1、2023年江苏省扬州市邗江区二校联考中考一模数学试题一、选择题（每题3分，满分24分）1. 的相反数是（ ）A B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 函数中，自变量的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. 下列几何体的左视图和俯视图相同的是（ ）A. B. C. D. 5. 我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）A
2、B. C. D. 6. 已知m是方程的一个根，则的值为（）A. 2023B. 2022C. 2021D. 20207. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转90，点B的对应点的坐标是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（）A. B. 1C. D. 二、填空题（每题3分，满分30分）9. 据数据显示，截至北京时间2020年12月29日21时30分，全球新冠肺炎确诊病例达8181万例，将81810000这个数字用科学记
3、数法表示为_10 分解因式：x3-2x2y+xy2=_11. 已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是_12. 若圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是一个半径为6cm的扇形，该圆锥的侧面积是 _cm213. 如图，河坝的横断面AB的坡比是1:2，坝高BC=3米，则坡面AB的长度是_米14. 如图，在ABC中，点D，E在边AB，AC上，DEBC，ADE与ABC的周长比为2：5，则AD：DB_15. 如图所示的五边形花环，是用五个全等的直角三角形拼成的，则图等于_度16. 如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=2，将RtABC绕点A逆时针旋转30后得到RtADE，
4、点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_17. 如图是由边长相同小正方形组成的网格，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则_18. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点已知点若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围_三、解答题（共96分）19. 计算（1）（2）20. 解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的整数解21. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“t45”，B组“45t60”，C组“60t75”，D组“75t90”，E组“t90”将收集的数据整理后，绘制
5、成如下两幅不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数22. 2020年6月1日，李克强总理称赞地摊经济、小店经济是人间的烟火，是中国的生机一时间，祖国大地上掀起了一股地摊经济的热潮根据城管部门统一规划，甲，乙两兄弟只能从四个街道中各随机选取一个街道摆地摊（1）“甲，乙两兄弟都到街道摆地摊”是_事件（填“必然”，“不可能”或“随机”）（2）试用画树状图或列表的方法求甲，乙两兄弟选在同一个街道摆
6、地摊的概率23. 在“新冠”期间，某小区物管为预防业主感染传播购买A型和B型两种3M口罩，购买A型3M口罩花费了2500元，购买B型3M口罩花费了2000元，且购买A型3M口罩数量是购买B型3M口罩数量的2倍，已知购买一个B型3M口罩比购买一个A型3M口罩多花3元则该物业购买A、B两种3M口罩的单价为多少元？24. 已知，如图，在中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交，于点，连接，（1）求证：；（2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由25. 如图，AB是O的弦，C是O外一点，OCOA，OC交AB于点P，交O于点D，且CPCB（1）判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若
7、A30，OP，求图中阴影部分的面积26. 如图，矩形ABCD中，ADAB，（如需画草图，请使用备用图）（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）在BC边上取一点E，使AEBC；在CD上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等（2）在（1）中，若AB6，AD10，则AEF 的面积 27. （1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边的长分别是_，_时，直角三角形的面积最大；（2）问题解决：如图，在一个的内部作一个矩形，其中点A和点D分别在两直角边上，在斜边上，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图，
8、过点D作所以，又因为四边形是矩形，所以于是，那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，请你按这个思路继续完成这问题：（3）问题拓展：如图，矩形中，点E是边上的动点（点E与两点不重合），连接，点F是边上的动点，过F作交于G，求面积最大值28. 对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，二次函数，为常数，且的图象顶点为（不与坐标原点重合），以为边构造正方形，则称正方形为二次函数的关联正方形，称二次函数为正方形的关联二次函数若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点（1）如图，直接写出二次函数的关联正方形顶点N的坐标_,并验证点N
9、是否为伴随点_（填“是”或“否”）：（2）当二次函数的关联正方形的顶点与位于轴的两侧时，请解答下列问题：若关联正方形顶点、在轴的异侧时，求的取值范围：当关联正方形的顶点是伴随点时，求关联函数的解析式；关联正方形被二次函数图象的对称轴分成的两部分的面积分别为与，若，请直接写出的取值范围2023年江苏省扬州市邗江区二校联考中考一模数学试题一、选择题（每题3分，满分24分）1. 的相反数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，直接得出答案【详解】根据相反数定义，的相反数是，故选：A【点睛】本题考查相反数定义，熟记符号不同的两个数互
10、为相反数是解决问题的关键2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后即可得出答案【详解】A.此项错误；B.此项正确；C.不是同类项不能合并，此项错误；D.，此项错误；故选B【点睛】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键3. 函数中，自变量的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于
11、或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围【详解】解：由函数可得：x+20，x-2，x-2，x-2，故选D.【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负4. 下列几何体的左视图和俯视图相同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过观察各几何体得到左视图与俯视图，进而进行判断即可得解【详解】A.该几何体左视图是：俯视图是：故A选项错误；B.该几何体左视图是：俯视图是：故B选项错误；C.该几何体左视图是：俯视图是：故C选项
12、错误；D.该几何体左视图是：俯视图是：故D选项正确，故选：D【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，建立相关的空间思维是解决本题的关键5. 我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，故
13、选：B【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键6. 已知m是方程的一个根，则的值为（）A. 2023B. 2022C. 2021D. 2020【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解：是一元二次方程的一个根，故选C【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解7. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转90，点B的对应点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】如图，作轴于，先由AOB=B
14、=30，OA=2，得到OB=AB=2，再由旋转的性质可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可得到答案【详解】解：如图，作轴于，AOB=B=30，OA=2，OB=AB=2， 由旋转的性质得，故选A【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由点的运动确定的运动轨迹是在与
15、轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小【详解】解：由已知可得，三角形是等腰直角三角形，又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，当在点时和在点时分别确定的起点与终点，的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小，在中，又是等腰直角三角形，故选：A【点睛】本题考查了直角三角形的性质，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键二、填空题（每题3分，满分30分）9. 据数据显示，截至北京时间2020年12月29日21时30分，全球新冠肺炎确诊病例达8181万例，将81810000这个数字用科学记数法表示为_【答案
16、】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数【详解】解：81810000用科学记数法表示为，故答案为：【点睛】此题考查了科学记数法表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值10. 分解因式：x3-2x2y+xy2=_【答案】x（x-y）2【解析】【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【详解】解：x3-2x2y+xy2，=x（x2-2xy+y2），=x（
17、x-y）2故答案为：x（x-y）2【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止11. 已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是_【答案】5【解析】【分析】根据众数的定义求解即可【详解】解：这组数据中5出现3次，次数最多，所以这组数据的众数是5，故答案为：5【点睛】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数熟练掌握众数的定义是解题的关键12. 若圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是一个半径为6cm的扇形，该圆锥的侧面积是 _cm2【答案】【解析】【分析】
18、侧面展开图的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解【详解】解：圆锥的侧面积为：(cm2)故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了扇形的面积公式13. 如图，河坝的横断面AB的坡比是1:2，坝高BC=3米，则坡面AB的长度是_米【答案】【解析】【分析】在RtABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长【详解】解：在RtABC中，,，故答案为：【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答
19、本题的关键14. 如图，在ABC中，点D，E在边AB，AC上，DEBC，ADE与ABC的周长比为2：5，则AD：DB_【答案】#【解析】【分析】根据已知可知字模型相似三角形，然后利用相似三角形的性质进行计算计算即可解答【详解】解：，与的周长比为，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握字模型相似三角形15. 如图所示的五边形花环，是用五个全等的直角三角形拼成的，则图等于_度【答案】18【解析】【分析】根据题意，这是一个正五边形，由正五边形外角得到每一个内角度数为，结合五边形花环是用五个全等直角三角形拼成的，由图可知正五边形一个内角为一个直角与拼成，从而列等式求解
20、即可得到答案【详解】解：由题意可知，这个图形是正五边形，正五边形一个内角度数为，五边形花环是用五个全等的直角三角形拼成的，故答案为：【点睛】本题考查正五边形内角与外角性质，根据题意，得到正五边形的每一个内角度数及构成是解决问题的关键16. 如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=2，将RtABC绕点A逆时针旋转30后得到RtADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_【答案】【解析】【详解】【分析】先根据勾股定理得到AB=2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到RtADERtACB，于是S阴影部分=SADE+S扇形ABDSABC=S扇形ABD【详解】AC
21、B=90，AC=BC=2，AB=2，S扇形ABD=，又RtABC绕A点逆时针旋转30后得到RtADE，RtADERtACB，S阴影部分=SADE+S扇形ABDSABC=S扇形ABD=，故答案为【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分 =S扇形ABD是解题的关键.17. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则_【答案】2【解析】【分析】连接，证明，得到，从而求出，再利用正切定义求解即可【详解】解：连接，由网格可得：，又，解得：，【点睛】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出的长是解题关键18. 在平面直角坐标系
22、中，抛物线与轴交于点已知点若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围_【答案】【解析】【分析】根据对称轴公式即可求得抛物线对称轴，利用轴上点的坐标特征求出点A的坐标，对于任意实数，都有，可知点在点的上方，令抛物线上的点，可得，分，两种情形分别求解即可解决问题【详解】解：由抛物线，可知，抛物线的对称轴为直线抛物线与轴交于，令，得到，对于任意实数，都有，可知点在点的上方，令抛物线上的点，如图1中，当时，点在点的上方，结合图象可知抛物线与线段没有公共点当时，（a）如图2中，当抛物线经过点时，结合图象可知抛物线与线段恰好有一个公共点（b）当时，观察图象可知抛物线与线段没有公共点（c）如图3中，当时，点
23、在点的下方，结合图象可知抛物线与线段恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的的取值范围是，故答案为：【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数，构建不等式解决问题，属于中考压轴题三、解答题（共96分）19. 计算（1）（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接利用分式的基本性质、分式的混合运算法则进行计算求出答案【小问1详解】；【小问2详解】【点睛】此题主要考查了实数运算和分式的化简，正确掌握实数的运算法则和分式的混合运算
24、是解题关键20. 解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的整数解【答案】，数轴见解析，整数解为，0，1，2【解析】【分析】先求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，最后求出该不等式组的非负整数解即可【详解】解：，解不等式，得：，解不等式，得：，所以，原不等式组的解集是，在数轴上表示为：故不等式组的整数解为，0，1，2【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键21. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按
25、照完成时间分成五组：A组“t45”，B组“45t60”，C组“60t75”，D组“75t90”，E组“t90”将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数【答案】（1）100，图形见解析 （2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人【解析】【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D
26、组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数【小问1详解】这次调查的样本容量是：2525%=100，D组的人数为：100-10-20-25-5=40，补全的条形统计图如图所示：故答案为：100；【小问2详解】在扇形统计图中，B组的圆心角是：360=72，本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，中位数落在C组，故答案为：72，C；【小问3详解】1800=1710（人），答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1
27、710人【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答22. 2020年6月1日，李克强总理称赞地摊经济、小店经济是人间的烟火，是中国的生机一时间，祖国大地上掀起了一股地摊经济的热潮根据城管部门统一规划，甲，乙两兄弟只能从四个街道中各随机选取一个街道摆地摊（1）“甲，乙两兄弟都到街道摆地摊”_事件（填“必然”，“不可能”或“随机”）（2）试用画树状图或列表的方法求甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率【答案】（1）不可能；（2）【解析】【分析】（1）根据甲，乙两兄弟都到街道摆地摊的概率为0，即可判断；（2）列表展示出所有16种等
28、可能的结果，再找出甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有4种，最后根据概率公式即可求解【详解】解：（1）不可能（2） 甲乙根据列表可知共有16种等可能的结果，甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有4种，甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率为【点睛】本题考查列表法或画树状图求概率，解题的关键是列出所有等可能的结果，并指出甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果23. 在“新冠”期间，某小区物管为预防业主感染传播购买A型和B型两种3M口罩，购买A型3M口罩花费了2500元，购买B型3M口罩花费了2000元，且购买A型3M口罩数量是购买B型3M口罩数量的2倍，已知购买一个B型3M口罩比购买一个A
29、型3M口罩多花3元则该物业购买A、B两种3M口罩的单价为多少元？【答案】A种3M口罩的单价为5元，B种3M口罩的单价为8元【解析】【分析】设该物业购买A种3M口罩的单价为x元，则B种3M口罩的单价为(x3)元，根据“用2500元购买A型3M口罩数量是用2000元购买B型3M口罩数量的2倍”列出方程求解即可【详解】设该物业购买A种3M口罩的单价为x元，则B种3M口罩的单价为(x3)元，由题意得，解得，x5，经检验x5是原方程的解，则x38 答：该物业购买A种3M口罩的单价为5元，B种3M口罩的单价为8元【点睛】此题考查了列分式方程解应用题，解题的关键是读懂题意，找出等量关系24. 已知，如图，在
30、中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交，于点，连接，（1）求证：；（2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出，再根据平行线的性质及补角的性质得出，从而利用可作出证明；（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再证明即可得到四边形是菱形【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，（2）（2）连接，四边形是平行四边形，且，又由（1）得，且，四边形是平行四边形，在和中，四边形是平行四边形，四边形是菱形【点睛】本题主要考查了平行四边形的性
31、质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握和证明两个三角形的判定以及菱形的判定定理，此题有一定的难度25. 如图，AB是O的弦，C是O外一点，OCOA，OC交AB于点P，交O于点D，且CPCB（1）判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若A30，OP，求图中阴影部分的面积【答案】（1）相切，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得出结论；（2）先根据直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后根据阴影部分的面积等于
32、的面积减去扇形的面积即可得【详解】解：（1）直线与的位置关系是相切，理由如下：如图，连接，即，又是的半径，直线与的位置关系是相切；（2），由勾股定理得：，即，解得或（不符题意，舍去），则图中阴影部分的面积为【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、圆的切线的判定定理、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的切线的判定定理和扇形的面积公式是解题关键26. 如图，矩形ABCD中，ADAB，（如需画草图，请使用备用图）（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）在BC边上取一点E，使AEBC；在CD上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等（2）在（1）中，若AB6，AD10，则
33、AEF 的面积 【答案】（1）见解析；见解析； （2）【解析】【分析】（1）以A为圆心，BC的长为半径画弧与BC交于点E；连接DE，作DE的垂直平分线与DC交于点F；（2）根据矩形的性质，得AE=AD，利用SSS证AEFADF，得AEF=ADF=90，利用勾股定理得BE=8,再得EC=2，利用勾股定理求出EF=，进而得出面积.【小问1详解】解：如图所示点E即为所求如图所示点F即为所求【小问2详解】解：连接EF，AF在矩形ABCD中AD=BC=10又AEBCAE=AD=10又DF=EFAEFADF（SSS）AEF=ADF=90在RtABE中BE=8EC=BC-BE=2令DF=FE=x，则FC=6
34、-x在RtFCE中FE2=x2=解得x=AEF 的面积为10=故答案为：.【点睛】本题考查了等线段的截取，垂直平分线的画法及性质，全等三角形的判定和性质以及矩形的性质，利用勾股定理求边长等知识点，熟练地掌握基本作图是解决问题的关键.27. （1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边的长分别是_，_时，直角三角形的面积最大；（2）问题解决：如图，在一个的内部作一个矩形，其中点A和点D分别在两直角边上，在斜边上，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图，过点D作所以，又因为四边形是矩形，所以于是，那么求矩形的面积最大，就可以转
35、化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，请你按这个思路继续完成这问题：（3）问题拓展：如图，矩形中，点E是边上的动点（点E与两点不重合），连接，点F是边上的动点，过F作交于G，求面积最大值【答案】（1）5、5；（2）300cm2（3）75cm2【解析】【分析】（1）设一条直角边为x，则另一条直角边为（10-x），根据三角形的面积公式得到面积的函数关系，故可求解；（2）根据题中方法与相似三角形的性质，求出ED=，DF=30-，表示出面积y关于x的二次函数即可求解；（3）作GMBC，ENBC，设BF=x，则CF=30-x，根据得到BFGBCE，求出GM=，在根据SEFG=
36、 SBCE- SBFG- SCEF表示出面积与x的函数关系式，故可求解【详解】解：（1）设一条直角边为x，则另一条直角边为（10-x），根据三角形的面积公式得到面积s=当x=5时，三角形的面积最大为故答案为：5、5；（2）如图，过点作所以，又因为四边形是矩形，所以， 于是，那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边=DH，平行四边形的面积为，EDHEFGED=DF=EF-ED=30-y=AGDF=x（30-）=当AG=20时，y的最大值为300cm2；（3）如图，作GMBC，ENBC点E是边上的动点，点F是边上的动点，BCE的底为BC，高为EN=CDBCE的面积
37、不变又在矩形ABCD中，BCE的面积为 cm2设BF=x，则CF=30-xBFGBCE，即GM=SBFG=，SCEF=SEFG= SBCE- SBFG- SCEF=300-=当BF=x=15时，SEFG有最大值为75cm2【点睛】此题主要考查相似三角形与二次函数综合，解题的关键是根据题意列出二次函数进行求解28. 对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，二次函数，为常数，且的图象顶点为（不与坐标原点重合），以为边构造正方形，则称正方形为二次函数的关联正方形，称二次函数为正方形的关联二次函数若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点（1）如图，直接写出二次函数的关联正方形顶点N
38、的坐标_,并验证点N是否为伴随点_（填“是”或“否”）：（2）当二次函数的关联正方形的顶点与位于轴的两侧时，请解答下列问题：若关联正方形的顶点、在轴的异侧时，求的取值范围：当关联正方形的顶点是伴随点时，求关联函数的解析式；关联正方形被二次函数图象的对称轴分成的两部分的面积分别为与，若，请直接写出的取值范围【答案】（1）或；否 （2）或；或且或【解析】【分析】（1）由点坐标，画出正方形的大致位置，发现可以在的左右两侧，故需分类讨论分别过点、作轴的垂线段、，易证，故有，根据点在第二或第四象限的位置得到点坐标，把的横坐标代入二次函数解析式，求得的函数值与的纵坐标不相等，故点不在二次函数图象上，不是伴
39、随点（2）用配方法求点坐标，画出正方形的大致位置，由（1）可证得，故有，由于点、在轴的异侧，由图可知分别讨论点在第一象限和第四象限时的长（用表示），即得到关于的不等式，进而求得的取值范围过点作直线的垂线段，构造，故有，若点在第一象限时，根据求得用表示点的横纵坐标，由点为伴随点可知点在二次函数图象上，把点坐标代入二次函数解析式得到关于的方程，解方程并讨论的取值即可若点在第四象限，则点在点上方，但二次函数图象开口向下，不可能经过点，即此时不可能为伴随点由，可得画图可知，当点、在轴同侧时对称轴与交于点，故有解得又由可证，通过对应边成比例得，把含的式子代入解不等式即求得的范围当点、在轴异侧时，同理可求
40、的取值范围【小问1详解】解：如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，二次函数顶点，四边形是正方形，在与中，若在左侧，则点在第二象限，时，点不在二次函数的图象上，不是伴随点，若在右侧，则点在第四象限，时，不是伴随点，故答案为：或；否【小问2详解】过点作轴于点，过点作轴于点，由（1）可得：，；如图2，若点在第一象限，与位于轴的两侧，点、在轴的异侧，点在第四象限，解得：；如图3，若点在第四象限，点在第一象限，解得：；综上所述，点、在轴的异侧时，的取值范围为或过点作于点，在与中，；如图2，若点在第一象限，则，点是伴随点，即点在二次函数图象上，解得：（舍去），；如图3，若点在第四象限，则点在点上方，二次函数图象开口向下，点不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点，综上所述，关联函数的解析式为；，；如图4，当点、在轴同侧时（由可知或，对称轴与交于点，即，解得：或；如图5，当点、在轴异侧时，对称轴与交于点，延长交于，即，且，解得：且综上所述，时的取值范围为或且或【点睛】本题考查了新定义的理解和性质运用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，一元一次不等式（组）的解法，一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性质由于正方形顶点位置的不确定，故每小题都需根据情况抓住相同点和不同点进行分类讨论讨论正方形顶点坐标时，常在正方形内构造弦图得到全等三角形，再利用全等三角形性质计算
