1、应用题-经典应用题-方阵问题基本知识课程目标知识点考试要求具体要求考察频率页码问题基本知识C1.学会区分数和数字2.利用奇偶性解决页码问题3.解决简单的与页码数字有关的问题少考知识提要页码问题基本知识 概述页码问题是根据书的页码而编制出来的一类应用题编一本书的页码，计算一共需要多少个数码；反过来，知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书的页数这是页码问题中的两个基本内容数是由数字组成的，数由无数个，但数字只有10种，即 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，数字也称为数码。页码也可称为页数，它是由数字组成，一个数字组成一位数，两个数字组成两位数 页码（页数）的个数是无限的。为了顺利地解答页
2、码问题，我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系一位数共有9个，组成所有的一位数需要9个数码；两位数共有90个，组成所有的两位数需要290180（个）数码；三位数共有900个，组成所有的三位数需要39002700（个）数码为了清楚起见，我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数码个数、组成所有不大于n位的数需要的数码个数之间的关系列表如下：由上表看出，如果一本书不足100页，那么排这本书的页码所需的数码个数不会超过189个；如果某本书排的页码用了10000个数码，因为28891000038889，所以这本书肯定是上千页一本书的页码有以下规律：1、同一张纸的正反面页码是先奇后偶的两个相
3、邻自然数2、任意翻开的两页页码是先偶后奇的两个相邻自然数3、任意翻开的两页的页码和除以4余14、同一张纸的页码和除以4余3精选例题页码问题基本知识 1. 一套数学书分上下两册，编页码时共用了 2010 个数码又知上册比下册多 28 页，那么上册有 页【答案】385【分析】每册书从第 1 页到第 99 页有数码 9+902=189（个），两册书共有 1892=378（个）三位数页码的数码共 2010-378=1632（个），含 16323=544（页）两册书共有 992+544=742（页），上册书共有 (742+28)2=385（页） 2. 有一本科幻小说书，它的任意连续 15 页中必有一页是
4、图画，另外 14 页是文字，已知这本书一共有 10 页图画，那么这本书最少一共有 页，最多一共 页【答案】最少 136 页，最多 164 页【分析】从第 1 页图片开始算起，它接下来的 14 页都是文字，接下来又是 1 页图片，14 页文字，到第 10 页图片，一共至少有(1+14)9+1=136(页),这种情况下首尾两端各加 14 页文字，仍然符合题意，即最多有 136+214=164（页） 3. 如图，经典童话一书共有 382 页，则这本书的页码中数字 0 共有 个【答案】68【分析】1382 中，个位每 10 个数中出现一个 0，38210=382,每 10 个数中最后一个数个位为 0，
5、所以个位中共有 38 个 0，199 中十位上没有 0，十位有 0 的有，100109，200209，300309，共 30 个，所以共38+30=68(个). 4. 一本书的页码依次是 1、2、3、4 一共有 2796 个数字组成，这本书有多少页？【答案】968 页【分析】19 页，9 个数字，1099 页，(99-10+1)2=180（个）数字，所以排在三位数的页数有(2796-9-180)3=869(页),所以这本书有9+90+869=968(页) 5. 一本书的页码从 1 至 62，即共有 62 页在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次结果，得到的和数为 200
6、0问：这个被多加了一次的页码是几？【答案】47【分析】因为这本书的页码从 1 至 62，所以这本书的全书页码之和为：1+2+61+62=62(62+1)2=1953.由于多加了一个页码之后，所得到的和数为 2000，所以 2000 减去 1953 就是多加了一次的那个页码，是 2000-1953=47 6. 给一本书编页码，一共用了 225 个数字，这本书一共有多少页？【答案】111【分析】19 页每页上的页码是一位数，共需数字：19=9(个)；1099 页每页上的页码是两位数，共需数字：290=180(个)；100999 页每页上的页码是三位数，共需数字：3900=2700(个)；9+180
7、2251145,估算可得，当 n=48 时，n(n+1)2=11761145，1176-1145=31，即撕掉的这一张纸的页码和为 31，又任何一张纸上的两个页码，都是奇数在前偶数在后，所以这一张的两页分别为第 15 页和第 16 页12. 将所有自然数，自 1 开始依次写下去得到：12345678910111213，试确定第 206788 个位置上出现的数字【答案】7【分析】一位数 9 个位置，二位数 180 个位置，三位数 2700 个位置，四位数 36000 个位置，还剩：206788-9-180-2700-36000=167899,1678995=335794,所以答案为 33579+
8、10000=43579 的第 4 个数字 713. （1）一本书共有 100 页，1100 页的页码中，一共用了多少个数字“2”？（2）一本书共有 1000 页，11000 页的页码中，一共用了多少个数字“2”？【答案】（1）20；（2）300【分析】（1）枚举法：个位上的 2:2,12,22,32,42,52,62,72,82,92, 出现 10 次；十位上的 2:20,21,22,23,24,25,26,27,28,29, 出现 10 次；共 10+10=20(次)，即用了 20 个数字“2”（2）个位上的 2：因为每连续 10 个数，在个位上就出现一次 2，所以个位上 2 出现 1000
9、10=100(次)；十位上的 2：每连续 100 个数就有 10 个十位是 2 的数，所以十位上 2 出现 100010010=100(次)；百位上的 2：11000 有 100 个百位是 2 的数，所以百位上 2 出现 100 次所以总共出现 2 的次数是 100+100+100=300(次)，即用了 300 个数字“2”14. 某小说书有上、下两册，且这两册书的页码共有 1116 个数字，且上册比下册多 4 页，则上册小说有多少页？【答案】224 页【分析】由已知条件容易得出上、下册都有上百页的结论，上册比下册多 4 页，即上册比下册多 12 个数字，所以上册的页码共有 数字(1116+1
10、2)2=564(个),1 位数和 2 位数页码共需要数字19+290=189(个),所以 3 位数页码就有(564-189)3=125(个),因此，上册小说有 99+125=224(页).15. 一本书共 200 页，撕掉第 1 张纸，之后每隔 2 张纸撕掉 1 张，剩下的纸的页码和为多少？【答案】13266【分析】本书共有 100 张纸，完整的书的页码的和为1+2+3+199+200=20100,根据题意可知，撕掉的纸为书的第 1，4，7，97，100 张，且第 n 张纸上的页码为 2n-1 和 2n，即页码和为 4n-1，所以撕掉的 34 张纸上的页码总和为41+4+7+100-34=68
11、34,所以剩下的纸的页码和为 20100-6834=1326616. 一本书共 204 页，需多少个数码编页码？【答案】504 个【分析】19 页每页上的页码是一位数，共需数码：19=9（个）；1099 页每页上的页码是两位数，共需数码：290=180（个）；100204 页每页上的页码是三位数，共需数码：(204-100+1)3=1053=315(个).综上所述，这本书共需数码9+180+315=504(个).17. 有一本故事书，它的任意连续 10 页中必有一页是图画，另外九页是文字，已知这本书一共有 15 页图画，那么这本书最少一共有多少页？最多一共多少页？【答案】最少 141 页，最多
12、 159 页【分析】从第 1 页是图片开始算起，它接下来的 9 页都是文字，接下来又是 1 页图片，9 页文字，到第 15 页图片，一共有(1+9)14+1=141(页),这种情况下首尾两端各加 9 页文字，仍然符合题意，即最多有141+29=159(页).18. 给一本书编页码时，一共用了 24 个数字“8”且最后一页是含有“8”的页码，请 问这本书有多少页？【答案】138【分析】1100 会出现 20 个数字“8”，第 24 个“8”出现在第 138 页上，又因为最后一页是含有 8 的页码，说明 138 页是这本书的最后一页，所以这本书有 138 页19. 一本书的页码从 1 到 80，共
13、 80 页在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码漏加了，结果得到的和数为 3182问：这个被漏加的页码是多少？【答案】58【分析】如果没有漏加页码，即从 1 加到 80，那么结果得到的和为1+2+3+79+80=3240,比实际得到的和数大 3240-3182=58，这个差就是被漏加的页码20. 翻开数学书，连续看了 5 页，页码的和为 60，那么这 5 页的页码分别是多少？【答案】10，11，12，13，14【分析】连续看了 5 页，那么这 5 页的页码是连续的，由此可得，这 5 页的中间一页页码为 605=12，所以这 5 页的页码分别为 10，11，12，13，1421. 编一本故
14、事书原先用了 195 个数字，后来又增加了 15 页，那么还要增加多少个数字？【答案】45 个【分析】一位数共需要数字19=9(个),两位数共需要数字290=180(个),195 个数字就是有三位数(195-9-180)3=2(个),所以再增加 15 页，也都是三位数页码，所以要增加数字：153=45（个）22. 一本书一共有 1、2、3100 页，求所有页数的数码之和是多少？【答案】901【分析】19 页的数码和为：1+2+3+9=45；1019 页的数码和为：1+2+3+9+101=55；2029 页的数码和为：1+2+3+9+102=65；9099 页的数码和为：1+2+3+9+109=
15、135；100 的数码和是 1+0+0=1；所有页数的数码之和是 45+55+65+135+1=90123. 一本小说的页码，共用 137 个数字这本书共有多少页？【答案】73【分析】19 页每页上的页码是一位数，共需数字：19=9(个)；1099 页每页上的页码是两位数，共需数字：290=180(个)；9137189，所以这本书的页数在 1099 之间，所有两位数页码共有数字：137-9=128(个)，每一页用 2 个数字，1282=64(页)，9+64=73(页)24. 有一本 48 页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到 1131老师说小明计算错了，你知道为什么吗？【答案】见解
16、析【分析】48 页书的所有页码数之和为1+2+48=48(48+1)2=1176.按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为 1176-1131=45这两个页码应该是 22 页和 23 页但是按照印刷的规定，书的正文从第 1 页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大小明计算出来的是缺 22 页和 23 页，这是不可能的25. 一本书共 100 页，撕掉第 1 张纸，之后每隔 1 张纸撕掉 1 张，剩下的纸的页码和为多少？【答案】2575【分析】本书共有 50 张纸，完整的书的页码的和为1+2+3+100=5050,根据
17、题意可知，撕掉的纸为书的第 1，3，5，49 张，第 n 张纸上的页码为 2n-1 和 2n，页码和为 4n-1，所以撕下的 25 张纸上的页码和为 41+3+5+49-25=2475，所以剩下的纸的页码和为 5050-2475=257526. 给一本书编页码时，一共用了 13 个数字“7”，请问这本书有多少页？【答案】75【分析】少于 20 个数字，所以答案在 100 页以内，7,17,27,37,47,57,67 共有 7 个，70,71,72,73,74,75 共 6 个，所以这本书有 75 页27. 排印 240 页的长篇小说，共需要用多少个数码？【答案】612 个【分析】19 页每页
18、上的页码是一位数，共需数码：19=9（个）；1099 页每页上的页码是两位数，共需数码：290=180（个）；100240 页每页上的页码是三位数，共需数码：(240-100+1)3=1413=423（个）综上所述，这本书共需数码 9+180+423=612（个）28. 数 89 之数码和为 17请问 1、2、3、2008 这 2008 个数之数码和的总和为多少？【答案】28054【分析】这 2008 个数的个位数码之和是(1+2+3+4+5+6+7+8+9)200+(1+2+3+4+5+6+7+8)=9036;这 2008 个数的十位数码之和是(1+2+3+4+5+6+7+8+9)200=9
19、000;这 2008 个数的百位数码之和是(1+2+3+4+5+6+7+8+9)200=9000;这 2008 个数的千位数码之和是11000+29=1018;所以这 2008 个数的所有数码之和是 9036+9000+9000+1018=2805429. 一本故事书的页码，在排版时必须用 2211 个数码问：这本书共有多少页？【答案】773 页【分析】因为 18922112889，所以这本书有几百页由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数码 (2211-189) 个，所以三位数的页数有(2211-189)3=674(页).另外，不到三位的页数有 99 页，所以这故事书共有：99+67
20、4=773(页).30. 排一本 400 页的书的页码，共需要多少个数码“0”？【答案】71 个【分析】将 1400 分为四组：1100，101200，201300，301400在 1100 中共出现 11 次 0，其余各组每组都比 1100 多出现 9 次 0，即每组出现 20 次 0所以共需要数码“0”：11+20+20+20=71（个）31. （1）本书共有 20 页，120 页的页码一共用了多少个数字？（2）若一本书共有 150 页，1150 页的页码一共用了多少个数字？【答案】（1）31；（2）342【分析】（1）19 页每页上的页码是一位数，共需数字：19=9(个)；1020 页每
21、页上的页码是两位数，共需数字：211=22(个)；综上所述，这本书共需数字：9+22=31(个)（2）19 页每页上的页码是一位数，共需数字：19=9(个)；1099 页每页上的页码是两位数，共需数字：290=180(个)；100150 页每页上的页码是三位数，共需数字：351=153(个)；综上所述，这本书共需数字：9+180+153=342(个)32. 给一本书编页码，一共用了 246 个数字，这本书一共有多少页？【答案】118【分析】19 页每页上的页码是一位数，共需数字：19=9(个)；1099 页每页上的页码是两位数，共需数字：290=180(个)；100999 页每页上的页码是三位
22、数，共需数字：3900=2700(个)；1892462889，所以这本书的页数在 100999 之间，所有三位数页码共有数字：246-189=57(个)，每一页用 3 个数字，573=19(页)，99+19=118(页)33. 言言有本小说，一共有 200 页，这本书的页码中一共有多少个数字 1？【答案】140 个【分析】一位数中 19 有 1 个数字 1，两位数中 1019 有 11 个数字 1，2099 有 8 个数字 1，所以一位数和两位数共有 20 个数字 1，以此可知，从 100200 这 101 个三位数中的个位和十位有 20 个 1，加上百位的 100 个 1，即这本书的页码中一
23、共有 20+20+100=140(个) 数字 134. 从一本有 200 页的书中撕下 22 张纸，这 22 张纸的页码之和可能是 1000 吗？为什么？【答案】不可能，理由见解析【分析】如果撕下这本书的前 22 张纸，则其页码为 144，页码和为1+2+43+44=990,即这 22 张纸的页码和最小为 990，又因为任意两张纸的页码和之差一定是 4 的倍数，而 1000-990=10 不能被 4 整除，所以这 22 张纸的页码之和不可能是 100035. 有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画如果第一页为图画，那么第二、三页也是图画，第四页为文字，第五、六、七页又为图画，
24、依此类推如果第一页为文字，那么第二、三、四页为图画，第五页为文字，第六、七、八页又为图画，依此类推试问：（1）假如这本书有 96 页，那么这本书多少页有图画？（2）假如这本书有 99 页，那么多少页有图画？【答案】（1）72 页；（2）75 或 74 页【分析】（1）将每 4 页看作是一组，每一组中有 3 页是图画：964=24(页),243=72(页),这本书有 72 页是图画；（2）994=243,如果第一页是图画，243+3=75（页），这本书有 75 页是图画；如果第一页是文字，243+2=74（页），这本书有 74 页是图画36. 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123
25、456789101112 问：左起第 1000 位上的数字是多少？【答案】3【分析】19 页每页上的页码是一位数，共需数码 19=9（个）；1099 页每页上的页码是两位数，共需数码 290=180（个）；因为 (1000-189)3=2701,所以 1000 个数码排到第：99+270+1=370（个）数的第 1 个数码“3”所以本题的第 1000 位数是 337. 一本科幻小说共 164 页，编印这本科幻小说的页码共用多少个数字 0？【答案】26 个【分析】一位数页码不存在数字 0，两位数页码中只有 9 个数字 0，三位数从 100 至 164 共有 17 个数字 0，其中 7 个在个位上
26、，10 个在十位上，所以数字 0 共有9+17=26(个).38. 一本书共有 500 页，1500 页的页码中，一共用了多少个数字“1”？【答案】200【分析】个位上的 1：因为每连续 10 个数，在个位上就出现一次 1，所以个位上 1 出现 50010=50(次)；十位上的 1：每连续 100 个数就有 10 个十位是 1 的数，所以十位上 1 出现 50010010=50(次)；百位上的 1:1500 有 100 个百位是 1 的数，所以百位上 1 出现 100 次这样总共出现 1 的次数是 50+50+100=200(次)，即用了 200 个数字“1”39. 一本书共有 80 页，180 页的页码一共用了多少个数字？【答案】151【分析】19 页每页上的页码是一位数，共需数字：19=9(个)；1080 页每页上的页码是两位数，共需数字：271=142(个)；综上所述，这本书共需数字：9+142=151(个)
