1、二次函数与公共点及交点综合【例1】(2022大庆)已知二次函数yx2+bx+m图象的对称轴为直线x2，将二次函数yx2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C(1)求b的值；(2)当m0时，图C与x轴交于点M，N(M在N的左侧)，与y轴交于点P当MNP为直角三角形时，求m的值；在的条件下，当图象C中4y0时，结合图象求x的取值范围；(3)已知两点A(1，1)，B(5，1)，当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围【分析】(1)由二次函数的对称轴直接可求b的值；(2)求出M(2，0)，N(2+，0)，再求出MN2，MN的中点坐标为(2，0)，利用直角三角
2、形斜边的中线等于斜边的一半，列出方程即可求解；求出抛物线yx24x1(x0)与直线y4的交点为(1，4)，(3，4)，再求出yx24x1关于x轴对称的抛物线解析式为yx2+4x+1(x0)当x2+4x+14时，解得x5(舍)或x1，抛物线yx2+4x+1(x0)与直线y4的交点为(1，4)，结合图像可得1x2或0x1或3x2+时，4y0；(3)通过画函数的图象，分类讨论求解即可【解析】(1)已知二次函数yx2+bx+m图象的对称轴为直线x2，b4；(2)如图1：令x2+bx+m0，解得x2或x2+，M在N的左侧，M(2，0)，N(2+，0)，MN2，MN的中点坐标为(2，0)，MNP为直角三角
3、形，解得m0(舍)或m1；m1，yx24x1(x0)，令x24x14，解得x1或x3，抛物线yx24x1(x0)与直线y4的交点为(1，4)，(3，4)，yx24x1关于x轴对称的抛物线解析式为yx2+4x+1(x0)，当x2+4x+14时，解得x5(舍)或x1，抛物线yx2+4x+1(x0)与直线y4的交点为(1，4)，1x2或0x1或3x2+时，4y0；(3)yx24x+m关于x轴对称的抛物线解析式为yx2+4xm(x0)，如图2，当yx2+4xm(x0)经过点A时，14m1，解得m4，yx24x4(x0)，当x5时，y1，yx24x4(x0)与线段AB有一个交点，m4时，当线段AB与图象
4、C恰有两个公共点；如图3，当yx24x+m(x0)经过点(0，1)时，m1，此时图象C与线段AB有三个公共点，4m1时，线段AB与图象C恰有两个公共点； 如图4，当yx2+4xm(x0)经过点(0，1)时，m1，此时图象C与线段AB有两个公共点，当yx24x+m(x0)的顶点在线段AB上时，m41，解得m3，此时图象C与线段AB有一个公共点，1m3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；综上所述：4m1或1m3时，线段AB与图象C恰有两个公共点【例2】(2022湖北)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx22x3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CBx轴，交该抛物线于另一点B(1)求点B的坐标及直
5、线AC的解析式；(2)当二次函数yx22x3的自变量x满足mxm+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且pq2，求m的值；(3)平移抛物线yx22x3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围【分析】(1)求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；(2)分四种情况讨论：当m1时，pq(m+2)22(m+2)3m2+2m+32，解得m(舍)；当m+21，即m1，pqm22m3(m+2)2+2(m+2)+32，解得m(舍)；当m1m+1，即0m1，pq(m+2)22(m+2)3+42，解得
6、m1或m1(舍)；当m+11m+2，即1m0，pqm22m3+42，解得m+1(舍)或m+1；(3)分两种情况讨论：当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y(x1+h)24+h，求出直线BA的解析式为yx5，联立方程组，由0时，解得h，此时抛物线的顶点为(，)，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y(x1k)24k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为(4，7)，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为(1，4)时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解
7、【解析】(1)yx22x3(x1)24，顶点A(1，4)，令x0，则y3，C(0，3)，CBx轴，B(2，3)，设直线AC解析式为ykx+b，解得，yx3；(2)抛物线yx22x3的对称轴为直线x1，当m1时，xm时，qm22m3，xm+2时，p(m+2)22(m+2)3，pq(m+2)22(m+2)3m2+2m+32，解得m(舍)；当m+21，即m1，xm时，pm22m3，xm+2时，q(m+2)22(m+2)3，pqm22m3(m+2)2+2(m+2)+32，解得m(舍)；当m1m+1，即0m1，x1时，q4，xm+2时，p(m+2)22(m+2)3，pq(m+2)22(m+2)3+42，
8、解得m1或m1(舍)；当m+11m+2，即1m0，x1时，q4，xm时，pm22m3，pqm22m3+42，解得m1+(舍)或m1，综上所述：m的值1或1；(3)设直线AC的解析式为ykx+b，解得，yx3，如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y(x1+h)24+h，设直线BA的解析式为ykx+b，解得，yx5，联立方程组，整理得x2(32h)x+h2h+20，当0时，(32h)24(h2h+2)0，解得h，此时抛物线的顶点为(，)，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y
9、(x1k)24k，当抛物线经过点B时，(21k)24k3，解得k0(舍)或k3，此时抛物线的顶点坐标为(4，7)，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，当抛物线的顶点为(1，4)时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，综上所述：1n4或n【例3】(2022张家界)如图，已知抛物线yax2+bx+3(a0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)若四边形BCEF为矩形，CE3点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止当以M
10、、E、N为顶点的三角形与BOC相似时，求运动时间t的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点若过点Q的直线l：ykx+m(|k|)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值【分析】(1)二次函数表达式可设为：yax2+bx+3，将A(1，0)、B(4，0)代入yax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用顶点坐标公式可得点D的坐标；(2)根据t秒后点M的运动距离为CMt，则ME3t，点N的运动距离为EN2t分两种情形，当EMNOBC时，得，解得t；当EMNOCB时，得，解得t；(3)首先利用中点
11、坐标公式可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线AG和BG的解析式，再根据直线l：ykx+m与抛物线只有一个公共点，联立两函数解析式，可得0，再求出点H和k的横坐标，从而解决问题【解析】(1)设二次函数表达式为：yax2+bx+3，将A(1，0)、B(4，0)代入yax2+bx+3得：，解得，抛物线的函数表达式为：，又，顶点为D；(2)依题意，t秒后点M的运动距离为CMt，则ME3t，点N的运动距离为EN2t当EMNOBC时，解得t；当EMNOCB时，解得t；综上所述，当或时，以M、E、N为顶点的三角形与BOC相似；(3)点关于点D的对称点为点G，直线l：ykx+m与抛物线只有一个公共点，只有一
12、个实数解，0，即：，解得：，利用待定系数法可得直线GA的解析式为：，直线GB的解析式为：，联立，结合已知，解得：xH，同理可得：xK，则：GH，GK，GH+GK+，GH+GK的值为【例4】(2022沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3经过点B(6，0)和点D(4，3)，与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD(1)求抛物线的函数表达式；直接写出直线AD的函数表达式；(2)点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，BDF的面积记为S1，DEF的面积记为S2，当S12S2时，求点E的坐标；(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部
13、分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C，点G的对应点为G，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度(0n6)曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形CGQP是平行四边形，直接写出点P的坐标【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线AD的解析式；(2)设点E(t，t2t3)，F(x，y)，过点E作EMx轴于点M，过点F作FNx轴于点N，如图1，根据三角形面积关系可得，由EMFN，可得BFNBEM，得出，可求得F(2+t，t2t2)，代入直线AD的解析式即可求得点E的坐标；(3)根据题意可得：点C(0，3)，G(2，4)，向上翻
14、折部分的图象解析式为y(x2)2+4，向上翻折部分平移后的函数解析式为y(x2)2+4n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y(x2)24n，利用待定系数法可得：直线BC的解析式为yx3，直线CG的解析式为yx+3，由四边形CGQP是平行四边形，分类讨论即可【解析】(1)抛物线yax2+bx3经过点B(6，0)和点D(4，3)，解得：，抛物线的函数表达式为yx2x3；由得yx2x3，当y0时，x2x30，解得：x16，x22，A(2，0)，设直线AD的函数表达式为ykx+d，则，解得：，直线AD的函数表达式为yx1；(2)设点E(t，t2t3)，F(x，y)，过点E作EMx轴于点M，过点F作FNx
15、轴于点N，如图1，S12S2，即2，2，EMx轴，FNx轴，EMFN，BFNBEM，BM6t，EM(t2t3)t2+t+3，BN(6t)，FN(t2+t+3)，xOBBN6(6t)2+t，y(t2+t+3)t2t2，F(2+t，t2t2)，点F在直线AD上，t2t2(2+t)1，解得：t10，t22，E(0，3)或(2，4)；(3)yx2x3(x2)24，顶点坐标为G(2，4)，当x0时，y3，即点C (0，3)，点C(0，3)，G(2，4)，向上翻折部分的图象解析式为y(x2)2+4，向上翻折部分平移后的函数解析式为y(x2)2+4n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y(x2)24n，设直线B
16、C的解析式为ykx+d(k0)，把点B(6，0)，C(0，3)代入得：，解得：，直线BC的解析式为yx3，同理直线CG的解析式为yx+3，BCCG，设点P的坐标为(s，s3)，点C(0，3)，G(2，4)，点C向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G，四边形CGQP是平行四边形，点Q(s+2，s2)，当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：(不符合题意，舍去)，当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，则，解得：或(不合题意，舍去)，当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：或(不合题意，舍去)，综上所
17、述，点P的坐标为(1+，)或(1，)一解答题(共20小题)1(2022钟楼区校级模拟)如图，已知二次函数yx2+mx+m+的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，)，P是抛物线在直线AC上方图象上一动点(1)求二次函数的表达式；(2)求PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线在点A、B之间的部分(含点A、B)沿x轴向下翻折，得到图象G现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围【分析】(1)利用待定系数法即可求得答案；(2)令y0，可求得：A(5，0)，B(1，0)，再运用待定
18、系数法求得直线AC的解析式为yx，如图1，设P(t，t23t)，过点P作PHy轴交直线AC于点H，则PHt2t，利用SPACSPAH+SPCH(t+)2+，即可运用二次函数求最值的方法求得答案；(3)运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y(x+3)22，顶点坐标为(3，2)，进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y(xn)2n，顶点坐标为(n，n)，当图象M经过点C(0，)时，可求得：n1或n2，当图象M的端点B在PC上时，可求得：n或n(舍去)，就看得出：图象M的顶点横坐标n的取值范围为：n1或n2【解析】(1)抛物线yx2+mx+m+与y轴交于点C(0，)，m+，解得：m3，
19、该抛物线的解析式为：yx23x；(2)在yx23x中，令y0，得：x23x0，解得：x15，x21，A(5，0)，B(1，0)，设直线AC的解析式为ykx+b，A(5，0)，C(0，)，解得：，直线AC的解析式为yx，如图1，设P(t，t23t)，过点P作PHy轴交直线AC于点H，则H(t，t)，PHt23t(t)t2t，SPACSPAH+SPCHPH(xPxA)+PH(xCxP)PH(xCxA)(t2t)0(5)t2t(t+)2+，当t时，SPAC取得最大值，此时，点P的坐标为(，)；(3)如图2，抛物线yx23x在点A、B之间的部分(含点A、B)沿x轴向下翻折，得到图象G，yx23x(x+
20、3)2+2，顶点为(3，2)，图象G的函数解析式为：y(x+3)22，顶点坐标为(3，2)，图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线yx，图象M的顶点坐标为(n，n)，图象M的函数解析式为：y(xn)2n，当图象M经过点C(0，)时，则：(0n)2n，解得：n1或n2，当图象M的端点B在PC上时，线段PC的解析式为：yx(x0)，点B(1，0)运动的路径为直线yx，联立可得：，解得：，将代入y(xn)2n，可得：(n)2n，解得：n或n(舍去)，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：n1或n22(2022保定一模)如图，关于x的二次函数yx22x+t2+2t5的图象记为L，点P是
21、L上对称轴右侧的一点，作PQy轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分别为(1，0)，(1，1)，连接AB(1)若t1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；(2)若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；(3)当2t3x2t1时，y的最小值为，直接写出t的值【分析】(1)当t1时，抛物线为yx22x2，可求得它的对称轴为直线x1，由点P与点Q关于直线x1对称得m+n2，即可求得n关于m的关系式；(2)将yx22x+t2+2t5配成顶点式y(x1)2+t2+2t6，则抛物线的对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，t2+2t6)，再说明线段AB在直线x1上，由L与线段AB有公共点可
22、列不等式组得0t2+2t61，解不等式组求出它的解集即可；(3)分三种情况，一是直线x2t1在抛物线的对称轴的左侧，在2t3x2t1范围内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值；二是直线x1在直线x2t3与直线x2t1之间时，抛物线的顶点为最低点，可列方程t2+2t6，解方程求出符合题意的t值；三是直线x2t3在抛物线的对称轴的右侧，在2t3x2t1范围内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值【解析】(1)如图1，当t1时，L为抛物线yx22x2，yx22x2(x1)23，该抛物线的对称轴为直线x1，点P、Q分别是对称轴右侧、左侧L上的点，且PQy轴，m+n2，nm+2(m1)(2)如图2，L
23、为抛物线yx22x+t2+2t5(x1)2+t2+2t6，L的对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，t2+2t6)，A(1，0)，B(1，1)，线段AB在直线x1上，L与线段AB有公共点，0t2+2t61，解得12t1或1+t1+2，t的取值范围是12t1或1+t1+2(3)当2t11，即t1时，如图3，在2t3x2t1范围内图象不存在最低点，此时不存在y的最小值；当2t11且2t31，即1t2时，如图4，L的顶点为最低点，t2+2t6，解得t1，t2，1，t2不符合题意，舍去；当2t31，即t2时，如图5，在2t3x2t1范围内图象不存在最低点，此时不存在y的最小值，综上所述，t的值为3(202
24、2广陵区校级二模)在平面直角坐标系中，已知函数y12x和函数y2x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值(1)求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；(2)现有二次函数yx28x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；(3)在(2)的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围【分析】(1)联立两函数解析式求出交点坐标，然后根据一次函数的增减性解答；(2)根据一次函数的增减性判断出x2，再根据二次函数解析式求出对称轴，然后根据二次函数的增减性可得x4，从而得解；(3)若函数yx28x+c与y0x+6只有一个交点
25、，联立两函数解析式整理得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范围内，则符合；若函数yx28x+c与y0x+6有两个交点，先利用根的判别式求出c的取值范围，先求出x2与x4时的函数值，然后利用一个解在x的范围内，另一个解不在x的范围内列出不等式组求解即可【解析】(1)，函数y1和y2图象交点坐标(2，4)；y0关于x的函数关系式为y0 ；(2)对于函数y0，y0随x的增大而减小，y0x+6(x 2)，又函数yx 28x+c的对称轴为直线x4，且a10，当x4时，y随x的增大而减小，2x 4；(3)若函数yx 28x+c与y0x+6只有一个交点，且交点在
26、2x 4范围内，则x 28x+cx+6，即x 27x+( c6)0，(7)24( c6)734c0，解得c ，此时x1x2 ，符合2x 4，c ；若函数yx 28x+c与y0x+6有两个交点，其中一个在2x 4范围内，另一个在2x 4范围外，734c0，解得c ，对于函数y0，当x2时，y04；当x4时y02，又当2x 4时，y随x的增大而减小，若yx 28x+c与y0x+6在2x 4内有一个交点，则当x2时yy0；当x4时yy0，即当x2时，y4；当x4时，y2，解得16c 18，又c ，16c 18，综上所述，c的取值范围是：c 或16c 184(2022金华模拟)在平面直角坐标系中，二次
27、函数yx22mx+6m(x2m，m为常数)的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m(1)当m1，求图象G的最低点坐标；(2)平面内有点C(2，2)当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围【分析】(1)由m1代入抛物线解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解；(2)将x2m代入抛物线解析式求出点A坐标，由正方形的性质即可求解；分类讨论，数形结合解题，根据A点在图象G上，再在图象G上找一个点可以满足条件，然后根据m的取值范围进行分类讨论进行解题即可【解析】(1)m
28、1时，yx22x+6(x1)2+5，顶点为(1，5)，x2，图象G的最低点坐标为(1，5)；(2)当x2m时，y6m，A(2m，6m)，C(2，2)，正方形ABCD中，AB与x轴平行，BC与y轴平行，B(2，6m)，同理得D(2m，2)，ADCD，|6m2|2m+2|，2m+26m+2或2m+22+6m，解得m0或m1，点A的坐标为(0，0)或(2，6)；点A在图象G上，图象G与矩形ABCD已经有一个公共点A，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，只需图象G与矩形ABCD的边再由一个公共点即可；点A的横坐标为2m，A(2m，6m)，当x2时，y4+10m，当4+10m6m时，m1，如图1，当m
29、1时，图象G在x2m时，y随x的增大而减小，矩形与图象G只有一个交点A；当m1时，图象G在x2m时，y随x的增大而减小，当1m0时，图象G与矩形有两个交点；当经过点C时，4+10m2，解得m，m时，图象G与矩形有两个交点；如图3，当6m2时，即m，当0m时，2mm，x22mx+4m6m，整理得，x22mx0，4m20，m0，0，此时图象G与AB边有另一个交点，此时图象G与矩形ABCD有三个交点，当m时，A点坐标为(，2)，此时AC不与x轴平行，不符合题意；当m时，此时图象G与矩形ABCD有两个交点；综上所述：1m0或m时，图象G与矩形ABCD有两个交点5(2022清镇市模拟)在平面直角坐标系中
30、，抛物线yax22a2x+1(a0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B(1)抛物线的对称轴为直线xa；(用含字母a的代数式表示)(2)若AB2，求二次函数的表达式；(3)已知点P(a+4，1)，Q(0，2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的取值范围【分析】(1)由抛物线对称轴为直线x求解(2)由抛物线对称轴及点A坐标可得点B坐标，进而求解(3)分类讨论a0与a0，根据点A，B，P，Q的坐标，结合图象求解【解析】(1)yax22a2x+1，抛物线对称轴为直线xa故答案为：a(2)A，B关于抛物线对称轴对称，AB|2a|2，当a0时，a1，yx22x+1，当a0时，a1
31、，yx22x+1(3)将x0代入yax22a2x+1得y2，点A坐标为(0，1)，当a0时，抛物线开口向上，点Q(0，2)在点A(0，1)上方，点B与点A关于抛物线对称轴对称，点B坐标为(2a，1)，当a+42a时，点P在抛物线上或在抛物线外部，符合题意，解得a4，当a0时，点Q在抛物线上方，点B在点A左侧，当点P在抛物线内部时，满足题意，2aa+40，解得a4，综上所述，a4或0a46(2022五华区三模)已知抛物线yax2mx+2m3经过点A(2，4)(1)求a的值；(2)若抛物线与y轴的公共点为(0，1)，抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；(3)当2x
32、4时，设二次函数yax2mx+2m3的最大值为M，最小值为N，若，求m的值【分析】(1)把点A坐标代入抛物线解析式即可求出a；(2)由(1)知a，再由抛物线与y轴的交点为(0，1)可以求出m的值，然后由0，可以得抛物线与x轴有一个公共点，再令y0解方程求出x即可；(3)先求出抛物线对称轴，然后分2m2，22m4，2m4三种情况分别求出函数的最大值M和最小值N，由求出m的值【解析】(1)抛物线yax2mx+2m3经过点A(2，4)，4a2m+2m34，解得：a；(2)由(1)知a，抛物线解析式为yx2mx+2m3，抛物线与y轴的公共点为(0，1)，2m31，解得m1，yx2x1，b24ac(1)
33、24()(1)110，抛物线与x轴是有一个公共点，令y0，则x2x10，解得：x1x22，公共点的坐标为(2，0)；(3)由(1)知，抛物线解析式为yx2mx+2m3，对称轴为直线x2m，当2m2，即m1时，a0，抛物线开口向下，当2x4时，y随x的增大而减小，当x2时，Mymax222m+2m34，当x4时，Nymin164m+2m32m7，解得：m，不符合题意；当22m4即2m1时，若直线x2与直线x2m接近时，则当x2m时y取得最大值，即M(2m)2m(2m)+2m3m2+2m3，当x4时，y取得最小值，即N424m+2m32m7，解得：m1，m2(不合题意，舍去)；若直线x4与直线x2
34、m接近时，则当x2m时y取得最大值，即M(2m)2m(2m)+2m3m2+2m3，当x2时，y取得最小值，即N222m+2m34，解得：m1，m2(不符合题意，舍去)；当2m4即m2时，a0，抛物线开口向下，当2x4时，y随x的增大而增大，当x2时，N222m+2m34，当x4时，M164m+2m32m7，解得：m(不符合题意，舍去)，综上所述，m的值为或7(2022秦淮区二模)在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，1)，与y轴的交点坐标是(0，5)(1)求该二次函数的表达式；(2)在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数yx+n(n为常数)的图象有2个公共点，求
35、n的取值范围【分析】(1)设抛物线解析式为ya(x2)2+1，再将(0，5)代入即可求解；(2)二次函数的图象与一次函数yx+n(n为常数)的图象有两个交点可列出方程a(x2)2+1x+n，再利用0，即可求出解【解析】(1)二次函数图象的顶点是(2，1)，设二次函数的表达式为ya(x2)2+1，将点(0，5)代入ya(x2)2+1，得5a(02)2+1，解得：a1，二次函数的表达式为：y(x2)2+1(2)二次函数的图象与一次函数yx+n(n为常数)的图象有2个公共点，得(x2)2+1x+n，化简得：x25x+5n0，有2个公共点，0，254(5n)0，解得nn的取值范围为：n8(2022盐城
36、二模)若二次函数yax2+bx+a+2的图象经过点A(1，0)，其中a、b为常数(1)用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；(2)点B(，1)、C(2，1)为坐标平面内的两点，连接B、C两点若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值；若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围【分析】(1)将点A(1，0)代入抛物线解析式，可得b22a，继而求出抛物线对称轴即可求解；(2)根据题意将x1+，y1，代入抛物线解方程即可求解；分a0；a0且a1；a1三种情况进行讨论求解即可得a的取值范围【解析】(1)yax2+bx+a+2的图象经过点A(1，0)，即当x1时，ya+b+a+20，b22a，
37、yax2(2a+2)x+a+2，对称轴x1+，抛物线顶点的横坐标为1+；(2)抛物线的顶点在线段BC上，且点B(，1)、C(2，1)，顶点纵坐标为1，且1+2，当x1+时，y1，即a(1+)2(2a+2)(1+)+a+21，整理得：1，解得：a1，检验，当a1时，a0，a1；对称轴x1+，当a0时，对称轴x1+在点A(1，0)的右侧，即xx1+1，抛物线与线段BC有且只有一个公共点，点B(，1)、C(2，1)，当x2时，y1，即4a2(2a+2)+a+21，解得：a3，当x时，y1，即a+(2a+2)+a+21，解得：a，0a3，当a0，且a1时，对称轴x1+在点A (1，0)的左侧，即x1+
38、1，抛物线开口向下，且过点A (1，0)，当x时，y1，即a+(2a+2)+a+21，解得：a，a0，a0；由知，当a1时，抛物线顶点恰好在线段BC上，当a1时，抛物线与线段BC有且只有一个公共点，综上所述，抛物线与线段BC有且只有一个公共点时，a的取值范围是0a3或a0或a19(2022滑县模拟)如图，已知二次函数yx2+2x+c与x轴正半轴交于点B(另一个交点为A)，与y轴负半轴交于点C，且OC3OB(1)求抛物线的解析式；(2)设直线AC的解析式为ykx+b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2+2x+ckx+b的解集；(3)已知点P(3，1)，Q(2，2t+1)，且线段PQ与抛物线y
39、x2+2x+c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围【分析】(1)设B(m，0)，可得C(0，3m)，代入yx2+2x+c即可解得抛物线的解析式为yx2+2x3；(2)令y0可得A(3，0)，由图象即得不等式x2+2x+ckx+b的解集为x3或x0；(3)设直线x2与抛物线yx2+2x3交于K，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛物线yx2+2x3有且只有一个公共点，在yx2+2x3中，令x2得y5，根据2t+15，可得t的取值范围是t2【解析】(1)设B(m，0)，则OBm，OC3OB，OC3m，C(0，3m)，将B(m，0)，C(0，3m)代入yx2+2x+c得：，解得(此时B不在x轴正半轴，舍去)或，抛物线的解析式为yx2+2x3；(2)在yx2+2x3中，令y0得x2+2x30，解得x3或x1，A(3，0)，由图象可知，当x3或x0时，抛物线在直线上方，即x2+2x+ckx+b，不等式x2+2x+ckx+b的解集为x3或x0；(3)设直线x2与抛物线yx2+2x3交于K，如图：由图可知，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛物线yx2+2x3有且只有一个公共点，在yx2+2x3中，令x2得y22+2235，2t+15，解得t2，答：线段PQ与抛物线yx2+2x+c有且只有一个公共点，t的取值范围是t2
