1、浙江省温州十校联合体2021-2022学年高一下期中联考数学试题一选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 等于（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列说法错误的是（ ）A. 一个八棱柱有10个面B. 任意四面体都可以割成4个棱锥C. 棱台侧棱的延长线必相交于一点D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱4. 是钝角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则最大边c取值范围是（ ）A. B. C. D. 5. 如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所
2、在的直线（ ）A. 平行B. 相交C. 异面直线D. 可能相交，也可能是异面直线6. 如果三个函数的图像交于一点，我们把这个点称“三体点”，若点A是三个函数（t为常数），的“三体点”，其中，则t的值（ ）A. 0B. 1C. D. 7. 在中，且AB边上的高为，则满足条件的的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 38. 平面向量，满足与的夹角为，且，则正实数（ ）A. 有最小值，但无最大值B. 有最小值也有最大值C. 无最小值，但有最大值D. 既无最小值也无最大值二多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分
3、，部分选对的得3分）9. 下面给出的关系式中，正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 已知复数，其中z为虚数，则下列结论中正确的是（ ）A. 当时，的虚部为B. 当时，C. 当时，D. 当时，11. 已知平行六面体的体积为12，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 612. 已知函数，且对于任意，都有，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. 的表达式可以写成C. 在区间上单调递增D. 若，则三填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 若，则_.14. 已知向量，满足，同一平面上任意点M关于点A的对称点为S，
4、点S关于点B的对称点为N，则_.15. 如图所示，有棱长为2正方体，P为正方体表面的一个动点，若三棱锥的体积为1，则的取值范围是_.16. 在中，其中O为的外心，则的面积最大值为_.四解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17. 如图，已知O为平面直角坐标系的原点，（1）求和的坐标；（2）求向量在向量上的投影向量的坐标.18. 已知函数某一周期内的对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；（2）根据（1）的结果，若函数的最小正周期为，求函数在区间上的值域19. 把一个半径为3的圆，剪成三个完全一样的扇形（如图1所示），分别卷成相同的无底圆锥（衔
5、接处忽略不计）（1）求一个圆锥的体积；（2）设这三个圆锥的底面的圆心分别为，将三个圆锥的顶点重合并紧贴一起，记顶点为P（如图2所示），求三棱锥的表面积.20. 请先阅读下列材料；在作战中，有经验的步兵往往能通过“跳眼法”估测物体和自己的距离.具体过程如下：第一步，向正前方伸直左手手臂，竖起拇指；第二步，将右眼闭上，靠左眼观察目标，伸直并端平并移动（可以把左眼到左手拇指的距离看成手臂长），使得目标恰好位于拇指左侧边缘处；第三步，伸出的手臂保持不动，闭上左眼，靠右眼观察，大体估计从左手拇指左侧看到的另一物体与目标的距离；最后即可根据该距离以及你手臂长度两眼间距来计算你到目标的距离.一般自动步枪有效
6、射程为400，现一人需用自动步枪射击目标P，先采用“跳眼法”预测自己与目标P的距离，此人手臂长60，双眼间距6，面朝正北方向，测量时与上述第一步第二步完全相同，第三步用右眼观察时，拇指左侧恰好对准的是参照物Q，参照物Q在目标P的北偏西，且与目标P的距离为133.2，（如图所示）（1）求（2）若此人在A处开枪射击，请问目标P否在射程范围内？请说明理由.21. 已知在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且.（1）若，求B；（2）若，求最大值.22. 点Q在半径为1的圆P上运动的同时，点P在半径为2的圆O上运动，O为定点，PQ两点的初始位置（如图1所示），其中，且两点均以逆时针方向运动，当点P转过
7、角度时，Q转过的角度为2（如图2所示），其中且，G为的重心，（1）求证：为定值；（2）把三个实数a，b，c的最小值记为，若，求m的取值范围.浙江省温州十校联合体2021-2022学年高一下期中联考数学试题一选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算化简求解.【详解】解：.故选：A2. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数与复平面内的点一一对应，即可求出结果.【详解】由知其对应点为，而点在第四象限；故正确答案
8、为【点睛】本题考查复数的几何意义，熟记几何意义即可，属于基础题型.3. 下列说法错误的是（ ）A. 一个八棱柱有10个面B. 任意四面体都可以割成4个棱锥C. 棱台侧棱的延长线必相交于一点D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱【答案】D【解析】【分析】根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A说法正确；对于选项B：任意四面体，在四面体内取一点为，将点与四面体的各个顶点连，即可构成4个棱锥，故B说法正确；对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确；对于选项D：矩形以一边所在
9、直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误.故选：D4. 是钝角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则最大边c取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由与的值，利用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出的取值范围，然后再由三角形为钝角三角形，得到小于0，利用余弦定理表示出，把与的值代入，根据小于0列出关于的不等式，求出不等式的解集，取范围的公共部分，即可得到最大边的取值范围【详解】解：，即，又为钝角三角形，最大边为边，所以角为最大角，故，根据余弦定理得，即，即，解得：，则最大边的取值范围是，故选：B5
10、. 如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（ ）A. 平行B. 相交C. 是异面直线D. 可能相交，也可能是异面直线【答案】C【解析】【分析】将展开图还原成长方体，即可判断【详解】如图，将展开图还原成长方体，易得线段AB与线段CD是异面直线，故选：C6. 如果三个函数的图像交于一点，我们把这个点称“三体点”，若点A是三个函数（t为常数），的“三体点”，其中，则t的值（ ）A. 0B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，由求得即可.【详解】解：由题意得：，则，即，即，解得或（舍去），因为，所以，所以，故选：B7. 在中，且AB边上的高为，则满
11、足条件的的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据面积得到，利用正弦定理结合三角恒等变换得到，再求出，结合正弦函数的图象和性质得解.【详解】解：由三角形的面积公式知，即.由正弦定理知，所以，即，即，即，所以，所以 所以所以，又，则，所以，因为，所以满足的有2个，即满足条件的的个数为2.故选：C8. 平面向量，满足与的夹角为，且，则正实数（ ）A 有最小值，但无最大值B. 有最小值也有最大值C. 无最小值，但有最大值D. 既无最小值也无最大值【答案】D【解析】【分析】由可得，又与的夹角为且，进而根据向量减法的几何意义及向量夹角的定义可得，从而可得答案.【详解】解
12、：由，可得，即，所以，由题意，所以，所以，又因为与的夹角为，所以，又，所以，所以，所以正实数既无最小值也无最大值，故选：D.二多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 下面给出的关系式中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由数量积的定义依次判断即可.详解】对于A，显然不一定相等，A错误；对于B，B正确；对于C，故，C正确；对于D，则，D错误.故选：BC.10. 已知复数，其中z为虚数，则下列结论中正确的是（ ）A. 当时，的虚部为B. 当时，C. 当时，
13、D. 当时，【答案】AB【解析】【分析】由，利用复数的运算转化为复数的代数形式判断.【详解】A. 当时，则的虚部为，故正确；B. 当时，则，故正确；C.当时，则，故错误；D.设，则，若，则，即，则，故错误.故选：AB11. 已知平行六面体的体积为12，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】AC【解析】【分析】结合图形分两种情况可解得结果.【详解】解：设平行六面体体积为如左图，当取顶点时，则该四面体体积；如右图，当取顶点时，则该四面体体积.故选：AC.12. 已知函数，且对于任意，都有，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小正周
14、期为B. 的表达式可以写成C. 在区间上单调递增D. 若，则【答案】AD【解析】【分析】将化为只含有一个三角函数形式，根据确定函数的一个对称中心，由此确定，得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：，又，则是函数的对称中心，所以，即又，所以的最小正周期，故A正确；因为，故B错误；令，即，解得，所以函数的单调递增区间为，当时，单调递增区间为，因为，故C错误；对于D：若，即，所以，故D正确；故选：AD三填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 若，则_.【答案】【解析】【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：因为，所以；故答案为：14. 已知向量，满足
15、，同一平面上任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则_.【答案】4【解析】【分析】如图，根据平面向量的平行四边形法则和减法法则可得，两边同时平方，结合题意计算即可得出结果.【详解】如图，由平面向量的平行四边形法则可得，又，所以，所以.故答案为：4.15. 如图所示，有棱长为2的正方体，P为正方体表面的一个动点，若三棱锥的体积为1，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据三棱锥的体积求出点到平面的距离，如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，结合图形即可得出答案.【详解】解：设点到平面的距离为，则，所以，如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，故点在四边形的边
16、上，则当点在点的位置时，最小，为，当点在点的位置时，最大，为，所以的取值范围是.故答案为：.16. 在中，其中O为的外心，则的面积最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积的定义得到，即，由余弦定理求得，得到，结合面积公式求得，设，得到，利用基本不等式求得，即可求得面积的最大值.【详解】由题意，设角所对的边为，因为点O为的外心，可得，所以，即，即，又由余弦定理可得，所以，则的面积，设，可得，又因为，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，即的面积的最大值为.故答案为：.四解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17. 如图，已知O为平面直角坐标
17、系的原点，（1）求和的坐标；（2）求向量在向量上的投影向量的坐标.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）依题意求出、的坐标，即可得解；（2）首先求出，再根据数量积的几何意义求出向量在向量上的投影，从而求出投影向量；【小问1详解】解：依题意，设，则，所以，所以，【小问2详解】解：由（1）可得，所以在向量上的投影长度为，所以在向量上的投影向量为18. 已知函数某一周期内的对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；（2）根据（1）的结果，若函数的最小正周期为，求函数在区间上的值域【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由表格提供的数据知，且，由此得，再把代入，又，求出的值，即
18、可得的解析式；（2），由函数的最小正周期为，得，从而，根据，利用整体思想即可求解函数在区间上的值域【小问1详解】解：由表格提供的数据知，且，解得，把代入，得，又，解得，；【小问2详解】解：，函数的最小正周期为，解得，所以， 所以，所以函数在区间上的值域为.19. 把一个半径为3的圆，剪成三个完全一样的扇形（如图1所示），分别卷成相同的无底圆锥（衔接处忽略不计）（1）求一个圆锥的体积；（2）设这三个圆锥的底面的圆心分别为，将三个圆锥的顶点重合并紧贴一起，记顶点为P（如图2所示），求三棱锥的表面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）依题意求出圆锥的底面周长，设底面半径为，即可取出，再由勾
19、股定理求出圆锥的高，最后由体积公式计算可得；（2）由对称性可知为等边三角形，且，圆锥的母线与的夹角为，即可得到，再设底面圆与圆的圆锥在底面的交点为，设，即可求出，从而求出，再由余弦定理求出，即可求出，再求出，最后根据计算可得；【小问1详解】解：依题意圆锥的底面周长为，设底面半径为，则，解得，所以圆锥的高，所以圆锥的体积【小问2详解】解：由对称性可知为等边三角形，设圆锥的母线与的夹角为，则；记底面圆与圆的圆锥在底面的交点为，设，则；所以，由余弦定理，所以，连接与交于点，则，所以，所以20. 请先阅读下列材料；在作战中，有经验的步兵往往能通过“跳眼法”估测物体和自己的距离.具体过程如下：第一步，向
20、正前方伸直左手手臂，竖起拇指；第二步，将右眼闭上，靠左眼观察目标，伸直并端平并移动（可以把左眼到左手拇指的距离看成手臂长），使得目标恰好位于拇指左侧边缘处；第三步，伸出的手臂保持不动，闭上左眼，靠右眼观察，大体估计从左手拇指左侧看到的另一物体与目标的距离；最后即可根据该距离以及你手臂长度两眼间距来计算你到目标的距离.一般自动步枪有效射程为400，现一人需用自动步枪射击目标P，先采用“跳眼法”预测自己与目标P的距离，此人手臂长60，双眼间距6，面朝正北方向，测量时与上述第一步第二步完全相同，第三步用右眼观察时，拇指左侧恰好对准的是参照物Q，参照物Q在目标P的北偏西，且与目标P的距离为133.2，
21、（如图所示）（1）求（2）若此人在A处开枪射击，请问目标P是否在射程范围内？请说明理由.【答案】（1） （2）详见解析【解析】【分析】（1）易得，再由求解；（2）由，得到CM，进而得到CP，然后由AP=AC+CP与400m比较即可.【小问1详解】解：如图所示：，所以 ，所以，；【小问2详解】因为，且，所以，即，解得，则，所以，所以目标P不在射程范围内.21. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）若，求B；（2）若，求的最大值.【答案】（1） （2）4【解析】【分析】（1）由正弦定理可将已知条件化为，即，进而可得，然后根据三角形的面积公式及余弦定理可得，从而即可求解角B的大小
22、；（2）由（1）知，则由余弦定理可得，又，进而可得，联立可得，最后利用均值不等式重要变形即可求解.【小问1详解】解：在中，因为，所以由正弦定理可得， 所以，又，所以，所以，由正弦定理可得，因为，所以，即,因为，所以由余弦定理有，所以，即，因为，所以，所以，即；【小问2详解】解：由（1）知，所以由余弦定理有，即，因为，所以，所以，即，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为4.22. 点Q在半径为1的圆P上运动的同时，点P在半径为2的圆O上运动，O为定点，PQ两点的初始位置（如图1所示），其中，且两点均以逆时针方向运动，当点P转过角度时，Q转过的角度为2（如图2所示），其中且，G为的重心，（1）求证：为定值；（2）把三个实数a，b，c的最小值记为，若，求m的取值范围.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】分析】(1)由图可得、，根据平面向量的线性运算和坐标表示求得，结合重心的定义求出点G的坐标，利用向量数量积的坐标表示即可证明；(2)结合(1)可知的坐标，利用向量数量积的坐标表示分别求出、，结合的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题意知，建立如图平面直角坐标系，由图可知，所以，由为的重心，得，且，所以，则，即为定值；【小问2详解】由(1)知，则，同理，可得，又，所以，有，所以的最小值为，即m的取值范围为.
