1、计算-公式类计算-平方差公式课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方差公式B1.熟悉平方差公式2.能够灵活应用平方差公式进行计算。少考知识提要平方差公式平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 精选例题平方差公式 1. 计算：24682008123420062-1234200512342007= 【答案】24682008【分析】原式=24682008123420062-(12342006-1)(12342006+1)=24682008 2. 将一个边长为整数的大正方形分成 97 个边长都是整数的小正方形，若其中 96 个小正方形的边长是 1，则大正方形的边长是 【答案】25 或 14 或
2、 11 或 10【分析】设大正方形的边长为 a，分成的边长不是1的小正方形的边长为 b，则有 a2=b2+96，那么，a+ba-b=96，由于 a+b 与 a-b 奇偶性相同，而乘积为偶数，所以 a+b 与 a-b 均为偶数，且 a+ba-b，可能的情况包括：a-b=2a+b=48a-b=4a+b=24a-b=6a+b=16a-b=8a+b=12,分别解得大正方形的边长 a 为 25 或 14 或 11 或 10 3. 利用平方差公式巧算：（1）1332-332= 2692-312= （2）8991= 152148= 【答案】（1）16600；71400；（2）8099；22496【分析】（1
3、）1332-332=133+33133-33=16600；2692-312=269+31269-31=71400；（2）8991=90+190-1=902-12=8099；154148=150+2150-2=1502-22=22496 4. a、b 代表任意数字，若 (a+b)(a-b)=aa-bb，这个公式在数学上称为平方差公式根据公式，你来巧算下列各题吧（1）98102 = （2）6773 = （3）6428 = （4）229331 = 【答案】（1）9996；（2）4891；（3）1792；（4）5394【分析】（1）98102=(100-2)(100+2)=100100-22=1000
4、0-4=9996;（2）6773=(70-3)(70+3)=7070-33=4900-9=4891;（3）6428=23228=2(30+2)(30-2)=2(3030-22)=1792;（4）229331=23(30-1)(30+1)=6(900-1)=5400-6=5394. 5. 计算：22+42+62+1002-12+32+52+99213+23+33+1003= 【答案】15050【分析】原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(2+1)(2-1)(1+2+3+100)2=(1+2+3+100)(1+2+3+100)2=1(1+2+3+100)=1505
5、0. 6. 如图，从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是 【答案】(a+b)(a-b)=a2-b2【分析】如图，左图中阴影部分的面积为 a2-b2，右图中阴影部分的面积为 (a+b)(a-b)，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为 (a+b)(a-b)=a2-b2（反过来写也可） 7. 计算 12-32+52-72+92-112-472+492 = 【答案】1249【分析】原式=492-472+452-432+52-32+12=(49+47+45+43+5+3)2+1=(3+49)24+1=1249. 8.
6、计算：102-92+82-72+62-52+42-32+22-12 = 【答案】55【分析】原式=(10+9)(10-9)+(8+7)(8-7)+(6+5)(6-5)+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55. 9. 计算：49995001= 【答案】24999999【分析】原式=(5000-1)(5000+1)=50002-12=2499999910. 计算：(10595+10397)-(10793+10199)= 【答案】16【分析】原式=(1002-52+1002-32)-(1002-72+1002-12)=72+12-52-32=50-
7、25-9=16.11. 如果 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么 a+b 的值是 【答案】4【分析】因为 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，所以 2(a+b)2-12=63，所以 a+b=412. 计算：(1-122)(1-132)(1-142)(1-152)(1-1482)(1-1492)= 【答案】2549【分析】1-122=(1-12)(1+12)=1232，1-132=(1-13)(1+13)=2343，所以，原式=1232234348495049=125049=254913. 计算：2007-8.58.5-1.51.510160-0.3= 【答案】12.2【分
8、析】原式=2007-8.5+1.58.5-1.510160-0.3=2007-7160-0.3=12.214. 计算：5050+4951+4852+4753+4654= 【答案】12470【分析】原式=502+50-150+1+50-250+2+50-350+3+50-450+4=502+502-12+502-12+502-22+502-32+502-42=52500-1+4+9+16=12500-30=12470.15. 计算：12345671234567-12345661234568= 【答案】1【分析】原式=12345672-(1234567-1)(1234567+1)=12345672
9、-(12345672-12)=1.16. 计算：3.1415252-3.1415152= 【答案】1256.6【分析】原式=3.1415(25+15)(25-15)=1256.617. 计算：2008+2007200920082009-1+2009+2008201020092010-1= 【答案】2【分析】原式=2008+(2008-1)(2008+1)2008(2008+1)-1+2009+(2009-1)(2009+1)2009(2009+1)-1=2008+20082-12008+20082-1+2009+20092-12009+20092-1=218. 如图，在边长为 a 的正方形中剪
10、去一个边长为 b 的小正方形（ab），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式 【答案】(a+b)(a-b)=a2-b2【分析】左图中阴影部分的面积为 a2-b2，右图中阴影部分的面积为 12(2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b)，故验证了公式 (a+b)(a-b)=a2-b2（反过来写也可）19. 已知：a2-b2=(a+b)(a-b)，计算：1002-992+982-972+962+42-32+22-12 = 【答案】5050【分析】原式=(100+99)(100-99)+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)=100+99+3+2+1=5050.20.
11、计算：115+214+313+412+511+610+79+88= 【答案】372【分析】原式=(8-7)(8+7)+(8-6)(8+6)+(8-5)(8+5)+(8-4)(8+4)+(8-3)(8+3)+(8-2)(8+2)+(8-1)(8+1)+88=82-72+82-62+82-52+82-42+82-32+82-22+82-12+82=828-(12+22+32+42+52+62+72)=512-78156=37221. 314159262-3141592531415927= ； 12342+87662+24688766= 【答案】 1； 100000000【分析】观察可知 31415
12、925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a=31415926，原式=a2-a-1a+1=a2-a2-1=1;原式=12342+87662+212348766=1234+87662=100002=100000000.22. 计算：22+42+62+1002-12+32+52+9921+2+3+100= 【答案】1【分析】原式=1002-992+982-972+22-121+2+3+100=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(2+1)(2-1)1+2+3+100=100+99+98+97+2+11+2+3+100=1.23. 有一串数 1，
13、4，9，16，25，36，它们是按一定规律排列的，那么其中第 1990 个数与第 1991 个数相差 【答案】3981【分析】这串数中第 1990 个数是 19902，而第 1991 个数是 19912，它们相差19912-19902=(1991+1990)(1991-1990)=1991+1990=3981.24. 计算：1119+1218+1317+1416= 【答案】870【分析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式原式=152-42+152-32+152-22+152-12=1524-12+22+32+42=900-30=870.25. 计算：(205195+2021
14、98)-(207193+203197)= 【答案】29【分析】原式=(2002-52+2002-22)-(2002-72+2002-32)=72+32-52-22=49+9-25-4=29.26. 计算：20092009-20082008= 【答案】4017【分析】方法一：原式=20092008+1-2009-12008=20092008+2009-20092008+2008=2009+2008=4017;方法二：原式=20092-20082=2009+20082009-2008=40171=4017.27. 算式 (1919-1212)1912-1219 【答案】228【分析】(1919-1
15、212)1912-1219=(192-122)192-1221219=(192-122)1219192-122=1219=22828. 利用平方差的公式想想，20 的平方是 ，399 能写成哪两个连续奇数的乘积： ，那 3599 能写成 【答案】400；1921；5961【分析】202=400；399=400-1=202-12=2119；3599=3600-1=602-12=596129. 计算：1002-992+982-972+22-12= 【答案】5050【分析】原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(2+1)(2-1)=100+99+98+97+2+1=5
16、050.30. 计算：33.8752-3182 = 【答案】1132.5【分析】原式=33.8752-3.8752=33.875+3.87533.875-3.875=37.7530=1132.531. 计算：123+234+345+8910= 【答案】1980【分析】原式=222-1+332-1+442-1+992-1=23+33+43+93-2+3+4+9=1+2+3+92-1-2+3+4+9=452-45=1980.32. 计算：12+32+52+992+1012-22+42+62+1002= 【答案】5151【分析】原式=12+32-22+52-42+1012-1002=1+2+3+4+
17、100+101=515133. 观察下列各式，你会发现什么规律？3515，而 15=42-1，5735，而 3562-1，1113=143，而 143=122-1将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 【答案】n-1n+1=n2-1【分析】观察第一个算式，15=16-1，可知这个算式中的 4=(3+5)2后面每个算式都具有这个规律，所以可以猜想这个算式的规律为：n-1n+1=n2-134. 20092009-20082008= 【答案】4017【分析】方法一：原式=20092008+1-2009-12008=20092008+2009-20092008+2008=2009+2008=40
18、17.方法二：原式=20092-20082=2009+20082009-2008=40171=4017.35. 计算：2020-1919+1818-1717+22-11 = 【答案】210【分析】利用平方差公式：2020-1919=(20+19)(20-19)=20+19，1818-1717=18+17，22-11=2+1于是，原式=20+19+18+17+2+1=(20+1)202=210.36. 计算：1129+1228+1921= 【答案】3315【分析】原式=202-92+202-82+202-12=2029-12+22+92=3600-1691019=3315.37. 计算：13+2
19、4+35+911= 【答案】375【分析】原式=2-12+1+3-13+1+10-110+1=22-1+32-1+102-1=22+32+102-9=12+22+32+102-10=1011216-10=375.38. 计算：(5545-3743)-(3221+1)22= 【答案】10【分析】原式=(50+5)(50-5)-(40-3)(40+3)-66422=2475-1591-66422=2475-225522=22022=1039. 计算：13+115+135+163+199+1143+1195= 【答案】715【分析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：3=22-1=13，
20、15=42-1=35，195=142-1=1315，所以原式=113+135+157+179+1911+11113+11315=1211-13+1213-15+12113-115=1211-115=71540. 算式 6767-3434+67+34 的计算结果是 【答案】3434【分析】原式=(67+34)(67-34)+101=10133+101=10134=343441. 计算：1213+2235+3257+50299101= 【答案】1263101【分析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为 22-1，42-1，62-1，1002-1，可以
21、发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了原式=142222-1+4242-1+6262-1+10021002-1=141+122-1+1+142-1+1+162-1+1+11002-1=1450+113+135+157+199101=1450+121-13+13-15+15-17+199-1101=1450+121-1101=145050101=1263101.42. 算式 (63-163)(1-163) 的计算结果是 【答案】64【分析】原式=(632-1)(63-1)=(63-1)(63+1)(63-1)
22、=6443. 计算 12-22+32-42+52-62+172-182+192= 【答案】190【分析】这个题目重新整理得：12+(32-22)+(52-42)+(72-62)+(192-182)=1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+(19+18)(19-18)=1+3+2+5+4+19+18=1+2+3+4+17+18+19=209+10=190.44. 一根铁丝，第 1 次截去总长度的 122，第 2 次截去剩余长度的 132，第 3 次截去剩余长度的 142 第 2008 次截去剩余长度的 120092，此时该铁丝还剩 2010 厘米，那么该铁丝原长为 厘米【答案】4018【
23、分析】设铁丝的原长度为 a 厘米，则根据题意可知：a1-1221-1321-1421-120092=2010,a1+121-121+120091-12009=2010,a324320102009122320082009=2010，a10052009=2010，a=401845. 计算：（1）314159262-3141592531415927= ；（2）12342+87662+24688766= 【答案】（1）1；（2）100000000【分析】（1）观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a=31415926，原式=a2-a-1a+1=a2-a
24、2-1=1;（2）原式=12342+87662+212348766=1234+87662=100002=100000000.46. 计算：10199-10098+9997-9896+53-42 = 【答案】5047【分析】原式=1002-1-992+1+982-1-972+42-1-32+1=1002-992+982-972+42-32=100+99+98+97+4+3=5050-3=5047.47. 看规律 13=12，13+23=32，13+23+33=62，试求 63+73+143 = 【答案】10800【分析】原式=13+23+143-13+23+53=1+2+3+142-1+2+3+
25、4+52=1052-152=105-15105+15=90120=10800.48. 计算：123456.62-123456.5123456.7= 【答案】0.01【分析】原式=123456.62-(123456.6-0.1)(123456.6+0.1)=0.12=0.0149. 计算：12+3222-1+22+4232-1+32+5242-1+982+1002992-1= 【答案】19847514950【分析】12+3222-1=103，22+4232-1=208，32+5242-1=3415，由于 103=243，208=248，3415=2415，可见原式=2422-1+2432-1+2
26、442-1+24992-1=298+4113+124+135+198100=196+4121-13+12-14+13-15+198-1100=196+21+12-199-1100=196+3-21999900=19847514950.50. 计算：12-22+32-42+20052-20062+20072= 【答案】2015028【分析】原式=20072-20062+52-42+32-22+12=(2007-2006)(2007+2006)+(2005-2004)(2005+2004)+(3-2)(3+2)+1=2007+2006+2005+2004+3+2+1=122007+12007=20
27、15028.51. 计算：31245+42356+53467+1210111314= 【答案】75616【分析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：原式=3212345+4223456+5234567+1221011121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：32=15+4，42=26+4，52=37+4原式=3212345+4223456+5234567+1221011121314=15+412345+26+423456+37+43
28、4567+1014+41011121314=1234+1345+1456+1111213+412345+423456+434567+41011121314=12123-134+134-145+11112-11213+11234-12345+12345-13456+110111213-111121314=12123-11213+11234-111121314=112-121213+124-111121314=18-77+111121314=18-121114=18-1308=7561652. 计算：(22+42+62+1002)-(12+32+52+992)1+2+3+10+9+2+1= 【答案
29、】50.5【分析】原式=22-12+42-32+62-52+1002-9921+2+3+10+9+2+1=2+1+4+3+6+5+100+99102=50.553. 算式 201722-1+201742-1+201762-1+201720142-1+201720162-120161-20162-20164-20168-201616-201632-201664 = 【答案】32【分析】原式=2017(113+135+157+120152017)2016(1-12-14-116-132-164)=201712(1-12017)2016164=3254. 计算：132-1+152-1+172-1+1
30、92-1+1112-1+1132-1= 【答案】314【分析】这题是利用平方差公式进行裂项：a2-b2=(a-b)(a+b)，原式=124+146+168+1810+11012+11214=12-14+14-16+16-18+18-110+110-112+112-11412=12-11412=314.55. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有 对【答案】12【分析】a2-b2=(a+b)(a-b)=2016.a+b 与 a-b 奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差，20164=504=22327 的因
31、数有 24 个，即 12 组不同的分拆，故有 12 组解56. 计算：32+132-1+52+152-1+72+172-1+19932+119932-1+19952+119952-1= 【答案】9979971996【分析】原式=1+232-1+1+252-1+1+272-1+1+219932-1+1+219952-1=997+224+246+219941996=997+12-14+14-16+11994-11996=997+12-11996=9979971996.57. 计算：（1）552-452；（2）632-372【答案】（1）1000；（2）2600【分析】（1）原式=(55+45)(5
32、5-45)=10010=1000；（2）原式=(63+37)(63-37)=10026=260058. 计算：2+122+124+1232+1+1【答案】264【分析】原式=2-12+122+124+1232+1+1=264.59. 已知 a2-b2=27，a、b 是正整数，求 a、b 的值【答案】14、13 或 6、3【分析】(a+b)(a-b)=127=39.a+b=27a-b=1,所以a=(27+1)2=14,b=27-14=13.或者a+b=9a-b=3,所以a=(9+3)2=6,b=9-6=3.60. 计算：1+121+141+1161+12561+122n【答案】2-124n-1【
33、分析】原式=21-121+121+141+1161+122n=21-124n=2-124n-1.61. 下图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形它们的面积已在图中标出（单位：平方米）黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大？请说明理由【答案】两个白色正方形的面积大【分析】此题用到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)19972-19962=(1997+1996)(1997-1996)=1997+1996=3993 19932-19922=(1993+1992)(1993-1992)=3985所以 199721996219932-19922即 19972+1992219962+1
34、9932，两个白色正方形的面积大62. 计算： 72x-34y72x+34y； (-3x-5y)(-3x+5y)【答案】 494x2-916y2； 9x2-25y2【分析】 原式=72x2-34y2=494x2-916y2； 原式=(-3x)2-(5y)2=9x2-25y2；63. 计算： (x+3)(x-3)(x2+9)； (2a+3b)(4a+5b)(2a-3b)(5b-4a)；【答案】见解析【分析】 (x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81；原式=(4a2-9b2)(25b2-16a2)=100a2b2-64a4-225b4+144a2b2=-64a4+24
35、4a2b2-225b4.64. 能不能找到一个自然数，它加上 10，减去 10 之后都是完全平方数？【答案】26【分析】设加上 10 后的数是 A2，减去 10 后的数是 B2；那么根据平方差公式A2-B2=A+BA-B=20.因为 A+B 和 A-B 是同奇偶的所以 20 也应该拆成 2 个同奇偶性的数的乘积因此A+BA-B=102A+B=10A-B=2A=6B=4.所以这个数是 36-10=2665. 求积 A 的个位数字：A=2+122+124+128+1216+1232+1264+1【答案】5【分析】A=2-12+122+1264+1=264-1264+1=2128-1. 2n 各位数
36、字的循环 4 个一周期，周期为：2、4、8、6，1284=32，所以 2128 个位为 6，故 2128-1 个位为 5（另解：5 的奇数倍个位一定是 5）66. 计算： (2+1)(22+1)(24+1)(22n+1)； (1-122)(1-133)(1-142)(1-1102)； 1002-992+982-972+962+22-12；【答案】 24n-1； 1120； 5050【分析】原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(22n+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(22n+1)=(24-1)(24+1)(22n+1)=(28-1)(22n+1)=(22n)2-1=24
37、n-1;原式=1-121+121-131+131-141+141-1101+110=1232234334459101110=121110=1120;原式=(100-99)(100+99)+(98-97)(98+97)(2-1)(2+1)=100+99+98+972+1=(100+1)10012=5050.67. 已知 a2-b2=133，a、b 是正整数，求 a、b 的值【答案】67、66 或 13、6【分析】观察算式发现 a2-b2=(a+b)(a-b) 只要把 133 写成两个数的正整数的积 133=1133=197 再利用和差公式分别求出 a 与 b原式=(a+b)(a-b)=1331=197.a+b=133a-b=1,所以a=(133+1)2=67,b=67-1=66.或者a+b=19a-b=7,所以a=(19+7)2=13,b=19-13=6.68. 两个完全平方数的差为 51，且这两个完全平方数之间没有其他的完全平方数，求这两个数？【答案】676，625【分析】设较大的平方数为 B2，较小的平方数
