1、专题4 平面向量的线性运算与数量积1、【2022年全国乙卷】已知向量a=(2,1)，b=(-2,4)，则a-b（）A2B3C4D52【2022年全国乙卷】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3，则ab=（）A-2B-1C1D23、【2022年新高考1卷】在ABC中，点D在边AB上，BD=2DA记CA=m，CD=n，则CB=（）A3m-2nB-2m+3nC3m+2nD2m+3n4【2022年新高考2卷】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则t=（）A-6B-5C5D65、【2022年北京】在ABC中，AC=3,BC=4,C=90P为ABC所在平面内的动
2、点，且PC=1，则PAPB的取值范围是（）A-5,3B-3,5C-6,4D-4,66、【2022年全国甲卷】已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)若ab，则m=_7【2022年全国甲卷】设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+bb=_8【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形A1A2A8的边A1A2上，则PA12+PA22+PA82的取值范围是_8、（2021年全国新高考卷数学试题）（多选题）已知为坐标原点，点，则（ ）ABCD9、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，若，则_10、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量，若，则_11、（20
3、21年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量满足，则_.12、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量若，则_13、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知向量 ，满足，则（ ）ABCD14、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设向量，若，则_.15、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设为单位向量，且，则_.16、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知单位向量,的夹角为45，与垂直，则k=_.题组一、平面向量的线性运算与基本定理的应用1-1、（2022河北石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三
4、角形的外心重心垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心重心垂心，则下列各式一定正确的是（）ABCD1-2、（2021山东潍坊市高三三模）如图，在平行四边形中，若，则（ ）AB1CD1-3、（2021山东泰安市高三三模）已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则（ ）ABCD1-4、（2022广东潮州高三期末）在的等腰直角中，为的中点，为的中点，则（ ）ABCD1-5、（2022广东罗湖高三期末）（多选题）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（ ）ABCD1-6、（2022湖北襄阳高三期末
5、）（多选题）在中，其中，则（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，题组二、向量的坐标运算2-1、（2022安徽合肥一中模拟预测（文）已知向量，向量与垂直，则实数的值为（）AB2CD12-2、（2022河北保定高三期末）若向量，则（ ）ABCD2-3、（2022内蒙古满洲里市教研培训中心三模（文）若，下列正确的是（）ABC方向上的投影是D2-4、（2022山东省淄博实验中学高三期末）（多选题）已知向量，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若在上的投影为，则向量与夹角为C与共线的单位向量只有一个为D存在，使得题组三、向量的夹角与模3-1、（2022河北沧县中学模拟预测）已知向量的夹角为，则_3-2、（
6、2022山东淄博高三期末）已知向量、满足，且在上的投影的数量为，则（ ）ABCD3-3、（2022山东青岛高三期末）已知非零向量满足：，则夹角的值为（ ）ABCD3-4、（2022山东烟台高三期末）已知，则（ ）ABCD3-5、（2022安徽师范大学附属中学模拟预测（理）非零向量满足，则与的夹角为（）ABCD题组四、向量数量积的运用4-1、（2022山东日照高三期末）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且 ，则的值为（ ）ABC1D4-2、（2022湖北高三期末）在中，点E满足，则（ ）ABC3D64-3、（2022山东淄博三模）如图在中，为中点，则（）ABCD4-4、（2022江苏
7、扬州高三期末）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则（ ）A2B4C6D81、（2022河北张家口高三期末）已知向量，向量，若，则实数_.2、（2022山东泰安高三期末）若单位向量满足，向量满足，且向量的夹角为，则（ ）.AB2CD3、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）已知，为单位向量，且，则，的夹角为（ ）ABCD4、（2022山东济南高三期末）（多选题）在平面直角坐标系内，已知，是平面内一动点，则下列条件中使得点（ ）ABCD5、（2022山东济南高三期末）（多选题）已知平面向量，则下
8、列说法正确的是（ ）ABC向量与的夹角为30D向量在上的投影向量为6、（2022山东泰安高三期末）如图，在中，点在线段上移动（不含端点），若，则_，的最小值为_.7、（2022广东佛山高三期末）菱形中，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），则_，的最小值为_.8、（2022广东汕尾高三期末）已知非零向量，且，则与的夹角为_9、（2022广东东莞高三期末）桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为，将卡纸绕顶点顺时针旋转，得到、的旋转点分别为、，则_.专题4 平面向量的线性运算与数量积1、【2022年全国乙卷】已知向量a=(2,1)，b=(-2,4)，则a-b（）A2B3C4D5【
9、答案】D【解析】因为a-b=2,1-2,4=4,-3，所以a-b=42+-32=5.故选：D2【2022年全国乙卷】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3，则ab=（）A-2B-1C1D2【答案】C【解析】：|a-2b|2=|a|2-4ab+4b2，又|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,9=1-4ab+43=13-4ab，ab=1故选：C.3、【2022年新高考1卷】在ABC中，点D在边AB上，BD=2DA记CA=m，CD=n，则CB=（）A3m-2nB-2m+3nC3m+2nD2m+3n【答案】B【解析】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD-C
10、B=2CA-CD，所以CB= 3CD-2CA=3n-2m =-2m+3n故选：B4【2022年新高考2卷】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则t=（）A-6B-5C5D6【答案】C【解析】：c=3+t,4,cosa,c=cosb,c,即9+3t+165c=3+tc,解得t=5,故选：C5、【2022年北京】在ABC中，AC=3,BC=4,C=90P为ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PAPB的取值范围是（）A-5,3B-3,5C-6,4D-4,6【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则C0,0，A3,0，B0,4，因为PC=1，所以P在以C为圆心，1为半
11、径的圆上运动，设Pcos,sin，0,2，所以PA=3-cos,-sin，PB=-cos,4-sin，所以PAPB=-cos3-cos+4-sin-sin=cos2-3cos-4sin+sin2=1-3cos-4sin=1-5sin+，其中sin=35，cos=45，因为-1sin+1，所以-41-5sin+6，即PAPB-4,6；故选：D6、【2022年全国甲卷】已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)若ab，则m=_【答案】-34#-0.75【解析】由题意知：ab=m+3(m+1)=0，解得m=-34.故答案为：-34.7【2022年全国甲卷】设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，
12、b=3，则2a+bb=_【答案】11【解析】：设a与b的夹角为，因为a与b的夹角的余弦值为13，即cos=13，又a=1，b=3，所以ab=abcos=1313=1，所以2a+bb=2ab+b2=2ab+b2=21+32=11故答案为：118【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形A1A2A8的边A1A2上，则PA12+PA22+PA82的取值范围是_【答案】12+22,16【解析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A1(0,1),A2(22,22),A3(1,0),A4(22,-22),A5(0,-1),A6(-22,-22),
13、A7(-1,0),A8(-22,22)，设P(x,y),于是PA12+PA22+PA82=8(x2+y2)+8，因为cos22.5|OP|1，所以1+cos452x2+y21，故PA12+PA22+PA82的取值范围是12+22,16.故答案为：12+22,168、（2021年全国新高考卷数学试题）已知为坐标原点，点，则（ ）ABCD【答案】AC【解析】A：，所以，故，正确；B：，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，正确；D：由题意得：，故一般来说故错误；故选：AC9、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，若，则_【答案】【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
14、解方程可得：.故答案为：.10、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量，若，则_【答案】【解析】因为，所以由可得，解得故答案为：11、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量满足，则_.【答案】【解析】.故答案为：.12、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量若，则_【答案】【解析】.,，解得,故答案为：.13、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知向量 ，满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】，.，因此，.故选：D.14、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设向量，若，则_.【答案】5【解析】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.1
15、5、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设为单位向量，且，则_.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：16、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知单位向量,的夹角为45，与垂直，则k=_.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：题组一、平面向量的线性运算与基本定理的应用1-1、（2022河北石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心重心垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心重心
16、垂心，则下列各式一定正确的是（）ABCD【答案】D【解析】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，A错误，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.1-2、（2021山东潍坊市高三三模）如图，在平行四边形中，若，则（ ）AB1CD【答案】D【解析】,又，不共线 ，根据平面向量基本定理可得,故选：D.1-3、（2021山东泰安市高三三模）已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】易知，故选：C .1-4、（2022广东潮州高三期末）在的等腰直角中，为的中点，为的中点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】以为原点建立直角坐标系，设，则，则，
17、所以，所以.故选：A1-5、（2022广东罗湖高三期末）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（ ）ABCD【答案】AD【解析】通过向量加法的平行四边形法则可知，选项A正确；，选项B错误；与方向不同，选项C错误；延长到,使,通过向量减法的三角形法则可知,在中，选项D正确.故选：AD.1-6、（2022湖北襄阳高三期末）（多选题）在中，其中，则（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，【答案】AD【解析】因为，所以与的夹角为，当时，故A正确；当时，所以是边长为4的等边三角形，所以B错误；当时，所以，所以，故C错误； 当时，所以，所以，因为，所以，故D正确.故选：AD.题组二、向
18、量的坐标运算2-1、（2022安徽合肥一中模拟预测（文）已知向量，向量与垂直，则实数的值为（）AB2CD1【答案】C【解析】因为与垂直，所以，所以.故选：C.2-2、（2022河北保定高三期末）若向量，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为向量，对于A：若，则，解得：，所以不存在，使得，故选项A不正确；对于B：若，则，可得，所以存在，使得，故选项B正确；对于C：令可得：，所以存在使得，故不成立，故选项C不正确，对于D：，若，则，此方程无解，所以不存在，使得，故选项D不正确；故选：B.2-3、（2022内蒙古满洲里市教研培训中心三模（文）若，下列正确的是（）ABC方向上的投影是D【答案】C【解析
19、】由已知，所以，因为，所以不平行，A错，因为，所以不垂直，B错，因为方向上的投影为，C对，因为，所以不垂直，D错，故选：C.2-4、（2022山东省淄博实验中学高三期末）已知向量，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若在上的投影为，则向量与夹角为C与共线的单位向量只有一个为D存在，使得【答案】BD【解析】：向量，对A：因为，所以，所以，故选项A错误；对B：因为在上的投影向量为，即，所以，又，所以，因为，所以向量与夹角为，故选项B正确；对C：与共线的单位向量有两个，分别为和，故选项C错误；对D：当时，此时向量与共线同向，满足，所以存在，使得，故选项D正确；故选：BD.题组三、向量的夹角与模3-1、
20、（2022河北沧县中学模拟预测）已知向量的夹角为，则_【答案】【解析】，则，则故答案为：3-2、（2022山东淄博高三期末）已知向量、满足，且在上的投影的数量为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】设与的夹角为，则，所以，可得，因此，因为，因此，.故选：D.3-3、（2022山东青岛高三期末）已知非零向量满足：，则夹角的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】解:因为，所以，所以，因为，所以，由于所以故选：B3-4、（2022山东烟台高三期末）已知，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由已知可得，因此，.故选：D.3-5、（2022安徽师范大学附属中学模拟预测（理）非零向量满足，则与的夹角为（）ABC
21、D【答案】B【解析】由得：，即，解得，因此，而，解得，所以与的夹角为.故选：B题组四、向量数量积的运用4-1、（2022山东日照高三期末）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且 ，则的值为（ ）ABC1D【答案】B【解析】把如下图放在直角坐标系中，由于的边长为1，故，点分别是边的中点，设，.故选：B.4-2、（2022湖北高三期末）在中，点E满足，则（ ）ABC3D6【答案】B【解析】中，所以，故选：B.4-3、（2022山东淄博三模）如图在中，为中点，则（）ABCD【答案】C【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，又，则，即，即，则，则，则；故选：C4-4、（2022江苏扬州
22、高三期末）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则（ ）A2B4C6D8【答案】B【解析】解：由题意可知，故选：B1、（2022河北张家口高三期末）已知向量，向量，若，则实数_.【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：.2、（2022山东泰安高三期末）若单位向量满足，向量满足，且向量的夹角为，则（ ）.AB2CD【答案】B【解析】，.，.故选：B.3、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）已知，为单位向量，且，则，的夹角为（ ）ABCD【答案】C【解析】把左右两边同时平方得：，由于，为单位向
23、量，.故，的夹角为.故选：C.4、（2022山东济南高三期末）在平面直角坐标系内，已知，是平面内一动点，则下列条件中使得点（ ）ABCD【答案】ABCD【解析】设点C的坐标为 则 对于A： 故A正确对于B：故B正确对于C： 故C正确对于D： 故D正确故选：ABCD5、（2022山东济南高三期末）已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）ABC向量与的夹角为30D向量在上的投影向量为【答案】BD【解析】解：，则，故A错误；，故B正确；，又，所以向量与的夹角为60，故C错误；向量在上的投影向量为，故D正确.故选：BD.6、（2022山东泰安高三期末）如图，在中，点在线段上移动（不含端点），若，则_，的
24、最小值为_.【答案】2 【解析】因为在中，所以,即.因为点在线段上移动（不含端点），所以设.所以，对比可得.代入，得；代入可得，根据二次函数性质知当时，.故答案为：7、（2022广东佛山高三期末）菱形中，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），则_，的最小值为_.【答案】0 【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，设，则，则，；因为，所以，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为故答案为：0，8、（2022广东汕尾高三期末）已知非零向量，且，则与的夹角为_【答案】【解析】非零向量，且，所以，又，所以，即与的夹角为.故答案为：.9、（2022广东东莞高三期末）桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为，将卡纸绕顶点顺时针旋转，得到、的旋转点分别为、，则_.【答案】#【解析】以点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系. 如图,则 则 将绕顶点顺时针旋转,得到，如图. 则,即可以看成是角的终边. 点在轴上则, 所以 所以所以 故答案为：
