1、2023年河北省唐山市滦州市九年级摸底考试数学试卷一、选择题1. 若使得算式20.25的值最小，则“”中填入的运算符号是（）A. +B. C. D. 2. 国家统计局发布数据显示，年出生人口人数据“”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 如图，用5个小正方体分别摆成甲、乙两个几何体，对于其三视图说法正确的是（ ）A. 主视图、俯视图，左视图都相同B. 主视图、俯视图都相同C. 俯视图，左视图都相同D. 主视图、左视图都相同4. 下列各式正确是（）A. 4B. 3C. 8D. 445. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍这个多边形
2、的边数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 87. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则O的度数为（）A. 30B. 45C. 60D. 758. 如图，在ABC中，ABC=90，EF、BG分别是ABC的中位线和中线，则下列说法不正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 一组数据3，5，5，7，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（）A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 众数10. 如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上若，则（ ）A. 36B. 45C. 54D. 6411. 把一张长方形纸片按如
3、图，图的方式从右向左连续对折两次后得到图，再在图中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）A. B. C. D. 12. 如图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若CED的周长为6，则ABCD的周长为（）A. 6B. 12C. 18D. 2413. 某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（）A 11B. 12C. 13D. 1414. 如图，在中，则的度数是（ ）A.
4、B. C. D. 15. 疫情期间进行线上教学，为保证学生的身体健康，某校规定四项特色活动：舞蹈、跳绳、踢毽、武术，要求每位学生任选一项在家锻炼，小明从全校1200名学生中随机调查了部分学生，对他们所选活动进行了统计，并绘制了尚不完整的条形图和扇形图，如图所示，下列结论错误的是（ ）A. 调查了40名学生B. 被调查的学生中，选踢毽的有10人C. D. 全校选舞蹈的估计有250人16. 如图，在矩形纸片中，沿对角线剪开（如图1）；固定，把沿方向平移（如图2），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离等于（ ）A. 1B. 1.5C. 2D. 3二、填空题17. 已知，则_18. 如图，已知
5、海岛在海岛的正东方向，从海岛观测货船在其北偏东方向上，从海岛观察货船在其北偏东方向上，则的度数是_19. 如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去（1）的值为_；（2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为_分钟三、解答题20. 琪琪在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“”键再输入“b”，就可以得到运算（1）按此程序
6、；（2）若琪琪输入数“1”加“”键再输入“x”后，电脑输出的数为1，求x的值；（3）嘉嘉运用琪琪设置的在这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行，”你能说出嘉嘉在什么地方出现问题了吗？21. 观察下列式子：，（1）请写出第5个等式： ；（2）根据你发现的规律，请写出第n个等式： （3）试用所学知识说明你所写出的等式的正确性；22. 如图，的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是中心对称图形的概
7、率是 ；（2）若甲、乙均可在本层移动，用画树状图法或列表法求出黑色方块所构成拼图是轴对称图形的概率23. 某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元该店计划一次购进这两种蔬菜共56千克，并能全部售出设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这56千克蔬菜获得的总利润为y元（1）求y与x的关系式；（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？24. 如图，在中，以为直径作，分别交边和边于点和点，过点作交于点，延长交延长线于点，过点作于点（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）证明：；（3）若，求图中阴影部分的面积
8、25. 如图，x轴上依次有A，B，D，C四个点，且，从点A处向右上方沿抛物线发出一个带光的点P（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴；（2）通过计算说明点P是否会落在点C处；（3）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（4）在x轴上从左到右有两点E，F，且，从点F向上作轴，且在沿x轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P能落在边EG（包括端点）上，直接写出点G横坐标的最大值与最小值26. 如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接点和点分别是边，的中点（1）【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，_，直线与相
9、交所成的锐角的度数为_度（2）【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由（3）【拓展探究】如图3，若，AB=6，在E点运动过程中，直接写出GN的最小值2023年河北省唐山市滦州市九年级摸底考试数学试卷一、选择题1. 若使得算式20.25的值最小，则“”中填入的运算符号是（）A. +B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将运算符号放入方框，计算即可作出判断【详解】解： 而 则使得算式-20.25的值最小时，则“”中填入的运算符号是， 故选：D【点睛】本题考查了有理数的加减乘除运算，有理数的大小比较，熟
10、练掌握运算法则是解本题的关键2. 国家统计局发布数据显示，年出生人口人数据“”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数【详解】解：故选：C【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键3. 如图，用5个小正方体分别摆成甲、乙两个几何体，对于其三视图说法正确的是（ ）A. 主视图、俯视图，左视图都相同B. 主视图、俯视图都相同C.
11、 俯视图，左视图都相同D. 主视图、左视图都相同【答案】D【解析】【分析】根据主视图得出俯视图来判断，根据左视图得出主视图来判断；根据俯视图得出俯视图来判断即可【详解】解：从前面看得到的图形是主视图，甲乙两图形都是两行三列，左边列2个正方形，中间列1个正方形，右边列1个正方形，甲乙两几何体的主视图相同；从左边看得到的图形是左视图甲乙两图形都是两行两列，左边列2个正方形，右边列1个正方形，甲乙两几何体的左视图相同；从上往下看得到的图形是俯视图，甲图右边列2个正方形，乙图中间列2个正方形，甲乙两几何体的俯视图不相同A主视图、俯视图，左视图不都相同，本选项不正确；B主视图、俯视图不都相同，本选项不正
12、确；C俯视图，左视图不都相同，本选项不正确；D主视图、左视图都相同，正确；故选：D【点睛】本题考查几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键4. 下列各式正确的是（）A. 4B. 3C. 8D. 44【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断【详解】解：A、=4，故该项不正确；B、=3，故该项正确；C、没有意义，故该项不正确；D、4-4=4-4，故该项不正确；故选：B【点睛】此题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，正确掌握二次根式的性质是解题的关键5. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，
13、合并同类项，同底数相除，逐项判断即可求解【详解】解：A，故本选项错误，不符合题意；B，故本选项错误，不符合题意；C，故本选项错误，不符合题意；D，故本选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，积乘方，合并同类项，同底数相除，上周五相关运算法则是解题的关键6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍这个多边形的边数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】多边形的外角和是360，则内角和是2360=720设这个多边形是n边形，内角和是（n2）180，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n2）180
14、=2360，解得：n=6即这个多边形为六边形故选B7. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则O的度数为（）A. 30B. 45C. 60D. 75【答案】C【解析】【分析】根据作图的方法得出OBC是等边三角形，即可得到答案【详解】解：连接BC， 由题意可得：OB=OC=BC， 则OBC是等边三角形， 故选：C【点睛】本题主要考查了基本作图：作等边三角形，再利用等边三角形的性质解题是关键8. 如图，在ABC中，ABC=90，EF、BG分别是ABC的中位线和中线，则下列说法不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案
15、】D【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF=AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BG=AG=CG=AC，据此判断即可【详解】解：EF是ABC的中位线，EF=AC，BG是ABC的中线，BG=AG=CG=AC=EF，故选项A、B、C都正确，而AE与CF不一定相等，故选项D不正确，符合题意，故选：D【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键9. 一组数据3，5，5，7，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（）A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 众数【答案】C【解析】【
16、分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可【详解】解：原数据的3，5，5，7的平均数为5，中位数为5，众数为5，方差为（35）2+（55）22+（75）22；新数据3，5，5，5，7的平均数为5，中位数为5，众数为5，方差为（35）2+（55）23+（75）21.6；所以添加一个数据5，方差发生变化，故选：C【点睛】本题考查了众数、中位数、方差、平均数，解题关键是熟练掌握相关概念和公式10. 如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上若，则（ ）A. 36B. 45C. 54D. 64【答案】C【解析】【分析】由136，可得余角354，再由两直线平行，
17、内错角相等，可得2的度数为【详解】解：如图所示：136，390154，l1l2，2354，故选：C【点睛】本题主要考查平行线的性质，互余的意义，掌握平行线的性质是解题的关键11. 把一张长方形纸片按如图，图的方式从右向左连续对折两次后得到图，再在图中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：重新展开后得到的图形是C，故选C考点：剪纸问题12. 如图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若CED的周长为6，则ABCD的周长为（）A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】B【解析
18、】【详解】四边形ABCD是平行四边形，DC=AB，AD=BC，AC的垂直平分线交AD于点E，AE=CE，CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，ABCD的周长=26=12，故选B13. 某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】A【解析】【分析】根据“总利润=每瓶利润日均销售量”列方程求解可得【详解】解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意
19、的， ，解得x1=11， x2=13，当x1=11时， ，当x2=13时， ，且，尽快减少库存，每瓶该饮料售价为11元故选：A【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程14. 如图，在中，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在中，根据垂径定理可知=,根据圆周角定理可知， 即可求出的度数.【详解】解：在中， 根据垂径定理可知=, 根据圆周角定理可知， 故选D.【点睛】考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键.15. 疫情期间进行线上教学，为保证学生的身体健康，某校规定四项特色活动：舞蹈、跳绳、踢毽、武
20、术，要求每位学生任选一项在家锻炼，小明从全校1200名学生中随机调查了部分学生，对他们所选活动进行了统计，并绘制了尚不完整的条形图和扇形图，如图所示，下列结论错误的是（ ）A. 调查了40名学生B. 被调查的学生中，选踢毽的有10人C. D. 全校选舞蹈的估计有250人【答案】D【解析】【分析】先根据选择舞蹈的人数为10人，所占百分比为25，可得调查的学生总数判断A；再用总数分别减去三项的人数和即可判断B；求出武术所占的百分比，再乘以360判断C；最后用选择舞蹈的人数所占百分比乘以全校总人数判断D【详解】根据统计图可知调查的学生总数为1025=40（人），所以调查了40名学生A不符合题意；选踢
21、毽子的学生有40-10-12-8=10（人）B不符合题意；C不符合题意；251200=300（人）所以全校选舞蹈的估计有300人D符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，掌握统计图的特点是解题的关键16. 如图，在矩形纸片中，沿对角线剪开（如图1）；固定，把沿方向平移（如图2），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离等于（ ）A 1B. 1.5C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】可设=x，则=2-x，设与AC交于点E，解直角三角形求出根据面积公式求出即可【详解】如图2，设与AC交于点E，tanDAC=AD=2，DC=3，=，两个三角形重叠部分的面积是，当x=1
22、时，阴影部分的面积最大，=1，故选：A【点睛】本题考查解直角三角形和二次函数的最值，能求出=是解此题的关键二、填空题17. 已知，则_【答案】2【解析】【分析】把4写成即可求出m的值【详解】解：且，故答案为：2【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确把4写成是解答本题的关键18. 如图，已知海岛在海岛的正东方向，从海岛观测货船在其北偏东方向上，从海岛观察货船在其北偏东方向上，则的度数是_【答案】#36度【解析】【分析】连接，根据题意可得，从而利用平行线的性质可求出，然后再利用三角形的外角进行计算即可解答【详解】解：连接，如图：由题意得：，是的一个外角，故答案：【点睛】本题考查了方向角，根据题目已
23、知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键19. 如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去（1）的值为_；（2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为_分钟【答案】 . 50 . 20【解析】【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令时即可求解，再利用待定系数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得时对应的
24、的值求差即可【详解】解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为，过点，当时，则，解得，设第一次循环过程中一次函数的解析式为，由题意得 ，解得 ，一次函数的解析式为，当时，则，解得，当时则，解得，分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为（分钟）故答案为：（1）50；（2）20【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及求函数值，理解题意是解题的关键三、解答题20. 琪琪在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“”键再输入“b”，就可以得到运算（1）按此程序 ；（2）若琪琪输入数“1”加“”键再输入“x”后，电脑输出的数为1，求x的值；（3）嘉嘉运用琪琪设置
25、的在这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行，”你能说出嘉嘉在什么地方出现问题了吗？【答案】（1） （2）1 （3）【解析】【分析】（1）根据题目所给的新定义列式计算即可；（2）根据题目所给的新定义列出对应的方程，解方程即可得到答案；（3）根分式无意义的条件分析即可求解【小问1详解】解：由题意得，【小问2详解】解：由题意得：，解得：，经检验得，是方程的解，x的值为1；【小问3详解】解：输入数“a”加“”键再输入“b”，就可以得到运算错误出现在“”键再输入“0”，根据分式有意义的条件可知，分母不为0，当操作无法进行时，出现了分母为0的情形，错误出现在“”键再输入“0”，即【点睛】本题主要考查了新定
26、义下的实数运算，解分式方程，分式有意义的条件，正确理解题意是解题的关键21. 观察下列式子：，（1）请写出第5个等式： ；（2）根据你发现的规律，请写出第n个等式： （3）试用所学知识说明你所写出的等式的正确性；【答案】（1） （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）根据规律写出第5个等式即可求解；（2）根据规律写出第个式子即可求解；（3）根据单项式乘以多项式以及完全平方公式计算等式的左右两边，即可求解【小问1详解】或故答案为：或【小问2详解】故答案为：【小问3详解】证明：左边右边；【点睛】本题考查了数字类规律，单项式乘以单项式，完全平方公式，掌握以上知识是解题的关键22. 如图，的方格分为
27、上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是中心对称图形的概率是 ；（2）若甲、乙均可在本层移动，用画树状图法或列表法求出黑色方块所构成拼图是轴对称图形的概率【答案】（1） （2），画图见解析【解析】【分析】（1）若乙固定在E处，求出移动甲后黑色方块构成的拼图一共有多少种可能，其中是轴对称图形的有几种可能，由此即可解决问题；（2）画出树状图即可解决问题【小问1详解】若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼
28、图一共有3种可能，只有位于C处是中心对称图形，所以若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是【小问2详解】总共有9种等可能的结果，黑色方块所构成拼图是轴对称图形的结果5种，所以，所求的概率为【点睛】本颗考查中心对称图形，树状图、概率公式等知识，解题的关键是几种基本概念，学会画树状图解决概率问题，是本题解题关键23. 某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元该店计划一次购进这两种蔬菜共56千克，并能全部售出设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这56千克蔬菜获得的总利润为y元（1）求y与x的关系式；（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的，则
29、该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？【答案】（1） （2）购进甲、乙两种蔬菜分别为16千克、40千克时，获得的总利润最大【解析】【分析】（1）设该店购进甲种蔬菜x千克，则该店购进乙种蔬菜千克，根据题意可得y与x的关系式（2）根据乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的，列不等式得出x的取值范围，根据一次函数的性质求解即可【小问1详解】解：设该店购进甲种蔬菜x千克，则购进乙种蔬菜千克，由题意得：，即【小问2详解】由题意得：，解得，随x的增大而减小，当时，y取得最大值，该店购进甲种蔬菜16千克，乙种蔬菜（千克），答：购进甲、乙两种蔬菜分别为16千克、40千克时，获得的总利润最大【点睛】本
30、题考查一次函数、一元一次不等式的应用，明确题意，利用一次函数的性质是解题关键24. 如图，在中，以为直径作，分别交边和边于点和点，过点作交于点，延长交的延长线于点，过点作于点（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）证明：；（3）若，求图中阴影部分的面积【答案】（1）与相切，理由见解析； （2）见解析； （3）.【解析】【分析】（1）连接DO，OEOD，证明ODBD即可得BD是O的切线；（2）证明，即可得EHCF；（3）连接，过点作于点，OKG90，BC，求得，证明OAG是等腰三角形， ，得，四边形ODCK是正方形，DOG60，利用即可得到答案【小问1详解】证明：与相切,理由如下：如图1，连
31、接,， ，,，ODBD，OD是的半径，与相切;【小问2详解】证明：如图2，连接,为直径，,，AEF是等腰三角形， 于点，交于点，FCDEHD90，在和中，;【小问3详解】解：如图3，连接，过点作于点，则OKG90，OKGACB180，,，,，OAG是等腰三角形， ，ODCDCKOKG90，四边形ODCK是正方形，DOK90，【点睛】此题考查圆的综合应用，涉及圆的切线、三角形全等判定及性质、扇形的面积公式、解直角三角形等，解题的关键是作辅助线，将阴影部分分割成规则图形面积之差25. 如图，x轴上依次有A，B，D，C四个点，且，从点A处向右上方沿抛物线发出一个带光点P（1）求点A的横坐标，且在图中
32、补画出y轴；（2）通过计算说明点P是否会落在点C处；（3）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（4）在x轴上从左到右有两点E，F，且，从点F向上作轴，且在沿x轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P能落在边EG（包括端点）上，直接写出点G横坐标的最大值与最小值【答案】（1），画图见解析 （2）不会落在点处 （3）顶点为，对称轴为直线 （4）最大值为8，最小值为【解析】【分析】（1）令，则，解得或6，求得；（2）由（1）可知抛物线与轴的另一个交点为，根据，即可判断点不会落在点处；（3）把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标和对称轴；（4）求出抛物线与轴的交点，以及时，点的坐标，判断出两种特殊位置点的横坐标的
33、值，可得结论【小问1详解】解：图形如图所示，抛物线，令，则，解得或6，点的横坐标为；【小问2详解】由（1）可知抛物线与轴的另一个交点为，点不会落在点处；【小问3详解】，抛物线的顶点为，对称轴为直线；【小问4详解】当时，解得，抛物线经过，中，当点与重合时，点的横坐标的值最大，最大值为8，当点与，重合时，点的横坐标最小，最小值为，点横坐标的最大值为8，最小值为【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题26. 如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度
34、，得到线段AF，连接点和点分别是边，的中点（1）【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，_，直线与相交所成的锐角的度数为_度（2）【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由（3）【拓展探究】如图3，若，AB=6，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值【答案】（1）；30； （2）两个结论均成立；证明见解析； （3）GN的最小值为1.【解析】【分析】（1）根据已知和旋转的性质可得均为等边三角形，求出AE，BE，EN，从而可求出以及直线与相交所成的锐角的度数；（2）成立，连接AM、AN，证明，再证明MA
35、NBAE即可得出结论；（3）方法同（2）可求出NMC=45，由勾股定理得，进一步得出得，再根据垂线段最短可得结论【小问1详解】AB=AC，是等边三角形，点E是边的中点AEBC 由旋转的性质可得：AE=AF，是等边三角形AEF=60， AE=2EN 故答案为：；30【小问2详解】上述两个结论均成立；连接AM、ANAB=AC，ABC为等边三角形M是BC中点，AMBC，即BMA=90在直角ABM中，B=60，BAM=30，同理可得EAN=30，MAN=BAE，MANBAE，AMN=ABE=60，NMC=AMC-AMN=9060=30，综合得：，直线BE和MN相交所成的锐角的度数为30;【小问3详解】如图， ， ，M是BC的中点， ， ，同（2）可得， ， ，根据垂线段最短可知：当时，GN最小，此时，是等腰直角三角形，GN=1.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键
