1、浙江省温州十校联合体2021-2022学年高二下期中联考数学试题一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.）1. 设集合，则（）A. 2，3B. 1，2，3，5C. 1，2，5D. 1，52. “”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（， ），则的值是（）A. B. C. D. 4. 设a，b，c是空间不同的三条直线，是不同的平面，则下列推导正确的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 45. 一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒
2、逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（）A. B. C. D. 6. 下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：C）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为（）气温x/510152025杯数y2620161414A. 9B. 10C. 11D. 127. 如图，在平面四边形ABCD中，BCD是边长为7的等边三角形，则ABC的面积为（）A. 5B. 7C. 10D. 208. 如图，在直角梯形ABCD中，M是AD的中点，P是梯形ABCD内一点（含
3、边界），若，且，则的最小值是（）A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 10. 如图是一个正方体的表面展开图，还原成正方体后，下列判断正确的是（）A. ACFHB. BG与FH所成角为C. 二面角GABC的大小为D. B，D，E，G恰好是一个正四面体的四个顶点11. 下列结论正确的是（）A 若随机变量，则B. 已知随机变量X，Y满足，若，则C. 某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3
4、名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3D. 三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%， 将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.95312. 已知，且，则（）A. ab的最大值为B. 的最小值为C. 的最小值为D. 的最大值为3三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 若复数z满足（i是虚数单位），则_.14. 在的展开式中的系数为_.15. 从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的五位偶
5、数（用数字作答）.16. 已知函数对任意和任意都有恒成立，则实数a的取值范围是_.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面直角坐标系中，已知向量（1）若，求x的值；（2）若与夹角为，求x值.18. 为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组15，25），第2组25，35），第3组35，45），第4组45，55），第5组55，65），得到如下频率分布直方图：（1）求出频率分布
6、直方图中的a值和这200人的年龄的众数、中位数及平均数；（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取10人，并再从这10人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率；19. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求ABC各内角的大小；（2）若D，E是边BC上的两点，设，ADE的面积为f（a），求函数f（a）的最小值.20. 如图，在四面体ABCD中， ，M是棱AD的中点.（1）求四面体ABCD的表面积和体积；（2）求直线CM与底面BCD所成的角的正弦值.21. 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学抽取20名学生，对他们的课外阅读A类（不参加课外阅读）
7、，B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）.调查结果如下表：A类B类C类男生354女生134（1）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计（2）从抽出女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中B类人数和C类人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）.附：，其中a0.10.050.010.0050.001x02.7063.8416.6357.89710.82822 已知函数，（1）判断
8、 的奇偶性并证明；（2）若，求的最小值和最大值；（3）定义，设.若在内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.浙江省温州十校联合体2021-2022学年高二下期中联考数学试题一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.）1. 设集合，则（）A. 2，3B. 1，2，3，5C. 1，2，5D. 1，5【答案】B【解析】【分析】依据并集的定义去求即可解决.【详解】故选：B2. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.【详解】由推不出，反之，由可以推出所以“”是“”的必要不充分条
9、件故选：B【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.3. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（， ），则的值是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简所求的表达式，通过三角函数的定义求解即可【详解】解：因为角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，所以，所以，故选：D.4. 设a，b，c是空间不同的三条直线，是不同的平面，则下列推导正确的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】依据平行公理可知判断正确；依据线面平行判定定理否定；依据线面垂直性质定理可知判断正确；依据面面平
10、行判定定理否定；依据面面平行判定定理可知判断正确.【详解】.判断正确； 或.判断错误； .判断正确； 或 或与相交. 判断错误；.判断正确；综上，推导正确的3个故选：C5. 一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【详解】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为由，可得，由，可得由t=0时h=0，可得，则，又，则则点P距离水面的高度h（
11、米）与t（秒）的一个函数解析式为故选：A6. 下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：C）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为（）气温x/510152025杯数y2620161414A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析】先求得的值，再据此模型计算出时卖出奶茶的杯数.【详解】，由，可得，则则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为9故选：A7. 如图，在平面四边形ABCD中，BCD是边长为7的等边三角形，则ABC的面积为（）A. 5B. 7C. 10D. 20【答案】C【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB的长
12、度，再去求的值，进而可求得ABC的面积.【详解】由，可得，解之得或（舍）则，又，则则则ABC的面积为故选：C8. 如图，在直角梯形ABCD中，M是AD的中点，P是梯形ABCD内一点（含边界），若，且，则的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系，写出对应的点的坐标与向量的坐标，代入数量积公式计算.【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，则，所以，因为，所以，将代入上式，可得，所以，又，所以，当时，的最小值为.故选：C【点睛】计算向量的数量积时，如果不能直接利用定义求解，可通过建立直角坐标系，利用数量积的坐标表示计算.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共
13、20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据指对数的运算可得答案.【详解】，故选：ABD10. 如图是一个正方体的表面展开图，还原成正方体后，下列判断正确的是（）A. ACFHB. BG与FH所成的角为C. 二面角GABC的大小为D. B，D，E，G恰好是一个正四面体的四个顶点【答案】BCD【解析】【分析】将表面展开图还原为正方体，然后逐项分析即可得出答案.【详解】还原为正方体如图：易得与为异面直线，故A错误；连接，因为，所以四边形为平行四边形，故，故
14、或其补角为异面直线的夹角，设正方体的棱长为，则，所以，所以异面直线与的角为，故B正确；因为平面平面，由于平面，所以，故为二面角的平面角，由于，且，所以，因此二面角的大小为，故C正确；因为，所以恰好是一个正四面体的四个顶点，故D正确.故选：BCD.11. 下列结论正确的是（）A. 若随机变量，则B. 已知随机变量X，Y满足，若，则C. 某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3D. 三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%，
15、将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953【答案】AD【解析】【分析】A选项，B选项分别利用正态分布，二项分布的性质处理，C选项利用古典概型的概率公式计算，D选项利用条件概率解决.【详解】，则正态曲线关于对称，而是关于对称的两个区间，于是，A选项正确；由二项分布的期望方差公式，而，于是，B选项错误；由选项可得，所求的概率为：，C选项错误；根据选项可得，合格品的概率为：，D选项正确.故选：AD12. 已知，且，则（）A. ab的最大值为B. 的最小值为C. 的最小值为D. 的最大值为3【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求解判断【详解】因为，且，A. ，当
16、且仅当时，等号成立，故正确；B. ，当且仅当，即时，等号成立，故正确；C. ，当且仅当时，等号成立，故正确；D. ，当且仅当，即时，等号成立，故错误；故选：ABC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 若复数z满足（i是虚数单位），则_.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.详解】由已知可得，因此，.故答案为：.14. 在的展开式中的系数为_.【答案】280【解析】【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项即可计算指定项的系数.【详解】二项式的展开式通项为，由解得，所以展开式中的系数为280.故答案：28015. 从2，4，6，8中任
17、取3个数字，从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的五位偶数（用数字作答）.【答案】2880【解析】【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合，按位置分析法列式计算作答.【详解】先按给定条件取出偶数和奇数，有种方法，再从3个偶数中取1个放在个位，余下4个数字作全排列，有种方法，由分步乘法计数原理得：，所以一共可以组成2880个没有重复数字的五位偶数.故答案为：288016. 已知函数对任意和任意都有恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将化为关于的二次式子，利用判别式可将不等式化为对任意恒成立，令，可化为或，即可求出.【详解】，因为对任意和任意都有恒
18、成立，所以对任意恒成立，整理可得对任意恒成立，即或，对任意恒成立，即或对任意恒成立，令，则，则或对任意恒成立，所以或，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，又在单调递减，所以，所以或.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面直角坐标系中，已知向量（1）若，求x的值；（2）若与夹角为，求x的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据，由求解；（2）根据与夹角为，得到求解.【小问1详解】解：因为，所以，.又，；【小问2详解】因为， ，则 ，又，.18. 为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠
19、政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组15，25），第2组25，35），第3组35，45），第4组45，55），第5组55，65），得到如下频率分布直方图：（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的众数、中位数及平均数；（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取10人，并再从这10人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率；【答案】（1）；众数40、中位数42.1，平均数41.5 （2）【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图的性质去求a值和众数、中位数及平均数；（2
20、）依据古典概型去求这两人恰好属于同一组别的概率.【小问1详解】由题意得：，所以；众数为最高小矩形底边中点的横坐标，即40；设中位数为x，则平均数为：则可以估计这200人的年龄的众数为40、中位数为及平均数为【小问2详解】利用分层抽样的方法从第一组抽取4人，从第二组抽取6人，依题意，所求的概率为19. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求ABC各内角的大小；（2）若D，E是边BC上的两点，设，ADE的面积为f（a），求函数f（a）的最小值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理求出，由三角形内角和求出；（2）先用正弦定理求得，利用面积公
21、式表达出，结合的范围，求出最小值.【小问1详解】，由正弦定理得：其中，.【小问2详解】由（1）得，ABC为等腰三角形，在ABD中，同理，因为，所以当时，20. 如图，在四面体ABCD中， ，M是棱AD的中点.（1）求四面体ABCD的表面积和体积；（2）求直线CM与底面BCD所成的角的正弦值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据题意得 都是边长为 的正三角形，都是等腰三角形，进而求其面积；法一：利用线面角定义即得；法二：利用向量法线面角公式即得.【小问1详解】（1）连结BM，由已知得，AD面BCM.在BCM中:【小问2详解】（2）令M到面BCD的距离为h，直线CM与底面BCD所成的
22、角为.向量法：表面积求法同上.以BC中点O原点，BC，OD方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（-1，0，0），D（0，0）设A（x，y，z）则.即到平面BCD的距离为，设平面BCD的一个法向量为令直线CM与底面BCD所成的角为.21. 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学抽取20名学生，对他们的课外阅读A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）.调查结果如下表：A类B类C类男生354女生134（1）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有9
23、0%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计（2）从抽出女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中B类人数和C类人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）.附：，其中a0.10.050.010.0050001x02.7063.8416.6357.89710.828【答案】（1）表格见解析，无把握 （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）依据要求填表，并计算出值后，再判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；（2）依据分布列的要求去完成分布列，并依据公式求出随机变量X的均值.【小问1详解】男生女生总计不参
24、加课外阅读314参加课外阅读9716总计12820说明我们没有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；【小问2详解】随机变量X的可能取值为0,1,2,3,，随机变量X的分布列X0123P则22. 已知函数，（1）判断 的奇偶性并证明；（2）若，求最小值和最大值；（3）定义，设.若在内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.【答案】（1）偶函数，证明见解析. （2）， （3）【解析】【分析】（1）结合奇偶性的定义直接证明即可；（2）将看作整体，结合二次函数的性质即可求出最值；（3）由于，则转化为或，然后分类讨论即可求出结果.【小问1详解】是偶函数证：因为的定义域为,且f（x）是偶函数【小问2
25、详解】当，则 又当时，当时，【小问3详解】因为都是偶函数.所以在上是偶函数，因为恰有3个零点，所以，则有：或， 当时，即且时，因为当，令，因为，解得或，所以恰有3个零点，即满足条件：. 当时，即且时，此时，当时，只有1个零点，且，所以恰有3个零点等价于恰有2个零点，所以，解得，此时有2个零点符合要求，当时只有一个零点x=0，有2个零点符合要求，当时，解得或，令解得或（舍去），所以的根为，要使恰有3个零点，则综上：【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点
