1、2023届北京市石景山区高三一模数学试卷一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则=（A）（B）（C）（D）（3）已知双曲线的离心率是，则（A）（B）（C）（D）（4）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（A）（B）（C）（D）（5）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知数列满足：对任意的，都有，且，则（A）（B）（C）（D）（7）若函数的部分图象如图所示，则的值是（A）（B）（C）（D）（8）在不考虑空气阻力的条件下，火
2、箭的最大速度单位：与燃料的质量单位：，火箭除燃料外的质量单位：的函数关系是当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（A）（B）（C）（D）（9）已知直线被圆所截得的弦长为整数，则满足条件的直线有（A）条（B）条（C）条（D）条（10）已知正方体的棱长为，点为正方形所在平面内一动点，给出下列三个命题：若点总满足，则动点的轨迹是一条直线；若点到直线与到平面的距离相等，则动点的轨迹是抛物线；若点到直线的距离与到点的距离之和为，则动点的轨迹是椭圆其中正确的命题个数是（A）（B）（C）（D）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（1
3、1）向量，若，则_.（12）抛物线的焦点坐标为_，若抛物线上一点的纵坐标为，则点到抛物线焦点的距离为_（13）若的展开式中含有常数项，则正整数的一个取值为_（14）设函数 若，则的最大值为_； 若无最大值，则实数的取值范围是_（15）项数为的有限数列的各项均为不小于的整数，满足，其中.给出下列四个结论：若，则； 若，则满足条件的数列有个；存在的数列；所有满足条件的数列中，首项相同其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）(本小题满分13分)如图，在中，点在边上，（）求的长；（）若的面积为，求的长（17）（本小题满分13分）某高校“植
4、物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和缓释肥对农作物影响情况其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应三组观察一段时间后，分别从三组随机抽取株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表株高增量（单位：厘米）第组鸡冠花株数第组鸡冠花株数第组鸡冠花株数假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立（）从第组所有鸡冠花中随机选取株，估计株高增量为厘米的概率；（）分别从第组，第组，第组的所有鸡冠花中各随机选取株，记这株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；（）用“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，直接写出方差
5、的大小关系（结论不要求证明）（18）（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点（）求证：；（）从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小条件：；条件：平面平面；条件：.注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分（19）（本小题满分15分)已知椭圆过点，且离心率为.（）求椭圆的方程；（）过点且互相垂直的直线分别交椭圆于两点及两点求的取值范围（20） (本小题满分15分)已知函数.（）当时，（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：，（）若
6、在上恰有一个极值点，求的取值范围（21） (本小题满分15分)若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列.，当时，；若存在某一项，则存在，使得且（）若，写出所有数列的前四项；（）若，判断数列是否为等差数列，请说明理由；（）在所有的数列中，求满足的的最小值参考答案及评分一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）C（3）B（4）D（5）A（6）B（7）A（8）D（9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12） （13）3（只要是正整数倍即可） （14） （15）三、解答题（共6小题，共85分）（16）(本小题满分13分)解：（）因为，所以在中，因为
7、，所以在中，由正弦定理得，所以（）的面积为，得，因为，所以又因为，所以在中，由余弦定理得所以（17）(本小题满分13分)解：（）设事件为“从第组所有鸡冠花中各随机选取株，株高增量为厘米”，根据题中数据，第组所有鸡冠花中，有株鸡冠花增量为厘米所以估计为（）设事件为“从第组所有鸡冠花中各随机选取株，株高增量为厘米”，设事件为“从第组所有鸡冠花中各随机选取株，株高增量为厘米”，根据题中数据，估计为，估计为根据题意，随机变量的所有可能取值为，且， 所以，估计为；估计为；估计为；估计为所以的分布列为所以估计为（）（18）(本小题满分14分)解：（）证明：因为底面是正方形，所以，平面，平面,所以平面又因为
8、平面与交于点.平面，平面平面所以 .（）选条件侧面为等腰直角三角形，且即，平面平面，平面平面，平面,则平面，又为正方形，所以.以点为坐标原点，方向分别为轴,轴,轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则因为，所以点为的中点，则从而：，设平面的法向量为：，则，令，可得（方法2：因为为等腰三角形，则平面，则平面的法向量）设平面的法向量为：，则，令，可得所以则两平面所成的锐二面角为选条件侧面为等腰直角三角形，且即，可得平面，平面，则.又因为则平面平面则因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点又因为，所以为等腰直角三角形，下面同选条件侧面为等腰直角三角形，且，即平面平面，平面平面，平面,则平面为正方形，所
9、以.又因为则平面，平面则因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点.下面同（19）(本小题满分15分)解：（）因为椭圆过点，故，则，故椭圆的标准方程为：.（）当直线斜率不存在分别代入椭圆方程得：所以：可得：，当直线斜率不存在时，同理可得，当斜率均存在且不为时，设直线斜率为，则直线斜率为设直线的方程为：，由，得，同理可知：设直线的方程为：，则综上所述：的取值范围是（20）(本小题满分15分)解：（）当时，,（） ，又，所以切线方程为（）解法一：，因为，所以，,所以，所以所以在单调递增，所以解法二：令，则所以，函数在单调递增所以，即令，则所以，函数在单调递增所以，即所以（）， ，当时，所以，由（）知，
10、所以在上单调递增所以当时，没有极值点当时，因为与在单调递增所以在单调递增所以，所以使得所以当时，因此在区间上单调递减当时，因此在区间上单调递增故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.（21）(本小题满分15分)解：（）由条件知，当时，或.因为，由条件知.所以数列的前四项为：；.（）若，数列是等差数列.由条件知，当时，或.因为，所以.假设数列中存在最小的正整数（），使得.由条件知，单调递增，即均为正数，且.所以.由条件知，则存在，使得.此时与均为正数矛盾，所以不存在整数（），使得，即.所以数列为首项为公差为的等差数列.（）由及条件，可得，必为数列 中的项，记该数列为，有.不妨令，由条件，或，均不为；此时或或或，均不为上述情况中，当，时，结合，则有由，得即为所求
