1、江苏省南京市六校2021-2022学年高一下期中联考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1. 设复（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数（ ）A. 2B. C. 或4D. 44. 国家射击运动员甲在某次训练中 10次射击成绩（单位：环）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是（ ）A. 众数为7和9B. 方差为C. 平均数为7D. 第70百分位数为85. 如图，在等腰直角AB
2、C，点E，F边BC上两个三等分点，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知，则下列正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在ABC中，点E在线段CD上， ，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 28. 若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，角C平分线CM交边AB于点M，则AM的长为（ ）A. 2B. 4C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A. 复数的虚部为B. C. 复数的共轭复数为D. 若复数满足，则的最
3、大值为210. 第24届北京冬奥会于 2022 年 2月4日2月20日举，世界充分展示了中国的自信，其成功的背后也少不了无数志愿者的辛勤付出，当时对志愿者进行在语言、医疗、驾驶等服务进行综合测试，（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，则下列说法中正确的是（ ）A. 频率直方图中第三组的频数为10B. 根据频率直方图估计样本的众数为75分C. 根据频率直方图估计样本中位数为78分D. 根据频率直方图估计样本的平均数为73分11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A
4、. 的最小正周期为B. 关于点中心对称C. 的最大值为D. 在有三个零点12. 在中，内角、所对应边分别为、，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若点为的重心，则C. 若，三角形有两解，则的取值范围为D. 若点为内一点，且，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13. 疫情期间某学校教学处为调查学生“线上教学”满意率，从全校3个三个年级抽取120学生进行问卷调查，其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人，按照年级人数进行分层抽样，则高三年级抽取人数为_.14. 在ABC中，则_.15. 图1是1992年第七届国际数学教育大
5、会（）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中，则 _， _.16. 若函数恰有个零点，则实数的取值范围是_.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）若实数、满足，求实数、的值.18. 已知，.（1）求的值；（2）求的值.19. 问题：在锐角中，内角，所对的边分别为，且_.在，中任选一个，补充在横线上，并作答：（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.20. 在直角梯形ABCD中，已知，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点.（1）若，求的值；（2）求的取值范
6、围.21. 如图所示，某镇有一块空地，其中 km， km，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M、N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的一周安装防护网（1）当 km时，求OM长度；（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？22 已知函数.（1）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.江苏省南京市六校2021-2022学年高一下
7、期中联考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1. 设复（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.2. 已知角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数定义得到，再利用二倍角公式计算得到答案【详解】角的终边经过点，则.故选：C【点睛】本题考查了三角函数定义，二倍角公式，意在考查学生的计算能力，属于基础题.3. 已知向量，
8、若，则实数（ ）A. 2B. C. 或4D. 4【答案】C【解析】【分析】由已知可得，利用向量垂直的坐标表示，列方程求参数值.【详解】由题设，所以，可得或4.故选：C4. 国家射击运动员甲在某次训练中 10次射击成绩（单位：环）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是（ ）A. 众数为7和9B. 方差为C. 平均数7D. 第70百分位数为8【答案】D【解析】【分析】由众数、方差、平均数的求法判断ABC，再由第70百分位数的定义判断D.【详解】易知众数为7和9，故A正确；平均数为，故C正确；，故B正确；10次射击成绩从小到大依次为，因为，所以第70百分位数为
9、，故D错误；故选：D5. 如图，在等腰直角ABC，点E，F是边BC上两个三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，结合题设可得，利用差角正切公式求值即可.【详解】由图知：，则，由题意，所以.故选：A6. 已知，则下列正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用和角余弦公式、二倍角余弦及正切公式化简a、b、c，结合三角函数的性质比较大小.【详解】由，所以.故选：C7. 如图，在ABC中，点E在线段CD上， ，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析】求出，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为，所以,因为，所以,因为
10、三点共线，所以，所以.（当且仅当时取等）故选：B8. 若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，角C平分线CM交边AB于点M，则AM的长为（ ）A. 2B. 4C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形的面积可得，在和中，利用正弦定理结合，可得与的关系，从而可得出答案.【详解】解：因为的面积，则，所以，在中，因为，所以，在中，因为，所以，因为，所以，所以，即，所以，则，所以，所以.故选：B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A.
11、复数的虚部为B. C. 复数的共轭复数为D. 若复数满足，则的最大值为2【答案】BCD【解析】【分析】利用复数的有关概念及复数的几何性质对各个选项进行判断即可.【详解】复数，则复数的虚部为，故A错误；且，故B正确；复数的共轭复数为，故C正确；令，复数满足，即复数对应的点在以为圆心，以1为半径的圆上，则表示圆上的点与原点的距离，则最大值为2，故D正确；故选：BCD10. 第24届北京冬奥会于 2022 年 2月4日2月20日举，世界充分展示了中国的自信，其成功的背后也少不了无数志愿者的辛勤付出，当时对志愿者进行在语言、医疗、驾驶等服务进行综合测试，（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容
12、量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，则下列说法中正确的是（ ）A. 频率直方图中第三组的频数为10B. 根据频率直方图估计样本的众数为75分C. 根据频率直方图估计样本的中位数为78分D. 根据频率直方图估计样本的平均数为73分【答案】B【解析】【分析】根据各段的频率的和等于，可求出第三段的频率，进而得到频数，可判定A；根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标得到众数的估计值，可判定B；由中位数左右两边的频率各为，可以求得中位数，从而判定C；同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组
13、的频率相乘再求出它们的和即为平均数的估计值，进而判定D【详解】分数在内的频率为，所以第三组的频数为（人），故A错误；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为分，故B正确；因为，所以中位数位于，设中位数为，则，解得，故C错误；样本平均数的估计值为：（分），故D错误故选：B11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. 关于点中心对称C. 的最大值为D. 在有三个零点【答案】AB【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，可判断C选项的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；在时解方程，可判断D选
14、项.【详解】因为.对于A选项，的最小正周期为为，A对；对于B选项，所以，关于点中心对称，B对；对于C选项，的最大值为，C错；对于D选项，当时，由可得或，解得或，所以，函数在有两个零点，D错.故选：AB.12. 在中，内角、所对应边分别为、，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若点为的重心，则C. 若，的三角形有两解，则的取值范围为D. 若点为内一点，且，则【答案】ABD【解析】【分析】利用余弦函数的单调性可判断A选项；利用重心的几何性质可判断BD选项；数形结合求出的取值范围，可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，因为且余弦函数在上为减函数，所以，A对；对于B选项，连接交边于点，则为的中
15、点，且，如下图所示：，所以，所以，B对；对于C选项，若，的三角形有两解，如下图所示：由图可得，即，C错；对于D选项，若点为内一点，且，作，则，则为的重心，由重心的几何性质可知，设，因为，所以，同理可得，所以，因此，D对.故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13. 疫情期间某学校教学处为调查学生“线上教学”的满意率，从全校3个三个年级抽取120学生进行问卷调查，其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人，按照年级人数进行分层抽样，则高三年级抽取人数为_.【答案】32【解析】【分析】根据分层抽样等比例性质求高三年级抽取人数
16、.【详解】由分层抽样等比例性质：高三年级抽取人数为人.故答案为：3214. 在ABC中，则_.【答案】#【解析】【分析】由余弦定理求得，再应用三角形面积公式求面积即可.【详解】余弦定理知：，则，所以，则.故答案为：15. 图1是1992年第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中，则 _， _.【答案】 . . 【解析】【分析】根据题设可得，进而写出，即可求值.【详解】由题设知：，所以，且.故答案为：，.16. 若函数恰有个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】当时，令可知最多有个零点，不合题意；当时，令可求得个可能的零点，分别在、和的情
17、况下，根据恰有个零点可构造不等式求得结果.【详解】当时，则在上无零点；当时，令，解得：，；最多有个零点，不合题意；当时，当时，由得：；由得：或；当时，则需，解得：；当时，满足题意；当时，则需，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故答案：.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够通过对参数范围的讨论得到函数所有可能零点所处的范围，结合零点个数得到大小关系，由此构造不等式求得结果.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）若实数、满足，求实数、的值.【
18、答案】（1） （2），【解析】【分析】（1）利用复数的除法化简复数，根据已知条件求出的值，可得出复数，利用复数的模长公式可求得的值；（2）利用复数的四则运算结合复数相等可出关于实数、的方程组，即可解得实数、的值.【小问1详解】解：纯虚数，则，可得，所以，因此，.【小问2详解】解：由（1）可知，则，由已知可得，解得，.18. 已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）2； （2）.【解析】【分析】（1）由且，结合差角正切公式即可求值.（2）根据二倍角正余弦公式及由弦化切即可求值.【小问1详解】由题设，而.【小问2详解】由.19. 问题：在锐角中，内角，所对的边分别为，且_.在，中任选一个
19、，补充在横线上，并作答：（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由所选条件，应用正余弦定理边角关系、三角形面积公式，将条件转化，并结合和角正弦、辅助角公式及三角形内角性质、正弦函数的性质确定角的范围或函数值范围，进而求得的大小；（2）由正弦定理得，应用差角正弦、辅助角公式将转化为正弦函数形式，利用正弦函数性质求范围.【小问1详解】选：由正弦定理得：，则.所以，而，可得，又，所以，则.选：由，得.又，故.选：由正弦定理得：，而，所以，即，又，所以，可得：，则.【小问2详解】由正弦定理知：，所以，.所以.因为，故，则.所以，故的取值范围为.20.
20、在直角梯形ABCD中，已知，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）2； （2）.【解析】【分析】（1）由、，应用向量数量积的运算律及向量位置关系求即可.（2）令且，同（1）应用向量数量积的运算律得到关于的表示式，即可求值.【小问1详解】由图知：，所以，所以，又，所以.【小问2详解】由（1）知：，令且，则，所以.则.21. 如图所示，某镇有一块空地，其中 km， km，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M、N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在
21、的一周安装防护网（1）当 km时，求OM长度；（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）； （2）； （3），【解析】【分析】(1)先求出OAM，再在中，利用余弦定理即可求出OM；(2)设AOM，根据和三角形面积公式可得，在中，由正弦定理可求sin2，从而可求出AOM的大小；(3)设，由(2)知，在中，由正弦定理表示出OM，根据表示出OMN面积关于的函数，化简根据三角函数最值即可求出其最小值【小问1详解】在RtOAB中，tanOAB，OAB60，在中，由余弦
22、定理得；【小问2详解】设，即，在中，由正弦定理得，即，即，即，由，得，即；【小问3详解】设，由(2)知，又在中，由，得，当且仅当，即时，的面积取最小值为22. 已知函数.（1）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.【答案】（1）； （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质有即可求范围；（2）由对数函数性质确定的单调性和零点，讨论a研究的单调性、值域，进而判断区间内、的大小确定，结合零点存在性定理判断的区间零点分布即可.【小问1详解】由开口向上，对称轴为，且所以在上有两个不同的零点，则，可得.【小问2详解】由对数函数性质知
23、：定义域上递减且值域为，而开口向上，对称轴为且，当时，对称轴为，则上递增且，所以存在，有时，时，则，而上，在上，此时，只有1个零点；当时，且，所以存在，有时，时，则，而上，在上，此时，只有1个零点；当时，且，所以存在，有时，时，则，而上，在上，此时，有两个零点；当时，且，,所以存在，有时，时，则，由（1）知：上有2个零点，在上，此时，有3个零点；当时，在上有两个零点，则，上，在上，此时，有2个零点；当时，且，所以存在，有时，时，则，有上有1个零点，在上，此时，有1个零点；综上，或时有1个零点；或时有2个零点；时有3个零点.【点睛】关键点点睛：第二问，利用对数函数、二次函数性质判断、的大小确定的解析式，结合零点存在性定理研究零点分布.
