1、2023年济南市长清区（东片区）中考一模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1. 的倒数是（）A. B. 3C. D. 2. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是A. B. C. D. 3. 中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果140，则2的度数是A. 30B. 45C. 40D. 505. 位于四川省三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其中出土的文物是宝贵的人类文化遗产，在中国的文物群体中
2、，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 6. 中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（ ）A. B. C. D. 7. 2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（ ）A. B. C. D
3、. 8. 如图，在中，以点C为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分面积为（ ）A. 2B. C. 4D. 9. 如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，3)，ABO30，将ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为()A. (，)B. (2，)C. (，)D. (，3)10. 已知，二次函数（a，b是常数，a0）的图象经过，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）A. 最大值为B. 最小值为C. 最大值为D. 最小值为第卷（非选择题 共110分）注意事项：1第II卷
4、必须用05毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效2填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 分解因式：_12. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（指向两个扇形交线处时，重新转动转盘），事件“指针落在蓝色扇形中”的概率为_13. 若一个多边形的每个内角都为，则它的边数为_14. 代数式与代数式的和为4，则_15. AB两地相距20km，
5、甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发_小时后与乙相遇16. 如图，矩形中，E为边上一点，将沿折叠，使点A的对应点F恰好落在边上，连接交于点N，连接若，则矩形的面积为_三、解答题（本大题共10个小题，共86分）17. 计算：18. 解不等式组：，并写出的所有整数解19. 如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F求证：AE=CF20. 中华文化源远流长，文学方面，西游记
6、、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图 请根据以上信息，解决下列问题 (1)本次调查所得数据的众数是_部，中位数是_部； (2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为_度； (3)请将条形统计图补充完整；(4)没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率21. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30，测得教
7、学楼BC顶端点C处的俯角为45又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米求教学楼BC的高度（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）22. 如图，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作O的切线交AB的延长线于E，交BC于F（1）求证：DFBC；（2）求证：DE2=AEBE23. 某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等（1）求甲、乙两种型号防护服每件各是多少元？（2）如果该社区计
8、划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？24. 如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，与交于点G（4，3）（1）当点D恰好是中点时，求此时点C的横坐标；（2）如图2，连接，求证：；（3）如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式25. 在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究（一）尝试探究：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD60，ABCADC
9、90，点E、F分别在线段BC、CD上，EAF30，连接EF（1）如图2，将ABE绕点A逆时针旋转60后得到ABE（AB与AD重合），请直接写出EAF 度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为 （2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由（二）拓展延伸：如图4，在等边ABC中，E、F是边BC上的两点，EAF30，BE1，将ABE绕点A逆时针旋转60得到ABE（AB与AC重合），连接EE，AF与EE交于点N，过点A作AMBC于点M，连接MN，求线段MN的长度26. 已知抛物线yax2bx3经过点A （1，0）和点B
10、（3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为_，抛物线的项点坐标为_；（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP面积为8?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，连接OP交BC于点D，当SCPDSBPD12时，请求出点D坐标；（4）如图3，点E的坐标为（0，1），点G为x轴负半轴上的一点，OGE15，连接PE，若PEG2OGE，请求出点P的坐标2023年济南市长清区（东片区）中考一模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1. 的倒数是（）A. B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据求一个数倒数的方法求
11、解即可【详解】解：,的倒数是故选：D【点睛】此题考查了倒数的定义和求一个数倒数的方法，求倒数的方法：求一个分数的倒数，就把这个分数的分子和分母交换位置；求一个整数的倒数，只需把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到；求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置2. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中【详解】从上面看易得：有3列小正方形第1列有2个正方形，第2列有1个正方形，第3列有1个正方形故选B【点睛】本题考
12、查的知识点是简单组合体的三视图，解题关键是数出从上方看每一列各有几个正方形3. 中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可【详解】解：400000=4105故选：A【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大数，一般形式为a10n，其中1|a|10，确定a与n的值是解题的关键4. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果140，则2的度数是A. 30B. 45C. 40D
13、. 50【答案】D【解析】【详解】分析：由将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，根据两直线平行，同位角相等，即可求得3的度数，又由平角的定义，即可求得2的度数 解：ab，1=40，3=1=40，2+3+4=180，4=90，2=50故选D5. 位于四川省的三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其中出土的文物是宝贵的人类文化遗产，在中国的文物群体中，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可选择【详解】A不是中心对称
14、图形，不符合题意；B是中心对称图形，符合题意；C不是中心对称图形，不符合题意；D不是中心对称图形，不符合题意故选B【点睛】本题考查识别中心对称图形掌握如果一个图形绕某一个点旋转后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形是解题关键6. 中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可【详解】解：400000=4105故选：A【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a10n，
15、其中1|a|10，确定a与n的值是解题的关键7. 2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设这四张卡片分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得共有16种等可能结果，其中两人抽到的景点相同的有4种，再由概率公式计算，即可求解【详解】解：设这四张卡片分别用A，B，C，D表
16、示，根据题意，列出表格如下： ABCDAA，AB，AC，AD，ABA，BB，BC，BD，BCA，CB，CC，CD，CDA，DB，DC，DD，D共有16种等可能结果，其中两人抽到的景点相同的有4种，所以两人抽到的景点相同的概率是故选：B【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键8. 如图，在中，以点C为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】根据阴影部分的面积是扇形的面积的面积的面积扇形的面积，代入数值解答即可【详解】解：在中，把逆时针旋转，得到，阴影部分的面积，故选：B【点睛
17、】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用9. 如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，3)，ABO30，将ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为()A. (，)B. (2，)C. (，)D. (，3)【答案】A【解析】【详解】解：四边形AOBC是矩形，ABO=30，点B的坐标为（0，），AC=OB=，CAB=30，BC=ACtan30=3将ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，BAD=30，AD=过点D作DMx轴
18、于点M，CAB=BAD=30，DAM=30，DM=AD=，AM=cos30=，MO=3=，点D的坐标为（，）故选A10. 已知，二次函数（a，b是常数，a0）的图象经过，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）A. 最大值B. 最小值为C. 最大值为D. 最小值为【答案】C【解析】【分析】分二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C三种情况讨论求解即可【详解】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C，若经过点A和点B，都在直线上，而抛物线与轴交点始终在直线上，二次函数的图象不能同时经过点A，B；，抛物线也不同时
19、经过点B，点C，经过点A、点C，如图，解得，当时，则点是的顶点，此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，此时纵坐标为；而经过平移，顶点始终在直线上，故平移后函数表达式为，当时，当时，y有最大值，：，故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答第卷（非选择题 共110分）注意事项：1第II卷必须用05毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效2填空题请直接填写答案，解答题应写出
20、文字说明、证明过程或演算步骤二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键12. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（指向两个扇形交线处时，重新转动转盘），事件“指针落在蓝色扇形中”的概率为_【答案】【解析】【分析】根据概率公式直接求解即可【详解】转盘被等分成6个面积都相等的扇形，且蓝色扇形有2个，事件“指针落在蓝色扇形中”的概率为故答案为：【点睛】本题
21、考查简单的概率计算掌握几何概率的求法是解题关键13. 若一个多边形的每个内角都为，则它的边数为_【答案】8【解析】【分析】首先求得每个外角的度数，然后利用360度除以外角的底数即可求解【详解】解：外角的度数是：，则多边形的边数为：故答案为：8【点睛】本题主要考查了多边形的外角问题，理解任意多边形的外角和都是是解题关键14. 代数式与代数式的和为4，则_【答案】1.【解析】【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值【详解】根据题意得：，去分母得：，移项合并得：，解得：，故答案为1.【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键15. AB两地相距20km，甲从A地出发
22、向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发_小时后与乙相遇【答案】2【解析】【分析】根据函数图象求出甲减速后的速度和乙的速度，然后根据相遇问题的等量关系列方程求解即可.【详解】解：由函数图象可得：甲减速后的速度为：（208）（4-1）4km/h，乙的速度为：2054km/h，设甲出发x小时后与乙相遇，由题意得：8+4(x-1)+4x20，解得：x=2，即甲出发2小时后与乙相遇，故答案为：2.【点睛】本题考查了从函数图象获取信息以及一元一次方程的应用，
23、能够根据函数图象求出甲减速后的速度和乙的速度是解题的关键.16. 如图，矩形中，E为边上一点，将沿折叠，使点A的对应点F恰好落在边上，连接交于点N，连接若，则矩形的面积为_【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质推导出，故，在中应用勾股定理，得到，即可求解【详解】解：由折叠可得：，且易得，即，在中，解得，故答案为：【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是不求出线段的具体长度，而是得到AB和BF的比例关系直接求解矩形的面积三、解答题（本大题共10个小题，共86分）17. 计算：【答案】1【解析】【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值
24、的化简计算即可【详解】【点睛】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键18. 解不等式组：，并写出的所有整数解【答案】；0，1，2【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可【详解】解：解不等式，得，解不等式，得.原不等式组的解集为，则的所有整数解为0，1，2.【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键19. 如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点
25、E，F求证：AE=CF【答案】证明见解析【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，ADBC，进而得出EAC=FCO， 再利用 ASA 求出AOECOF，即可得出答案【详解】ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AO=CO，ADBC，EAC=FCO， 在AOE 和COF 中，AOECOF（ASA），AE=CF【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键20. 中华文化源远流长，文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名
26、著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图 请根据以上信息，解决下列问题 (1)本次调查所得数据的众数是_部，中位数是_部； (2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为_度； (3)请将条形统计图补充完整；(4)没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率【答案】(1)1、2；(2)54；(3)补图见解析；(4).【解析】【分析】(1)先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；(2)根据扇形圆心角的度数部分占总体的百分比360，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
27、(3)根据1部对应的人数为402108614，即可将条形统计图补充完整；(4)根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率【详解】解：(1)调查的总人数为：1025%40，1部对应的人数为402108614，本次调查所得数据的众数是1部，2+14+102621，2+1420，中位数为2部，故答案为1、2；(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：36054；故答案为54；(3)条形统计图如图所示，(4)将西游记、三国演义、水浒传、红楼梦分别记作A，B，C，D，画树状图可得：共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，故P(两人选中同一名著)【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率
28、，以及条形统计图与扇形统计图的知识注意平均条数总条数总人数；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)21. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米求教学楼BC的高度（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）【答案】教学楼BC的高度为米【解析】【分析】过点D作DEAB于点E，过点C作CFDE于点F，由题意得AB=57米，DE=30米，DAE=30，DCF=45，再由锐角三角函数
29、定义求出AE的长，然后求出米，进而可得教学楼BC的高度【详解】过点D作DEAB于点E，过点C作CFDE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形，由题意得：AB57米，DE30米，DAE30，DCF45，在RtADE中，AED90，tanDAE，AE（米），BEABAE米，四边形BCFE是矩形，CFBE米，在RtDCF中，DFC90，CDFDCF45，DFCF米，BCEF3057+30米，答：教学楼BC的高度为米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键22. 如图，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作O的
30、切线交AB的延长线于E，交BC于F（1）求证：DFBC；（2）求证：DE2=AEBE【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求出ODBC，根据切线的性质得出ODED，即可求出答案；（2）求出DBEADE，根据相似得出比例式，即可得出答案【详解】证明：（1）连接OD，OA=OD，AB=BC，A=C，A=ODA，C=ODA，ODBC，BFE=ODE，DE为O的切线，ODE=90，BFE=90，DFBC；（2）连接BD，AB为O的直径，ADB=90，AABD=90，ODE=90，ODBBDE=90，OD=OB，ODB=ABD，A=BDE，E=E，DBEADE，DE2=AEBE【点睛】
31、本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理和切线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键23. 某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等（1）求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？（2）如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？【答案】（1）每件甲型防护服为120元，每件乙型防护服为150元 （2）60件【解析】【分析】（1）设每件乙型防护服为
32、x元，则每件型防护服为元，根据“数量=总价单价”结合用4200元购买甲型防护服的件数恰好与用5250元购买乙型防护服的件数相同，即可得出关于x的分式方程求解即可；（2）设购买y件乙型防护服，则购买件甲型防护服，根据“总价=单价购买数量”结合投入的经费不超过12000元列出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，最后取其内的最大正整数即可【小问1详解】解：设每件乙型防护服为x元，则每件甲型防护服为元，根据题意得：，解得：，经检验，x150原方程的解，答：每件甲型防护服为120元，每件乙型防护服为150元【小问2详解】解：设购买y件乙型防护服，则购买件甲型防护服，根据题意得：，解得：答：
33、最多可购买60件乙种商品【点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据“数量=总价单价”和“总价=单价购买数量”列出分式方程和关于y的一元一次不等式是解题的关键24. 如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，与交于点G（4，3）（1）当点D恰好是中点时，求此时点C的横坐标；（2）如图2，连接，求证：；（3）如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式【答案】（1）2 （2）见解析 （3）【解析】【分析】根据点坐标求出点坐标，代入表达式即可；（2）根据点坐标
34、表示线段长度，证明即可；（3）过点作轴的垂线，构造一线三直角模型，根据相似列比例式，解出比例式即可【小问1详解】解：点D是FG中点点D（4，），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：即反比例函数的表达式为：当时，解得：即此时点C的横坐标是2【小问2详解】解：设点D（4，），C（，），则则同理可得：【小问3详解】解：过点C作于点N，设，则， 即点C、D的坐标分别为（，3）、（4，）则CHD90，联立并解得：则点D（4，）将点D的坐标代入反比例函数表达式得： 故反比例函数的表达式为：【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合，相关知识点有：相似三角形的判定与性质，待定系数法求表达式等，找到相似三角形是
35、解题关键25. 在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究（一）尝试探究：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD60，ABCADC90，点E、F分别在线段BC、CD上，EAF30，连接EF（1）如图2，将ABE绕点A逆时针旋转60后得到ABE（AB与AD重合），请直接写出EAF 度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为 （2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由（二）拓展延伸：如图4，在等边ABC中，E、F是边BC上两点，EAF30，BE1，将A
36、BE绕点A逆时针旋转60得到ABE（AB与AC重合），连接EE，AF与EE交于点N，过点A作AMBC于点M，连接MN，求线段MN的长度【答案】（一）（1）30，BEDFEF；（2）BEDFEF；（二）【解析】【分析】（一）（1）根据图形旋转前后对应边相等，对应角相等，判定AEFAEF，进而根据线段的和差关系得出结论；（2）先在BE上截取BGDF，连接AG，构造ABGADF，进而利用全等三角形的对应边相等，对应角相等，判定GAEFAE，最后根据线段的和差关系得出结论；（二）先根据旋转的性质判定AEE是等边三角形，进而利用等边ABC、等边AEE的三线合一的性质，得到和BAEMAN，最后判定BAEM
37、AN，并根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求得MN的长【详解】解：（一）（1）如图2，将ABE绕点A逆时针旋转60后得到ABE，则12，BEDE，AEAE，BAD60，EAF30，1330，2330，即FAE30，EAFFAE，在AEF和AEF中，AEAE，EAFFAE，AFAF，AEFAEF（SAS），EFEF，即EFDFDE，EFDFBE，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BEDFEF，故答案为30，BEDFEF；（2）如图3，在BE上截取BGDF，连接AG，在ABG和ADF中，ABAD，ABEADF，BGDF，ABGADF（SAS），BAGDAF，且AGAF，DAFDAE30，B
38、AGDAE30，BAD60，GAE603030，GAEFAE，在GAE和FAE中，AGAF，GAEFAE，AEAE，GAEFAE（SAS），GEFE，又BEBGGE，BGDF，BEDFEF，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BEDFEF；（二）如图4，将ABE绕点A逆时针旋转60得到ABE，则AEAE，EAE60，AEE是等边三角形，又EAF30，AN平分EAF，ANEE，直角三角形ANE中，在等边ABC中，AMBC，BAM30，且BAEEAM30，又MANEAM30，BAEMAN，BAEMAN，即，MN26. 已知抛物线yax2bx3经过点A （1，0）和点B （3，0），与y轴交于点C
39、，点P为第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为_，抛物线的项点坐标为_；（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，连接OP交BC于点D，当SCPDSBPD12时，请求出点D的坐标；（4）如图3，点E的坐标为（0，1），点G为x轴负半轴上的一点，OGE15，连接PE，若PEG2OGE，请求出点P的坐标【答案】（1）yx22x3；（1，4）（2）不存在，理由见解析（3）D（1，2）（4）P（，）【解析】【分析】（1）设函数的表达式为：ya（x1）（x3）a（x22x3），即可求解；（2）利用S四边形BOCPSOBCS
40、PBC8，即可求解；（3）SCPD：SBPD1：2，则BDBC32，即可求解；（4）OGE15，PEG2OGE30，则OHE45，故OHOE1，即可求解【详解】（1）函数的表达式为：ya（x1）（x3）a（x22x3）=ax2bx3，即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x3=（x+1）24，顶点坐标为（1，4）故答案为yx22x3；（1，4）；（2）不存在，理由：如图1，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，令二次函数x=0,解得y=3C（0，3）设直线BC的解析式为：ykxb把C（0，3），B （-3，0）代入得解得直线BC的表达式为：yx3，设点P（x，x22x3），
41、点H（x，x3），则S四边形BOCPSOBCSPBC33（x22x3x3）38，整理得：3x29x70，解得：0，故方程无解，则不存在满足条件点P（3）OBOC，CBO45，BC=SCPD：SBPD1：2，BDBC32，yDBDsinCBO=22，代入直线BC得2x3，解得x=-1D（1，2）；（4）如图2，设直线PE交x轴于点H，OGE15，PEG2OGE30，OHE45，OHOE1，H（-1，0），设直线HE的表达式为：ypx+q把H（-1，0），E（0，-1）代入得解得直线HE的表达式为：yx1，联立解得：x（舍去正值），故点P（，）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大
