1、2016-2017 学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （4 分）准线方程是 y=2 的抛物线标准方程是（ ）Ax 2=8y Bx 2=8y Cy 2=8x Dy 2=8x2 （4 分）已知直线 l1：x y+1=0 和 l2：xy+3=0，则 l1 与 l2 之间距离是（ ）A B C D23 （4 分）设三棱柱 ABCA1B1C1 体积为 V，E ，F，G 分别是 AA1，AB，AC 的中点，则三棱锥 EAFG 体积是（ ）A B C D4 （4 分）若直线 x+
2、y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切，则 m 的值是（ ）A0 或 2 B2 C D 或 25 （4 分）在四面体 ABCD 中（ ）命题：AD BC 且 ACBD 则 ABCD命题：AC=AD 且 BC=BD 则 ABCDA命题都正确 B命题 都不正确C命题正确，命题 不正确 D命题不正确，命题正确6 （4 分）设 m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面考查下列命题，其中正确的命题是（ ）Am ，n，mn B，m， n mnC ，m，n mn D，=m，nmn7 （4 分）正方体 ABCDA1B1C1D1 中，二面角 ABD1B1 的大小是（ ）A B C D8 （4 分）过点（0
3、，2）的直线交抛物线 y2=16x 于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，且 y12y22=1，则OAB（O 为坐标原点）的面积为（ ）A B C D9 （4 分）已知在ABC 中，ACB= ，AB=2BC ，现将ABC 绕 BC 所在直线旋转到PBC，设二面角 PBCA 大小为 ，PB 与平面 ABC 所成角为 ，PC 与平面 PAB 所成角为 ，若 0 ，则（ ）A 且 B 且C 且 D 且10 （4 分）如图，F 1，F 2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共焦点，点 A 是 C1，C 2 的公共点设 C1，C 2 的离心率分别是 e1，e 2，F 1AF2=2，则（
4、）ABCD二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11 （6 分）双曲线 C：x 24y2=1 的渐近线方程是 ，双曲线 C 的离心率是 12 （6 分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积V= cm 3，表面积 S= cm 213 （4 分）已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 M，N 为抛物线上的一点，则满足 = 14 （6 分）已知直线 l1：y=mx +1 和 l2：x= my+1 相交于点 P，O 为坐标原点，则 P 点横坐标是 （用 m 表示） ， 的最大值是 15 （6 分）四面体 AB
5、CD 中，已知 AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是 ，表面积的最大值是 16 （4 分）过双曲线 G： （a0，b 0）的右顶点 A 作斜率为 1 的直线 m，分别与两渐近线交于 B，C 两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线 G 的离心率为 17 （4 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点） ，对确定的常数 m，若满足|PB|+|PD 1|=m 的点 P 的个数为n，则 n 的最大值是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 （14 分）已知抛物线 C：y
6、2=4x，直线 l：y= x+b 与抛物线交于 A，B 两点（）若|AB|=8，求 b 的值；（）若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程19 （15 分）在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点O，EC底面 ABCD，F 为 BE 的中点（）求证：DE平面 ACF；（）求证：BDAE ；（）若 AB= CE，在线段 EO 上是否存在点 G，使 CG平面 BDE？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由20 （15 分）如图，四棱锥 PABCD，PA底面ABCD，ABCD，ABAD，AB=AD=PA=2 ，CD=4， E，F 分别是 PC，PD 的
7、中点（） 证明：EF平面 PAB；（） 求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值21 （15 分）已知点 C（x 0，y 0）是椭圆 +y2=1 上的动点，以 C 为圆心的圆过点 F（1，0） （）若圆 C 与 y 轴相切，求实数 x0 的值；（）若圆 C 与 y 轴交于 A，B 两点，求|FA| |FB|的取值范围22 （15 分）已知椭圆 C 的方程是 ，直线 l：y=kx +m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，若 F1M l，F 2Nl，M ，N 分别为垂足（）证明： ；（）求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值2016-2017 学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试
8、卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （4 分）准线方程是 y=2 的抛物线标准方程是（ ）Ax 2=8y Bx 2=8y Cy 2=8x Dy 2=8x【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在 y 轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x 2=2py（p 0） ，抛物线的准线方程为 y=2， =2，p=4，抛物线的标准方程为：x 2=8y故选 A2 （4 分）已知直线 l1：x y+1=0 和 l2：xy+3=0，则 l1 与 l2 之间距离是（ ）A B C D2【解答】解：已知平行直线 l1：x y+
9、1=0 与 l2：xy+3=0，l 1 与 l2 间的距离 d= = ，故选 C3 （4 分）设三棱柱 ABCA1B1C1 体积为 V，E ，F，G 分别是 AA1，AB，AC 的中点，则三棱锥 EAFG 体积是（ ）A B C D【解答】解：三棱柱 ABCA1B1C1 体积为 V，V=S ABC AA1，E ，F，G 分别是 AA1，AB，AC 的中点，S AFG = ， ，三棱锥 EAFG 体积：VEAFG= = = SABC AA1= 故选：D4 （4 分）若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切，则 m 的值是（ ）A0 或 2 B2 C D 或 2【解答】解：圆 x2+y2
10、=m 的圆心为原点，半径 r=若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切，得圆心到直线的距离 d= = ，解之得 m=2（舍去 0）故选 B5 （4 分）在四面体 ABCD 中（ ）命题：AD BC 且 ACBD 则 ABCD命题：AC=AD 且 BC=BD 则 ABCDA命题都正确 B命题 都不正确C命题正确，命题 不正确 D命题不正确，命题正确【解答】解：对于作 AE面 BCD 于 E，连接 DE，可得 AEBC，同理可得AE BD，证得 E 是垂心，则可得出 AECD，进而可证得 CD面 AEB，即可证出 ABCD，故正确；对于，取 CD 的中点 O，连接 AO，BO ，则 CD
11、 AO，CDBO，AOBO=O，CD面 ABO，AB面 ABO，CDAB，故正确故选 A6 （4 分）设 m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面考查下列命题，其中正确的命题是（ ）Am ，n，mn B，m， n mnC ，m，n mn D，=m，nmn【解答】解：设 m、n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则：m，n，mn 时，、 可能平行，也可能相交，不一定垂直，故 A 不正确，m ，n 时，m 与 n 一定垂直，故 B 正确，m ，n 时，m 与 n 可能平行、相交或异面，不一定垂直，故 C 错误， =m 时，若 nm ，n，则 n，但题目中无条件 n，故 D 也不一定成
12、立，故选 B7 （4 分）正方体 ABCDA1B1C1D1 中，二面角 ABD1B1 的大小是（ ）A B C D【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1 中棱长为 1，则 A（1，0 ， 0） ，B（1 ，1，0） ，B 1（1，1 ，1） ，D 1（0，0，1） ，=（0，1，0） ， =（ 1， 1，1 ） ， =（0，0，1） ，设平面 ABD1 的法向量 =（x ，y，z） ，则 ，取 y=1，得 ，设平面 BB1D1 的法向量 =（a，b ，c ） ，则 ，取 a=1，得 =（1，
13、1，0） ，设二面角 ABD1B1 的大小为 ，则 cos= = = ，= 二面角 ABD1B1 的大小为 故选：C8 （4 分）过点（0，2）的直线交抛物线 y2=16x 于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，且 y12y22=1，则OAB（O 为坐标原点）的面积为（ ）A B C D【解答】解：设直线方程为 x=my+2m，代入 y2=16x 可得 y216my32m=0，y 1+y2=16m，y 1y2=32m，（y 1y2） 2=256m2+128m，y 12y22=1，256m 2（256m 2+128m）=1 ，OAB（O 为坐标原点）的面积为 |y1y2|= 故选
14、：D9 （4 分）已知在ABC 中，ACB= ，AB=2BC ，现将ABC 绕 BC 所在直线旋转到PBC，设二面角 PBCA 大小为 ，PB 与平面 ABC 所成角为 ，PC 与平面 PAB 所成角为 ，若 0 ，则（ ）A 且 B 且C 且 D 且【解答】解：在ABC 中，ACB= ，AB=2BC，可设 BC=a，可得 AB=PB=2a，AC=CP= a，过 C 作 CH 平面 PAB，连接 HB，则 PC 与平面 PAB 所成角为 =CPH，且 CHCB=a，sin= = ；由 BC AC， BCCP，可得二面角 PBCA 大小为 ，即为ACP，设 P 到平面 ABC 的距离为 d，由
15、BC 平面 PAC，且 VBACP=VPABC，即有 BCSACP = dSABC ，即 a a asin= d aa解得 d= sin，则 sin= = ，即有 另解：由 BC AC，BCCP ，可得二面角 PBCA 大小为 ，即为ACP以 C 为坐标原点，CA 为 x 轴，CB 为 z 轴，建立直角坐标系 Oxyz，可设 BC=1，则 AC=PC= ，PB=AB=2，可得 P（ cos， sin，0） ，过 P 作 PM AC，可得 PM平面 ABC，PBM=，sin= = ，可得 ；过 C 作 CN 垂直于平面 PAB，垂足为 N，则CPN=，sin= = = 故选：B10 （4 分）如
16、图，F 1，F 2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共焦点，点 A 是 C1，C 2 的公共点设 C1，C 2 的离心率分别是 e1，e 2，F 1AF2=2，则（ ）ABCD【解答】解：根据椭圆的几何性质可得， =b12tan，e 1= ，a 1= ，b 12=a12c2= c2， =c2（ ）tan根据双曲线的几何性质可得， = ，a 2= ，b 22=c2a22=c2 =c2（ ） =c2（ ） ，c 2（ ）tan=c 2（ ） ，（ ）sin 2=（ ）cos 2， ，故选：B二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11 （6 分）双曲线
17、 C：x 24y2=1 的渐近线方程是 y= x ，双曲线 C 的离心率是 【解答】解：双曲线 C： x24y2=1，即为 =1，可得 a=1，b= ，c= = ，可得渐近线方程为 y= x；离心率 e= = 故答案为：y= x； 12 （6 分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积V= cm3，表面积 S= cm2【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以 V= = cm3，S= + + += 故答案为： ； 13 （4 分）已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 M，N 为抛物线上的一点，则满足 = 【解
18、答】解：设 N 到准线的距离等于 d，由抛物线的定义可得 d=|NF|，由题意得 cosNMF= = =NMF= 故答案为： 14 （6 分）已知直线 l1：y=mx +1 和 l2：x= my+1 相交于点 P，O 为坐标原点，则 P 点横坐标是 （用 m 表示） ， 的最大值是 【解答】解：直线 l1：y=mx+1 和 l2：x=my+1 相交于点 P， ，x=m （mx+1）+1，解得 x= ，y=m +1= ，P 点横坐标是 ； =（ ， ） ， = + = 2，且 m=0 时“=”成立； 的最大值是 故答案为： ， 15 （6 分）四面体 ABCD 中，已知 AB=AC=BC=BD=
19、CD=1，则该四面体体积的最大值是 ，表面积的最大值是 +1 【解答】解：四面体 ABCD 中，AB=AC=BC=BD=CD=1，当平面 ABC平面 BDC 时，该四体体积最大，此时，过 D 作 DE平面 ABC，交 BC 于 E，连结 AE，则 AE=DE= = ，该四面体体积的最大值：Smax= = ABC，BCD 都是边长为 1 的等边三角形，面积都是 S= = ，要使表面积最大需ABD，ACD 面积最大，当 ACCD，ABBD 时，表面积取最大值，此时 = ，四面体表面积最大值 Smax= =1+ 故答案为： ， 16 （4 分）过双曲线 G： （a0，b 0）的右顶点 A 作斜率为
20、1 的直线 m，分别与两渐近线交于 B，C 两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线 G 的离心率为 或 【解答】解：由题得，双曲线的右顶点 A（a，0）所以所作斜率为 1 的直线 l：y=x a，若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） 联立其中一条渐近线 y= x，则 ，解得 x2= ；同理联立 ，解得 x1= ；又因为|AB|=2|AC|，（i）当 C 是 AB 的中点时，则 x2= 2x2=x1+a，把代入整理得：b=3a，e= = = ；（ii）当 A 为 BC 的中点时，则根据三角形相似可以得到 ，x 1+2x2=3a，把代入整理得
21、：a=3b，e= = = 综上所述，双曲线 G 的离心率为 或 故答案为： 或 17 （4 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点） ，对确定的常数 m，若满足|PB|+|PD 1|=m 的点 P 的个数为n，则 n 的最大值是 12 【解答】解：正方体的棱长为 1，BD 1= ，点 P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点） ，满足|PB|+|PD 1|=m，点 P 是以 2c= 为焦距，以 2a=m 为长半轴的椭圆，P 在正方体的棱上，P 应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的 12 条棱上各
22、有一点满足条件满足|PB|+| PD1|=m 的点 P 的个数 n 的最大值是 12，故答案为 12三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 （14 分）已知抛物线 C：y 2=4x，直线 l：y= x+b 与抛物线交于 A，B 两点（）若|AB|=8，求 b 的值；（）若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程【解答】解：（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由抛物线 C：y 2=4x，直线l：y= x+b 得 y2+4y4b=0（2 分）|AB|= |y1y2|= = =8（5 分）解得 b=1（7 分）（）以 AB
23、为直径的圆与 x 轴相切，设 AB 中点为 M|AB|=|y1+y2|又 y1+y2=4（9 分）4= 解得 b= ，则 M（ ， 2）（12 分）圆方程为（x ） 2+（y+2） 2=4（14 分）19 （15 分）在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点O，EC底面 ABCD，F 为 BE 的中点（）求证：DE平面 ACF；（）求证：BDAE ；（）若 AB= CE，在线段 EO 上是否存在点 G，使 CG平面 BDE？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由【解答】解：（I）连接 OF由 ABCD 是正方形可知，点 O 为 BD 中点又 F 为 BE
24、的中点，所以 OFDE又 OF面 ACF，DE 面 ACF，所以 DE平面 ACF （4 分）（II） 证明：由 EC底面 ABCD，BD 底面 ABCD，ECBD，由 ABCD 是正方形可知，ACBD，又 ACEC=C，AC、E 平面 ACE，BD平面 ACE，又 AE平面 ACE，BDAE（9 分）（III）：在线段 EO 上存在点 G，使 CG平面 BDE理由如下：取 EO 中点 G，连接 CG，在四棱锥 EABCD 中，AB= CE，CO= AB=CE，CGEO 由（）可知，BD平面 ACE，而 BD平面 BDE，平面 ACE 平面 BDE，且平面 ACE平面 BDE=EO，CGEO
25、，CG 平面 ACE，CG平面 BDE故在线段 EO 上存在点 G，使 CG平面 BDE由 G 为 EO 中点，得 （14 分）20 （15 分）如图，四棱锥 PABCD，PA底面ABCD，ABCD，ABAD，AB=AD=PA=2 ，CD=4， E，F 分别是 PC，PD 的中点（） 证明：EF平面 PAB；（） 求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值【解答】 （）证明：因为 E，F 分别是 PC，PD 的中点，所以 EFCD，又因为 CDAB，所以 EFAB，又因为 EF平面 PAB，AB平面 PAB，所以 EF平面 PAB（）解：取线段 PA 中点 M，连结 EM，则 EMAC，故
26、 AC 与面 ABEF 所成角的大小等于 ME 与面 ABEF 所成角的大小作 MHAF，垂足为 H，连结 EH因为 PA平面 ABCD，所以 PAAB ，又因为 ABAD，所以 AB平面 PAD，又因为 EFAB，所以 EF平面 PAD因为 MH平面 PAD，所以 EFMH ，所以 MH平面 ABEF，所以MEH 是 ME 与面 ABEF 所成的角在直角EHM 中，EM= AC= ，MH= ，得sin MEH= 所以 AC 与平面 ABEF 所成的角的正弦值是 21 （15 分）已知点 C（x 0，y 0）是椭圆 +y2=1 上的动点，以 C 为圆心的圆过点 F（1，0） （）若圆 C 与
27、y 轴相切，求实数 x0 的值；（）若圆 C 与 y 轴交于 A，B 两点，求|FA| |FB|的取值范围【解答】解：（）当圆 C 与 y 轴相切时，|x 0|= ， （2 分）又因为点 C 在椭圆上，所以 ， （3 分）解得 ， （5 分）因为 ，所以 （6 分）（）圆 C 的方程是（ xx0） 2+（y y0） 2=（x 01） 2+ ，令 x=0，得 y22y0y+2x01=0，设 A（0，y 1） ，B（0，y 2） ，则 y1+y2=2y0，y 1y2=2x01， （8 分）由 ，及 得2 2 x 02+2 ，又由 P 点在椭圆上， x 0 ，所以 ， （10 分）|FA|FB|=
28、= （12 分）= ， （14 分）所以|FA| |FB|的取值范围是（4 ，2 +2 （15 分）22 （15 分）已知椭圆 C 的方程是 ，直线 l：y=kx +m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，若 F1M l，F 2Nl，M ，N 分别为垂足（）证明： ；（）求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值【解答】解：（）证明：将直线的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x2+4y2=12中，得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m212=0由直线与椭圆 C 仅有一个公共点知，=64k 2m24（4k 2+3） （4m 212）=0，化简得：m 2=4k2+3设 d1=|F1M= ，d 2=|F2M|= ，d1d2= = = =3，|F1M|+|F2M|=d1+d2 =2 （）当 k0 时，设直线的倾斜角为 ，则|d 1d2|=|MN|tan|，|MN|= ，S= |MN|（d 1+d2）= = = = ，m 2=4k2+3，当 k0 时， |m| ， + = ，S 当 k=0 时，四边形 F1MNF2 是矩形， 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2
