问
31、题的关键15(1)(2)，或【分析】（1）根据对称性求出点B坐标，利用待定系数法求解析式即可；（2）根据，求出直线解析式，根据平移性质求出点E的坐标，再求四边形面积即可；根据点E在直线上，求出点E的坐标，利用，得出，求出点Q的坐标即可【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），点C的坐标为，根据对称性可知点B坐标为，代入得，解得，抛物线解析式为（2）解：抛物线的对称轴为直线，所以顶点A的坐标为，与y轴交于点D的坐标为，设的解析式为，把A，C代入得，解得，的解析式为，因为，点D的坐标为，所以的解析式为，将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，
32、所以点E的纵坐标为，代入，解得，点E的坐标为，设与x轴交于点G，则点G的坐标为，同时G也是平移后抛物线与x轴的交点，四边形的面积为；设的解析式为，把D，C代入得，解得，的解析式为，点E的纵坐标为，代入，解得，点E的坐标为，当时，因为点E的坐标为，点D的坐标为，所以，点Q在平移后抛物线的对称轴上，点Q的坐标为或【点评】本题考查了求二次函数解析式和二次函数平移，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式，根据平移求出平移后的二次函数的顶点坐标16(1)(2)(3)或；(4)或或或【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）根据对称轴直线求出对称轴直线，即可得出最小值，再分别求出当和时的函数
33、值即可得出n的取值范围；（3）先计算出，再求出解析式，设出点Q坐标，根据三角形面积公式即可求解；（4）分类讨论，分别当为对角线时，画出图形即可求解【解析】（1）解：把代入得：，解得，抛物线的解析式为；（2）由（1）可知，二次函数解析式为，抛物线的对称轴直线，当时，n取最小值，此时：，当时， ；当时， ；当时，；（3）、，设直线的表达式为，将点、代入得：，解得，的表达式为，设点Q的坐标为解得或，当时，当时，点Q的坐标为或；（4）存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当为菱形的对角线时，如图所示，由（3）可知，菱形为正方形，点N的坐标为如图所示，当为菱形对角线时，C
34、、N关于x轴对称，点N坐标为；，当为对角线时，如图所示，点N的坐标为或综上所示，点N的坐标为：或或或【点评】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数表达式，自变量取值范围内的函数值，三角形面积，菱形等知识，解题的关键是添加辅助线，构造出相应图形解决问题17(1)(2)(3)(4)或或或或【分析】（1）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）如图，连接并延长交抛物线的对称轴于M，A，B关于直线对称，则，此时最大，再求解直线为：，从而可得答案；（3）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据余角的性质，可得的度数，再根据等腰直角三角形的性质，可得关于m
35、的方程，根据解方程，可得答案； （4）先表示，再分类讨论： 当为对角线时，则，当为对角线时，则；当为对角线时，则，再建立方程求解，再结合平移的性质可得答案【解析】（1）解：由A、B点关于对称，A点坐标为，得 B点坐标为 将A、B、C点坐标代入抛物线解析式，得， 解得 ， 这条抛物线所对应的函数关系式为；（2）如图，连接并延长交抛物线的对称轴于M，A，B关于直线对称，则，此时最大，设直线为，解得：，直线为：，当时，；（3）抛物线的对称轴为直线 设P点坐标为，如图： 过P点作轴于D点，由，得 ， ，即， 解得，；（4）存在，理由如下： 设，而，如图： 当为对角线时，则，解得：，当时，由平移的性质可
36、得：，当时，由平移的性质可得：，当为对角线时，则，解得：，由平移的性质可得：，如图，当为对角线时，则，解得：，当时，由平移的性质可得：，当，由平移的性质可得：，综上：或或或或【点评】本题考查了二次函数的综合题，（1）利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；（2）利用轴对称的性质得到M的位置是关键；（3）利用PCD是等腰直角三角形是解题关键；（4）清晰的分类讨论是解题关键18(1)(2)(3)存在，或或或(4)【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点的坐标，由于、都在抛物线上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）根据三角不等关系可得，然后问题
37、可求解；（3）由题意可设，然后可分当P为直角顶点时，点B为直角顶点，点C为直角顶点时，进而分类求解即可；（4）根据题意易得，二次函数的对称轴为直线，则有圆心，要使的面积最大，则需满足点Q到的距离最大，即到x轴的距离，所以根据圆内的所有线段中，直径最大，因此点Q与圆心G、点E三点共线，连接，然后根据圆的基本性质及两点距离可进行求解【解析】（1）解：令时，则，将，的坐标代入，得：，解得，二次函数解析式；（2）解：当点M在x轴上时，要使最大，则此时M、B、C三点共线，即M在A点时，最大；直线交x轴与A点，令，则，即，；（3）解：联立一次函数与二次函数解析式得：，解得：或，设符合条件的点P存在，令：当
38、P为直角顶点时，如图：过C作轴于F；，即，整理得，解得或；所求的点P的坐标为或，若点B为直角顶点，则有即有解得，P点的坐标为若点C为直角顶点，则有，即有，解得，P点的坐标为综上所述，满足条件的点P有四个，分别是或或或；（4）解：联立一次函数与二次函数解析式得：，解得：或，设以为直径的圆的圆心为点G，点，即，由二次函数可知对称轴为，要使的面积最大，则需满足点Q到的距离最大，即到x轴的距离，所以根据圆内的所有线段中，直径最大，因此点Q与圆心G、点E三点共线，如图所示：连接，根据两点距离公式可得，为圆G的直径，【点评】本题主要考查二次函数的综合、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握二次函数的综合、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键
